En primer lugar, en
esta reflexión plantearé una puesta en situación, los datos teóricos referentes
al número de Graham y, por último, daré mi opinión sobre las magnitudes y el
trasfondo matemático de las cuestiones planteadas. (Nota: escrito con LaTeX con algunas limitaciones de blogger).
El hecho de que el
ser humano quiera definir la existencia de números infinitamente grandes o infinitamente
pequeños y, a su vez, ser capaz de controlarlos, depende de hasta dónde puede
abarcar su mente, siempre y cuando las leyes de la física que rigen nuestro
universo se lo permitan. Si tenemos en cuenta que el número de átomos en el
cuerpo humano es del orden de $$10^{28}$$ y que el número de átomos en el
universo es, como mucho, $$10^{80},$$ pensar en números (naturales) de mayor
magnitud se antoja novelesco o como simple estudio teórico.
Para quien no lo
sepa, el origen del buscador indizado de internet más famoso en la actualidad,
GOOGLE, es el nombre de un número, concretamente $$10^{100} \textrm{ (en inglés se
llama googol) y que } 10^{10^{100}}=10^{ googol} \textrm{ se llama googolplex.}$$ Teniendo
en cuenta estas triviales denominaciones, absolutamente todo lo que existe en
el universo en cuanto a cantidad es mucho menor que un googol. Hay que ser de
mente abierta para ir imaginando estas cosas, ¿verdad? Si intentáramos escribir
un googolplex con un tipo de letra normal en un papel lo suficientemente grande
para que cupiera, nos faltaría espacio en el universo para poder plasmarlo en él.
Una cota superior
de un conjunto de números es un elemento perteneciente a las cotas superiores
del conjunto dado. Hay, por tanto, muchas cotas superiores. A la menor de estas
cotas superiores se la denomina ínfimo. Algo parecido sirve para definir el
supremo de un conjunto de cotas inferiores. El número de Graham es una cota
superior de la solución de un problema de grafos de la teoría de Ramsey, en la
que no voy a entrar por su complejidad y para no desviar la atención sobre este
número en sí. Simplemente comentar que esta solución N es de la forma $$11\leq
N \leq G,$$ donde G es el número de Graham.
El número de Graham
tiene el curioso honor de ser el número más grande que existe de forma
explícita, es decir, se puede construir aunque lo que se tarde en hacerlo es
una cuestión muy particular. Se sabe que sus últimas cifras son …95387. Los puntos
suspensivos de la anterior frase encierran tal vastedad que desafían el
razonamiento y las capacidades humanas. Voy a tratar de acercar al lector a la
construcción de este número tan curioso.
La construcción del
número de Graham no se puede hacer con torres de exponentes de la forma "número elevado a otro número elevado a otro número..." porque G es tan grande que resulta una notación inútil, pero sí se puede
hacer de forma recursiva mediante la notación de flechas de Knuth:
$$3\uparrow{}\uparrow{}2=3^{3}=3*3*3=27$$
$$3\uparrow{}\uparrow{}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987$$
$$3\uparrow{}\uparrow{}4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}$$ y
sucesivamente…
Tenemos así:
$$3\uparrow{}3=27$$
$$3\uparrow{}\uparrow{}3=3\uparrow(3\uparrow{}3)=3^{27}=7625597484987$$
$$3\uparrow{}\uparrow{}\uparrow{}3=3\uparrow{}\uparrow{}3\uparrow{}\uparrow{}3
=3^{7625597484987}= \textrm{ número inimaginable.}$$
Llamamos $$x=g_1=3\uparrow{}\uparrow{}\uparrow{}\uparrow{}3$$ que es el siguiente según el número de flechas detallado anteriormente.
Llamamos $$g_2=3\uparrow{}\ldots\uparrow{}3$$ donde los
puntos suspensivos son `x´ flechas (algo que se escapa al entendimiento).
Recursivamente, el número de Graham se define como $$G=g_{64}=3\uparrow{}\ldots \uparrow{}3$$ donde los puntos suspensivos
representan tantas flechas como $$g_{63}$$ Evidentemente, existen los siguientes “g”, es
decir, $$g_{65}, g_{66},\ldots g_{100},\ldots $$
Se define Aleph cero $$\chi_0$$ al cardinal de los números naturales $$\mathbb{N}$$ es decir, el “infinito más pequeño”, por tanto, también existe $$g_{\chi_N}$$ y sucesivamente.
Se define Aleph cero $$\chi_0$$ al cardinal de los números naturales $$\mathbb{N}$$ es decir, el “infinito más pequeño”, por tanto, también existe $$g_{\chi_N}$$ y sucesivamente.
La idea que subyace
de esta reflexión y el contexto del número de Graham y otros números grandes es
que NO EXISTE EL INFINITO (yo soy de esta corriente matemática, la corriente constructivista)
porque, en caso afirmativo, el número de Graham sería igual a cero e igual al
googol e igual al googleplex e igual a cualquier otro número finito. Parece una
afirmación muy aventurada pero mi formación académica no me lleva a otra
conclusión. Si existiera el infinito, incluso el “más pequeño”, definido antes,
siempre existirían infinitos, valga la redundancia, números mayores que
cualquier otro número, por tanto, todos los números finitos estarían tan
próximos a cero como cualquier otro infinitesimalmente por lo que todos los
números serían cero de forma infinitesimal y el salto en la escala numérica
positiva sería $$0, \chi_0, \chi_1,\ldots$$ Ya comenté en la entrada El Frío No Existe que el concepto de infinito y el concepto de frío son invenciones humanas para explicar
ciertas cosas y que las leyes de la física teórica se cumplan pero, ¿quién
quiere más cifras que las del número de átomos del universo? ¿Acaso no es suficiente? Aún así, se le atribuye a Einstein la frase "solo hay dos cosas infinitas: el universo y la estupidez humana y no estoy seguro de lo primero".
