domingo, 28 de mayo de 2017

Conjuntos Inagotables: A Vueltas Con el Infinito y El Axioma de Elección



   En esta entrada intentaré dar a entender algunos conceptos curiosos sobre el número de elementos de un conjunto y sus nombres cuando no se puede controlar cuántos elementos posee ese conjunto, siempre de una manera informal, sin entrar en tediosos detalles ni formulaciones que requieren una fuerte base matemática. Todo se basa en el cuestionado Axioma de Elección, que ya usé en la entrada Mi Solución Particular al Rompecabezas Lógico Más Difícil que proviene de la entrada El Rompecabezas Lógico Más Difícil, las dos con gran aceptación dentro de mi pequeño blog.
   En Teoría de Conjuntos, se dice que un conjunto A es AMORFO, si A es infinito y todos sus subconjuntos son finitos o cofinitos (un conjunto es cofinito si su complemento es finito).
    Un conjunto A se llama SUPERAMORFO, si A es infinito y, para todo k, todos los subconjuntos de A ^ k (se lee "A elevado a k", es decir, AxAxA...xA, k veces como producto cartesiano) son de primer orden definibles a partir de un número finito de parámetros en el lenguaje de igualdad (un primer orden es el lenguaje de símbolos usado habitualmente para relacionar conjuntos, nada de metalenguajes ni estructuras lógicas complejas que no vienen al caso). Es consistente con la axiomática de Zermelo-Frankel que existan conjuntos superamorfos, es decir, dentro de esa axiomática (la conocida por todos) no existe contradicción entre las distintas estructuras y los conjuntos superamorfos. Esto es difícil de explicar pero se basa en el denominado Teorema de Completitud de Gödel. 
   Lo curioso de lo explicado anteriormente es la nomenclatura utilizada para definir esos conceptos, con unos nombres que dan qué pensar, no solo a los conocedores de la temática, más incluso a cualquier lector sin base técnica.
 
Veamos otro concepto curioso, el concepto de inagotabilidad:
   Un conjunto A se denomina INAGOTABLE si contiene más de un elemento y, para cualquier descomposición de la forma A = B U C, se tiene que A puede ser inyectado en B ó C (inyección, sobreyección o biyección son conceptos matemáticos que relacionan los elementos de distintos conjuntos, la inyección, en este caso, significa que dos elementos  distintos del conjunto A van a parar (se transforman) siempre a (en) elementos distintos del conjunto B, idem con C).

Y aquí tenemos la clave de esta cuestión:
Si el (polémico) Axioma de Elección se cumple, entonces los conjuntos inagotables son exactamente los conjuntos infinitos. Sin embargo, sin este terrorífico axioma, no es nada claro que los superconjuntos de conjuntos inagotables sean también inagotables. Vamos a ver, brevemente, que esta propiedad realmente caracteriza al Axioma de Elección:

Teorema:
Supongamos que cada conjunto que contiene un conjunto inagotable, es en sí mismo inagotable. Entonces el axioma de elección se cumple.

    Diremos que la propiedad "noción de infinitud" es cerrada bajo equivalencias y superconjuntos (cerrado es lo contrario de abierto en cuestiones topológicas que no debo entrar...) y, si se verifica para un conjunto no finito w, entonces se puede reformular lo anterior de la siguiente manera:

"Inagotabilidad" es una noción de infinitud sólo si el axioma de elección se da, o equivalentemente, sólo si coincide con el infinito verdadero.
Vamos a ver esto tan curioso:
   Vamos a mostrar que cada conjunto puede estar bien-ordenado, lo cual es claro para conjuntos finitos, por lo que consideremos algún conjunto B infinito. Sea k el menor número ordinal tal que B no pueda ser mapeado en k (reformar los elementos de B a otros de k). Sea A la unión disjunta de k y B: A = B + k, es decir, A y k no tienen nada en común, su intersección es vacía.
Claramente w está incluido en k, por lo tanto, A contiene un conjunto inagotable y por lo tanto es inagotable. Así que tenemos B + k    B ó B + k    k. La primera alternativa implicaría k B, por lo tanto k * B que es imposible por la definición de k, siendo * otro orden.
Así pues, tenemos B + k k, así también B k. Por lo tanto B puede estar bien-ordenado.
   Lo más interesante es tomar conciencia de los conceptos y las nociones que se pueden trasladar al lenguaje ordinario, con lo que se consigue acercar un poco cuestiones tan abstractas a gente no experimentada en este tema pero que poseen un fuerte espíritu crítico. Espero haberlo conseguido.

martes, 16 de mayo de 2017

El Segundo Advenimiento

   Impresionante poema de William Butler Yeats titulado The Second Coming (El Segundo Advenimiento). Que sea disfrutado:

Girando y girando en un círculo creciente
El halcón no puede oír al halconero;
Todo se desmorona; no resiste el pilar;
La anarquía se adueña del mundo entero,
La marea sanguinolenta se ha desatado, y en todas partes
La ceremonia de la inocencia es ahogada;
Los mejores carecen de toda convicción, mientras que los peores
Están llenos de energía apasionada.
Seguramente alguna revelación está cerca;
Seguramente el Segundo Advenimiento está cerca.
El Segundo Advenimiento! Tan pronto han salido esas palabras de mi boca
Cuando ya una vasta imagen procedente del Spiritus Mundi
Turba mi vista: en algún lugar en las arenas del desierto
Una forma con cuerpo de león y cabeza humana,
De mirada vacía e implacable como el sol,
Mueve sus pausados muslos, mientras a su alrededor
Revolotean las sombras de las indignadas aves del desierto
La oscuridad cae de nuevo; pero ahora sé
Que veinte siglos de pétreo sueño
Fueron atormentados hasta la pesadilla por el mecer de una cuna,
¿Y que tosca bestia, su hora al fin llegada,
Se arrastra hacia Belen para nacer?

viernes, 5 de mayo de 2017

La Paradoja de la Ecuación de Drake y la Teoría de Olduvai: La Paradoja de Fermi



   Prácticamente, desde que el hombre tiene conciencia de ser hombre, el Homo Sapiens se ha planteado la cuestión no banal, junto con otras, de si está sólo en el universo, a partir de la cuestión simplificada de si está sólo. No fue hasta mediados del siglo XX con el desarrollo de la llamada carrera espacial, cuando se plantearon las bases científicas de tan dudosa cuestión. Así, surgió la “Ecuación de Drake” que aproximaba, como un primer paso, cuántas civilizaciones de nuestra galaxia podrían poseer la capacidad de emitir frecuencias de radio que fueran detectables. Se puede encontrar mucha información sobre esta ecuación en este enlace. Evidentemente, la simple concepción de una fórmula que pueda darnos un valor concreto se plantea poco exacta exponencialmente por la falta de datos concretos sobre cada factor de dicha formulación. Aún así, en un principio se estimó que dicho valor, llamado N en la ecuación, podría ser de 10, demasiado alto a mi entender ya que, no olvidemos que la ecuación de Drake estima un valor para civilizaciones avanzadas.
   Con el paso de las décadas se fue perfilando una formulación que diera una respuesta más o menos concreta a la pregunta de si está el hombre sólo en el universo conocido, de tal forma que se afinó esta cuestión sin plantear la posibilidad de que, en caso de existir vida ahí fuera, no necesariamente tuviera la posibilidad de emitir ondas de radio detectables desde la Tierra, simplemente se busca que exista vida extraterrestre, sea la que sea, con lo que se ha estimado que al menos dos planetas con vida se podrían descubrir de aquí a 10 años, un dato muy interesante.
   Ahora bien, los planteamientos anteriores se basan en el momento actual, década arriba, década abajo pero ¿qué ha sucedido durante toda la vida conocida del universo con la existencia de civilizaciones o, más simplemente aún, la existencia de cualquier tipo de vida? Nos encontramos con una cuestión nada trivial teniendo en cuenta que la edad del hombre es muy limitada con respecto a la edad del universo, apenas una fracción aquella de ésta, por lo que cabría preguntarse si no han existido más civilizaciones de hombres o seres parecidos según a adaptación que requiriera su entorno de existencia, en otras épocas, hace miles o millones de años, o algo parecido, por lo que contestar la pregunta inicial que planteó Frank Drake lleva al hombre a una lucha contrarreloj si aplicamos la “Teoría de Olduvai”, con enlace aquí, íntimamente relacionada con el “Pico de Hubbert”, aquí, es decir, el hombre no posee mucho tiempo para encontrar vida extraterrestre, tal y como se concibe la vida del hombre en el planeta Tierra.
   Pero, ¿y si se plantea la pregunta inicial en sentido contrario?, es decir, ¿por qué alguna o algunas civilizaciones avanzadas extraterrestres no han conseguido hasta ahora, que se sepa, detectar ondas de radio procedentes del hombre suponiendo verídica la existencia de esas civilizaciones? Por una parte, es obvio que, de existir alguna civilización extraterrestre, tendría igual o menor nivel tecnológico que el del hombre porque si fuera mucho más avanzada, habría podido (supongo) detectar y contactar con nuestra civilización. Por otra parte, dicha civilización avanzada habría podido detectar, simplemente con ‘apuntar’ adecuadamente sus radiotelescopios hacia nuestro planeta, las emisiones de radiactividad de las centrales nucleares, la basura espacial, las altísimas temperaturas de los ensayos con armas nucleares posteriores a la Segunda Guerra Mundial (millones de grados centígrados, es decir, varias veces la temperatura de una galaxia como es el Sol, por ejemplo con la reacción de fusión Deuterio-Litio6) y algunas otras cuestiones.
   Por todo ello, soy reacio a creer que exista vida inteligente ahí fuera y, en caso de existir, no creo que al hombre le dé tiempo a encontrarla o viceversa si se cumple la teoría de Olduvai, que nos encuentren aunque, por otro lado, bien es cierto que el universo conocido por el hombre sigue ampliándose gracias a los avences tecnológicos y se puede conjeturar con la existencia de universos paralelos, etc., de ahí la razón de denominar a esta entrada como “paradoja” de una cuestión científica.
   A grandes rasgos, esta entrada es una breve introducción a la "Paradoja de Fermi", que ya se planteó cuestiones parecidas mientras trabajaba el el Proyecto Manhattan, pero eso es otra historia...

martes, 18 de abril de 2017

(III) Otro Resultado Interesante



   Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de catetos 2 y 4. El área del cuadrado es lado x lado, 2x2 = 4, y la del triángulo es (base x altura)/2 = (2x4)/2  = 4, es decir, tienen áreas iguales. Entonces nos podemos plantear la pregunta: ¿existe alguna forma de cortar el triángulo en un número finito de piezas de tal forma que puedan reordenarse para forma el cuadrado? La respuesta, en la que no entraré aquí para no aburrir al lector, es sí.

A raíz de lo anterior, se deduce: ¿se podrá hacer siempre esto?, es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que un cierto “despiece” de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Y aquí viene el resultado que nos despeja la duda:

Teorema de Bolyai-Gerwien
   Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono. Es decir, la duda anterior se resuelve positivamente. Vamos a probarlo (no es complicado hacerlo sin tecnicismos):
Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se pueden reordenar para formar rectángulos. Estos rectángulos, a su vez, pueden colocarse para formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.
Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono (invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar de uno de los polígonos al otro y listo.
   Este teorema fue planteado por Bolyai sobre 1790, y demostrado por Wallace en 1807. En 1835 Bolyai también encontró una prueba sin saber nada de la de Wallace (la globalización de nuestro mundo llegó después...).
   Lo visto anteriormente es para dos dimensiones (en el plano) pero, ¿qué ocurre en tres dimensiones? Parece natural preguntarse si en 3 dimensiones también se verifica, pero la respuesta es no. En general, no se puede diseccionar un poliedro en poliedros más pequeños tales que se puedan reordenar para conseguir cualquier otro poliedro. Tanto es así, que éste fue el tercer problema de la lista de Hilbert del año 1900, el cual fue resuelto por Max Dehn, un alumno del propio Hilbert, en el mismo año 1900. Algunos de esos problemas de la lista siguen sin resolverse hoy día.
   ¿Se puede pasar de un círculo a otro polígono?, es decir, ¿se podría cortar un círculo en una cantidad finita de piezas que pudieran ser reordenadas para formar un polígono, (por ejemplo, un cuadrado) de la misma área que el círculo inicial?. La respuesta es no: ya sabemos que la cuadratura del círculo es imposible con regla y compás, pero ¿y si quitamos esa dura restricción?, esto es, ¿podría pasarse del círculo al cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es sí, es decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero no podemos reproducirlo físicamente y no se puede por la misma razón que nos impide reproducir físicamente lo que describo en la entrada (II) La Paradoja de Banach-Tasrki, porque las piezas en las que hay que dividir el círculo son no medibles, tal y como comenté allí.
Interesante y fácil de entender, ¿verdad?