Algo tan sencillo
pero tan visual como puede ser una figura geométrica, nos puede dar muchísima
comprensión de conceptos abstractos como generalizar el número de caras,
vértices o aristas de un poliedro de “n” lados (Teorema de EULER, C + V = A + 2
donde C son las caras, V los vértices y A las aristas), asignar números a las
caras y jugar con las sumas, diferencias u otras operaciones y la razón está en
la percepción visual de la figura en 3 dimensiones y, por tanto, la más fácil
comprensión de complejos aspectos de álgebra y sus aplicaciones. Por ello, en
esta entrada vamos a jugar con los dados, entendiendo como éstos a los formados
por figuras cúbicas. No me refiero al cálculo de probabilidades ni a diseñar
experimentos estocásticos, si no a la observación de los dados estáticos.
Lo primero que hay
que plantearse con los dados es cuál es la asignación de los números en las
caras y cómo se relacionan entre sí, porque no existe una única forma
para tal asignación, y esto es muy importante, según las cuestiones que se
pretendan dilucidar. Por supuesto, dejo aparte los llamados “dados no
transitivos” y otras figuras de dados, usaré pues los dados de toda la vida,
normales y corrientes, con números del 1 al 6 cada uno en una cara.
Dichas asignaciones
corresponden a lo que, algebraicamente, se denomina el Grupo de Permutaciones,
absolutamente VITAL en la Teoría de Grupos, pero no entraré en detalles
complejos y muy abstractos. La idea fundamental de este tipo de construcciones
consiste en permutar, es decir, `mover´ cosas manteniendo sus propiedades
básicas. Para nuestro caso concreto de un dado y los números que pondremos en
sus caras, sería simplemente aplicar cierta regla para esas asignaciones.
Como ejemplo
básico, voy a tratar dos tipos de dados con (casi) la misma asignación de
números en sus caras:
-Dado 1: supongamos que vemos el dado desde una arista, localizando
así 3 números como los de la figura:
El orden aquí es como sigue: 1 arriba, 2 izquierda-abajo, 3
derecha-abajo. Según esta configuración inicial, las caras opuestas tienen
asignados, en este orden, el 6 opuesto al 1, el 5 opuesto al 2 y el 4 opuesto
al 3. Se consigue de esta manera la permutación respecto a lo que vemos, que nos lleva el
1 al 2, el 2 al 3 y el 3 al 1 y, las caras ocultas llevan el 4 al 5, el 5 al 6
y el 6 al 4. Se construye así la permutación compuesta A123B456
que asigna esos movimientos de traslación.
-Dado 2: supongamos ahora que vemos el mismo dado pero
cambiando la localización de 2 y el 3 como muestra la figura:
Aquí, el 1 sigue
arriba pero ahora el 2 está a la derecha-abajo y el 3 a la izquierda-abajo. Con
esta composición, las caras que no se ven tienen asignados los números opuestos
como sigue: el 5 opuesto al 1, el 6 opuesto al 3 y el 4 opuesto al 2. En este
caso, obtenemos la permutación A’132B’465 que no es la
misma que en el dado anterior porque el orden influye.
Con respecto a las
caras ocultas que permanecen debajo de la cara más arriba (para el dado 1, la
opuesta al 1 es el 6 y así sucesivamente según giremos el dado, e idem para el
dado 2), también se les puede asignar unas permutaciones, siendo éstas las C16D25E34
para el dado 1 (es decir, el opuesto al 1 es el 6 y viceversa, el opuesto al 2
es el 5 y viceversa y el opuesto al 3 es el 4 y viceversa) y para el dado 2, C’15D’24E’36
(explicación parecida a la del dado 1). Manejando los dados es muy sencillo ver
las composiciones anteriores y es muy intuitivo incluso para enseñar el
concepto “permutación de números” a personas sin conocimientos matemáticos.
Ahora podemos plantear un par de cuestiones interesantes, a
modo de ejemplos:
-¿Cuánto suman las
caras ocultas de 6 dados que tienen en su cara superior los números del 1 al 6
sin mirar esas caras? Tanto para el dado 1 como para el dado 2, se resuelve de
la misma forma porque no varían los opuestos a los números de la cara superior
en cada uno de los dados y como tomamos todos los números asignados a todas las
caras del dado, se puede afirmar que los números de las caras ocultas son
también todos los números de las caras superiores, por lo que la respuesta es
6+5+4+3+2+1 = 21. En este sencillo ejemplo, hay que observar que la suma de los
números correspondientes a la cara superior y su opuesta en el dado 1, es
constante (1+6 = 7; 2+5 = 7; 3+4 = 7) pero para el dado 2 no ocurre esto (1+5 =
6; 2+4 = 6; 3+6 = 9).
-Otro sencillo
ejemplo podría ser el siguiente: usando, sin repetir, cada una de los 6 números
de las caras de un dado, ¿cuál es la diferencia entre el número más grande y el
más pequeño que se pueden construir sin usar exponenciales ni otras funciones
algebraicas? En este caso, no es necesario usar un dado aunque didácticamente
se puede plantear a cualquier persona esta cuestión al hilo del uso de los dados.
Es claro que el mayor número que podemos construir con las cifras del 1 al 6 ha
de comenzar por el 6 y el menor número con esas cifras ha de comenzar por el 1.
Además, la segunda cifra del mayor número ha de ser la mayor cifra que nos
queda de las cifras del 1 al 5 (el 6 ya lo hemos cogido) por lo que esta
segunda cifra ha de ser el 5. Con un razonamiento parecido, la segunda cifra
del número menor ha de ser el 2 y, extrapolando estos razonamientos, obtenemos
que el número mayor es el 654321 y el menor el 123456, cuya diferencia es
654321 – 123456 = 530865.
-Un último ejemplo
con dados sería el que sigue: tenemos 6 dados en fila como el dado 1 con las
caras superiores ordenadas del 1 al 6 y, supongamos que sumamos todos los
valores de las caras visibles, es decir, todos salvo la que es opuesta a la
superior, entonces obtendremos números consecutivos del 15 al 20 siendo par o
impar según sea par o impar el número de la cara superior, esto es:
1+2+3+4+5 = 15 (eliminando el opuesto al 1 que es el 6)
2+3+4+1+6 = 16 (eliminando el opuesto al 2 que es el 5)
3+1+2+5+6 = 17 .....
4+2+1+5+6 = 18
5+1+3+4+6 = 19
6+2+3+4+5 = 20
El mismo planteamiento para el dado 2 obtiene los mismos
números del 15 al 20 pero desordenados (se comprueba fácilmente que las sumas
respectivas salen 16, 17, 15, 19, 20, 18).
Dejo en el tintero
infinidad de juegos con dados que involucran sumar, restar, fracciones,
descomposición numérica, etc. Jugar con los dados aporta una enseñanza
divertida y amena, a la vez que profundiza en conceptos abstractos y acerca las
matemáticas básicas a los menores y al púbico en general.
