Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya

   Cualquier sistema de numeración es sencillo si se está habituado a su trato: por ejemplo, se puede afirmar que 1 + 1 = 0 ó que 2 + 0 = 0, ó que 6 x 8 =3, siendo estos resultados referidos al sistema binario (base 2) los dos primeros y al sistema con base 5 para el último de estos sencillos ejemplos.

   Nuestro sistema de numeración, el decimal (base 10), es sencillo e intuitivo y ampliamente aceptado para operar de forma sencilla aunque no es el que se ha usado históricamente de forma mayoritaria: un sistema usado por los romanos era parecido al de base 4 teniendo en cuenta las falanges de los dedos de las manos sin contar los pulgares, es decir, se contaba en grupos de 4 (4 para la primera falange, 4 para la segunda y 4 para la tercera para completar una mano, lo que se denominaba “una gruesa” al hacer 12, y sucesivamente. Como muestra de que sigue vigente, los huevos se compran actualmente como múltiplos de 12...). Otro ejemplo sería el uso que desde la aparición de las computadoras se les ha dado a los sistemas basados en los múltiplos de 2 hasta llegar al sistema hexadecimal que usa como base 16, es decir, tiene las cifras usuales del sistema binario 0,…,9 y se le añaden las letras A,…,F, donde ‘nuestro’ 13 equivaldría a la letra D, como detalle. Otro ejemplo podría ser la numeración egipcia que no usaba números y otro ejemplo, el que trataré a continuación, el sistema de numeración de la civilización Maya.

   Como curiosidad, nuestro sistema decimal proviene del pago del “diezmo”, también de los romanos, y proviene de la numeración romana, obviamente, con una construcción por añadidura, esto es, se basa en el grupo de números 1,…,9 y el siguiente es comenzar el siguiente grupo de elementos con la primera cifra e ir añadiéndole detrás el grupo de números anterior, es decir, 10, 11, 12 y así sucesivamente. Es un sistema constructivo, de ahí su facilidad de asimilación y de uso. Ni que decir tiene que el orden de estos factores es muy importante: no es el mismo número el 61 que el 16.

   El sistema vigesimal de la numeración maya es un sistema de base 20 pero no de la forma en que se construyen los sistemas a partir del decimal, añadiendo letras en orden alfabético, ya que su idea se basaba en la medición del tiempo para poder medir de forma fiable las épocas del año para realizar las cosechas o de forma astronómica, pero no fue ideado como un sistema matemático de las operaciones básicas como son sumar o restar. Los números mayas eran, en realidad, las formas de expresar los calendarios. Además, cada uno de estos números se podía representar de 3 formas distintas (nuestro sistema decimal solo se puede representar de dos formas, a saber, el número en sí o su forma escrita: ‘8’ u ‘ocho’, ‘26’ ó ‘veintiseis’…). Como nota importante, cabe destacar que usaban un “cero” parecido al actual para indicar la posición en una cifra de varios números pero no era usado como el equivalente de nulidad actual. Era representado por una especie de concha.

    Al ser un sistema vigesimal y usar algo parecido al cero actual, escribían los números en grupos de 20 cifras comenzando por su cero, es decir, usaban el rango 0,1,2,…,19. Para los números del 1 al 19 usaban puntos y rayas en posición horizontal: al 1 actual le corresponde 1 punto, al 2 actual le corresponden 2 puntos,…, hasta el 4, que le corresponden 4 puntos en posición horizontal, al 5 actual le corresponde una raya horizontal y encima los puntos necesarios hasta llegar al 9 que es una raya con 4 puntos encima. Al 10 actual le corresponden 2 rayas horizontales una encima de la otra y, por recursividad, se construye por este método hasta la cifra correspondiente al 19 actual.

   Esto es muy curioso porque este sistema de base 20 se construye con un sistema auxiliar de base 5 y por eso tiene cierta complejidad. ¿Por qué estas bases de numeración? Porque los mayas dividían el año en 18 “meses” de 20 días cada uno y el 5 era usado por similitud con los dedos de la mano. Así, 20 x 18 = 360 días para un año maya, cifra muy cercana a la actual de 365 días.

   ¿Qué sucede con los números mayores de 20? Se escriben basándose en el primer grupo de 20 números pero variando la posición en la que se pongan. Si se ha construido el primer grupo de 20 números con papel y lápiz, se puede notar que los números mayas se escriben en torre de abajo hacia arriba (el sistema decimal se escribe de izquierda a derecha en la escritura occidental, al igual que todos los sistemas basados en él). En el siguiente nivel un punto equivale a 1x20 y una raya equivale a 1x100: por ejemplo, si en el primer nivel tenemos dos rayas con un punto encima (el 11) y encima ponemos un punto formando una torre, el número sería 11 + (1x20) = 31. En el siguiente nivel el valor del punto es 1x20x18 (la última cifra no es 20 porque los mayas basaban un año en 20 x 18 = 360 días, como comenté en el párrafo anterior), por lo que una torre vertical formada por, como ejemplo, 3 rayas y 4 puntos, una raya y 2 puntos equivale al número actual (1x19) + (1x100) + (2x360) = 19 + 100 + 720 = 839. De una forma análoga y relativamente sencilla se pueden ir construyendo los niveles para formar números más grandes. El número 400 en maya sería la torre vertical formada, de abajo hacia arriba, concha (el cero), dos puntos en el segundo nivel y una raya en el tercero, es decir, (1x0) + (2x20) + 1x360 = 40 + 360 = 400.

   Un sistema de numeración muy interesante teniendo en cuenta para lo que fue ideado, para hacer los calendarios mayas e incluso es tremendamente ingenioso para lo que no fue ideado, esto es, poder construir números muy grandes y poder realizar las operaciones básicas de suma y resta con varios de estos números.

Egoísmo Matemático: Correr y el Número de ERDOS

   Incluso una mala virtud del ser humano, como puede ser el egoísmo, llega hasta algo tan puro como la matemática. Lo que trato en esta entrada es una breve crítica hacia grandes intelectos que potencian su ego usando su campo profesional.

   Erdos fue un matemático húngaro que escribió casi tanto como Euler, ni más ni menos que 1500 artículos a lo largo de su vida. Curiosamente, el número que lleva su nombre no se lo asignó él mismo, si no un colega suyo, por lo que el egoísmo no es propio de Erdos si no de otros. Esta cifra es muy curiosa y nos da a entender lo “cercanos” que nos encontramos todos los matemáticos, incluso sin haber publicado ningún artículo de carácter científico, al menos de forma oficial. Sería algo así como decir que el conjunto de todos los matemáticos (ojo, incluidos los ya fallecidos) es realmente denso en el conjunto de la población mundial, es decir, estamos muy "cerca" unos de otros a nivel colaborativo. Es más, muchos otros científicos de muy diferentes áreas poseen un número de Erdos. Paso a describirlo de forma escueta.

   Se comienza, obviamente, por el propio Erdos, que posee un número de Erdos de 0. Los colaboradores de Erdos en primera instancia, es decir, los que fueron coautores de los artículos de Erdos, poseen un número de Erdos de 1. Los colaboradores de estos coautores que no colaboraron con Erdos directamente poseen un número de Erdos de 2 y así sucesivamente. Los matemáticos que no han publicado nunca ningún artículo científico tienen un número de Erdos infinito o no definido. Se ha demostrado que el 90% de los matemáticos tienen un número de Erdos menor que 8 (de ahí la “densidad” del conjunto de todos los matemáticos que comentaba antes), lo cual resulta muy chocante con la llamada “teoría de los seis grados de separación”. Hay 509 personas de orden 1, 6984 de orden 2 y, a partir de ahí, la cifra de los sucesivos órdenes varía. El rango de este número está entre 0 y 15 y la media es de 4,65.

   La definición de esta curiosa cifra no es tan exacta como se podría suponer porque, cabe preguntarse, ¿en qué términos ha sido esa colaboración?, ¿en qué campos concretos dentro de las matemáticas o de la ciencia en general?, etc. Los más lejanos en el tiempo son los famosos matemáticos Dedekind (1831) con número de Erdos 7 y Frobenius (1849) con número de Erdos 3. No se sabe si anteriores matemáticos tienen un número de Erdos finito.

   Sucede que existen números parecidos fuera de las matemáticas: existe el número de Bacon relativo al actor Kevin Bacon o el número de Stringfield para cuestiones paranormales.

   Y ahora viene mi aportación: defino el NÚMERO DE LLEBRÉS de la siguiente forma: me asigno el número 0 y defino un “coautor” o "colaborador" como aquel corredor o aquella corredora que haya participado conmigo en alguna competición de carrera a pie (es decir, alguien que yo conozca de forma directa, no un simple conocido/a) y haya terminado la prueba en el entorno de 5 minutos menos que mi tiempo oficial para el extremo inferior y 5 minutos más que mi tiempo oficial para el extremo superior, comenzando este pequeño juego en el año 2010, por ejemplo, y definiéndolo una vez para cada año, pudiendo realizar así la medición media hasta la fecha de este año para así descartar que alguna de estas personas pueda poseer varios números de Llebrés a la vez. Curioso, ¿verdad? Sería cuestión de hacer los cálculos…

   Es evidente, a la vista del párrafo anterior, que cada cual puede definirse un número propio, en propiedad y autoría, en cualquier ámbito de la vida y de cualquier forma que se le ocurra, haga lo que haga y donde lo haga, siendo tan egoísta como lo son los elementos de ese conjunto tan peculiar al que humildemente pertenezco: el conjunto de los matemáticos.

Nota: mi número de Erdos es finito.

La Insolubilidad de la Quíntica

   Es bien sabido que las ecuaciones de segundo grado con coeficientes racionales son muy sencillas de resolver simplemente aplicando una fórmula que, a los alumnos y alumnas de secundaria, les cuesta horrores aprender o, en sus casos más simples, reduciendo esta ecuación cuadrática a alguna lineal por la ausencia de alguno de sus coeficientes. La famosa fórmula involucra una raíz cuadrada (bueno dos, la positiva y la negativa) que nos da dos soluciones, una o ninguna (por el teorema Fundamental de Álgebra) en términos reales, pero si añadimos que las soluciones pueden ser números complejos, esa “ninguna” es aceptada.

   Por experiencia propia, es raro que algún alumno o alumna sienta curiosidad por saber de dónde sale esa fórmula tan extraña que nos proporciona de una forma directa y elegante las soluciones reales de una ecuación de segundo grado y, ni que decir tiene, que ni remotamente se podría encontrar a algún estudiante que se plantee si existen fórmulas para ecuaciones con mayores grados. Si existiera alguno (yo no lo he encontrado aún), yo le diría que sí, existen fórmulas para las ecuaciones de tercer grado y de cuarto grado que, lógicamente, involucran raíces de orden 3 y 4 respectivamente pero, de quinto grado en adelante, incluido el grado 5, no existen dichas fórmulas, lo cual resulta curioso cuanto menos. Es el llamado Teorema de Abel-Ruffini o el título de esta entrada.

   Ello no quiere decir que no se puedan calcular las soluciones de dichas ecuaciones, las cuales se pueden aproximar por métodos numéricos, ya sean implícitos o explícitos, de uno o varios pasos, como los Newton-Raphson, Runge-Kutta, Bisección, etc…

   En el siglo XIX, un jovenzuelo de nombre Galois dio con la clave de esta imposibilidad. Galois murió a los escasos 20 años, lo cual indica el potencial matemático que se perdió si no se hubiera batido en duelo con un oficial del ejército francés.

   El resultado fundamental de la Teoría de Galois dice que un polinomio se puede resolver por radicales sí y solamente sí su grupo de Galois es resoluble (se construye a partir de grupos conmutativos [esto es, axb = bxa] usando extensiones de grupos). Es un resultado muy poderoso e importante a pesar de su cortísimo enunciado. Su demostración requiere algunos conocimientos que sobrepasan este blog, el cual no trata de liar al lector si no darle algunas pinceladas sin perder el interés ni el fondo de lo tratado. Esa ha sido mi política hasta ahora, salvo casos muy excepcionales, y así seguirá siendo, por lo que trataré de explicar este tema lo más llanamente posible.

   Imaginemos un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales. Podría suceder que algunas de sus raíces verificaran ciertas ecuaciones algebraicas (aparte del polinomio del que son raíces, claro). Si podemos quedarnos con las transformaciones de esas raíces con la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas también son satisfechas por sus transformaciones, entonces podremos ir vislumbrando alguna propiedad interesante. El conjunto de esas transformaciones o permutaciones (podría ser permutar una raíz con otra en una suma, o cambiarlas en una multiplicación, etc…) tiene la propiedad de “grupo” y se llama Grupo de Galois (el grupo de permutaciones de orden n, Sn, es muy importante en álgebra abstracta) del polinomio inicial.

   Sin entrar en esos detalles escabrosos que comentaba antes, se puede concluir que las ecuaciones de segundo grado tienen asociado un grupo de Galois con, a lo sumo (importante), dos elementos 2! = 2.1 = 2: la identidad (es una transformación que lo deja todo igual, siempre está en cualquier grupo) y la trasposición que intercambia una raíz por la otra. Este grupo es matemáticamente igual, es decir, es isomorfo al grupo Z2 formado por las clases de equivalencia del 0 y el 1. Aquí cabe resaltar que todos los grupos cíclicos de orden finito n son isomorfos a Zn y los de orden infinito son isomorfos a Z, es lo que se llama teorema de Estructura de Grupos Cíclicos.

   Algo parecido se puede hacer para los polinomios de grado 3, de los que se pueden obtener 3! = 3.2.1 = 6 permutaciones como máximo, de las que habría que descartar las que su transformación es la misma, que son 3 (sin más que coger un ejemplo e ir buscando).

   Para los polinomios de grado 4 sucede lo mismo: obtendríamos 4! = 4.3.2.1 = 24 transformaciones de las raíces que cumplirían ciertas ecuaciones algebraicas pero de las que se repiten exactamente 20, por lo que hay 4 permutaciones distintas de las raíces.

   Todo esto se explica algebraicamente diciendo que los grupos de permutaciones S2, S3 y S4 son resolubles, es decir, como comenté antes, son grupos que se construyen a partir de grupos conmutativos de forma sencilla pero que requiere profundizar en la teoría, algo que no haré aquí como también comenté.

   La idea de esta entrada se reduce, viendo todo lo explicado hasta ahora, a saber si S5 es resoluble o no, pero un subgrupo suyo es A5, el llamado “grupo alternado de orden 5” cuyos elementos son las permutaciones pares, que tiene la particularidad de que no es conmutativo (existen cadenas de permutaciones que varían el resultado si se altera su orden) y S5 es una extensión natural de A5, por lo que S5 no es resoluble. A partir del orden 5 es más fácil aún encontrar cadenas de permutaciones de los S6, S7,… que no sean conmutativas, por lo que los polinomios asociados según el resultado de Galois no se pueden resolver usando una fórmula que involucre raíces.

   Bien, creo haber conseguido explicar de forma más o menos sencilla algo complejo y que se nos presenta cada día en secundaria a la hora de sacar las raíces de polinomios, por si a algún alumno o alumna se le ocurre preguntar.