martes, 16 de mayo de 2017

El Segundo Advenimiento

   Impresionante poema de William Butler Yeats titulado The Second Coming (El Segundo Advenimiento). Que sea disfrutado:

Girando y girando en un círculo creciente
El halcón no puede oír al halconero;
Todo se desmorona; no resiste el pilar;
La anarquía se adueña del mundo entero,
La marea sanguinolenta se ha desatado, y en todas partes
La ceremonia de la inocencia es ahogada;
Los mejores carecen de toda convicción, mientras que los peores
Están llenos de energía apasionada.
Seguramente alguna revelación está cerca;
Seguramente el Segundo Advenimiento está cerca.
El Segundo Advenimiento! Tan pronto han salido esas palabras de mi boca
Cuando ya una vasta imagen procedente del Spiritus Mundi
Turba mi vista: en algún lugar en las arenas del desierto
Una forma con cuerpo de león y cabeza humana,
De mirada vacía e implacable como el sol,
Mueve sus pausados muslos, mientras a su alrededor
Revolotean las sombras de las indignadas aves del desierto
La oscuridad cae de nuevo; pero ahora sé
Que veinte siglos de pétreo sueño
Fueron atormentados hasta la pesadilla por el mecer de una cuna,
¿Y que tosca bestia, su hora al fin llegada,
Se arrastra hacia Belen para nacer?

viernes, 5 de mayo de 2017

La Paradoja de la Ecuación de Drake y la Teoría de Olduvai: La Paradoja de Fermi



   Prácticamente, desde que el hombre tiene conciencia de ser hombre, el Homo Sapiens se ha planteado la cuestión no banal, junto con otras, de si está sólo en el universo, a partir de la cuestión simplificada de si está sólo. No fue hasta mediados del siglo XX con el desarrollo de la llamada carrera espacial, cuando se plantearon las bases científicas de tan dudosa cuestión. Así, surgió la “Ecuación de Drake” que aproximaba, como un primer paso, cuántas civilizaciones de nuestra galaxia podrían poseer la capacidad de emitir frecuencias de radio que fueran detectables. Se puede encontrar mucha información sobre esta ecuación en este enlace. Evidentemente, la simple concepción de una fórmula que pueda darnos un valor concreto se plantea poco exacta exponencialmente por la falta de datos concretos sobre cada factor de dicha formulación. Aún así, en un principio se estimó que dicho valor, llamado N en la ecuación, podría ser de 10, demasiado alto a mi entender ya que, no olvidemos que la ecuación de Drake estima un valor para civilizaciones avanzadas.
   Con el paso de las décadas se fue perfilando una formulación que diera una respuesta más o menos concreta a la pregunta de si está el hombre sólo en el universo conocido, de tal forma que se afinó esta cuestión sin plantear la posibilidad de que, en caso de existir vida ahí fuera, no necesariamente tuviera la posibilidad de emitir ondas de radio detectables desde la Tierra, simplemente se busca que exista vida extraterrestre, sea la que sea, con lo que se ha estimado que al menos dos planetas con vida se podrían descubrir de aquí a 10 años, un dato muy interesante.
   Ahora bien, los planteamientos anteriores se basan en el momento actual, década arriba, década abajo pero ¿qué ha sucedido durante toda la vida conocida del universo con la existencia de civilizaciones o, más simplemente aún, la existencia de cualquier tipo de vida? Nos encontramos con una cuestión nada trivial teniendo en cuenta que la edad del hombre es muy limitada con respecto a la edad del universo, apenas una fracción aquella de ésta, por lo que cabría preguntarse si no han existido más civilizaciones de hombres o seres parecidos según a adaptación que requiriera su entorno de existencia, en otras épocas, hace miles o millones de años, o algo parecido, por lo que contestar la pregunta inicial que planteó Frank Drake lleva al hombre a una lucha contrarreloj si aplicamos la “Teoría de Olduvai”, con enlace aquí, íntimamente relacionada con el “Pico de Hubbert”, aquí, es decir, el hombre no posee mucho tiempo para encontrar vida extraterrestre, tal y como se concibe la vida del hombre en el planeta Tierra.
   Pero, ¿y si se plantea la pregunta inicial en sentido contrario?, es decir, ¿por qué alguna o algunas civilizaciones avanzadas extraterrestres no han conseguido hasta ahora, que se sepa, detectar ondas de radio procedentes del hombre suponiendo verídica la existencia de esas civilizaciones? Por una parte, es obvio que, de existir alguna civilización extraterrestre, tendría igual o menor nivel tecnológico que el del hombre porque si fuera mucho más avanzada, habría podido (supongo) detectar y contactar con nuestra civilización. Por otra parte, dicha civilización avanzada habría podido detectar, simplemente con ‘apuntar’ adecuadamente sus radiotelescopios hacia nuestro planeta, las emisiones de radiactividad de las centrales nucleares, la basura espacial, las altísimas temperaturas de los ensayos con armas nucleares posteriores a la Segunda Guerra Mundial (millones de grados centígrados, es decir, varias veces la temperatura de una galaxia como es el Sol, por ejemplo con la reacción de fusión Deuterio-Litio6) y algunas otras cuestiones.
   Por todo ello, soy reacio a creer que exista vida inteligente ahí fuera y, en caso de existir, no creo que al hombre le dé tiempo a encontrarla o viceversa si se cumple la teoría de Olduvai, que nos encuentren aunque, por otro lado, bien es cierto que el universo conocido por el hombre sigue ampliándose gracias a los avences tecnológicos y se puede conjeturar con la existencia de universos paralelos, etc., de ahí la razón de denominar a esta entrada como “paradoja” de una cuestión científica.
   A grandes rasgos, esta entrada es una breve introducción a la "Paradoja de Fermi", que ya se planteó cuestiones parecidas mientras trabajaba el el Proyecto Manhattan, pero eso es otra historia...

martes, 18 de abril de 2017

(III) Otro Resultado Interesante



   Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de catetos 2 y 4. El área del cuadrado es lado x lado, 2x2 = 4, y la del triángulo es (base x altura)/2 = (2x4)/2  = 4, es decir, tienen áreas iguales. Entonces nos podemos plantear la pregunta: ¿existe alguna forma de cortar el triángulo en un número finito de piezas de tal forma que puedan reordenarse para forma el cuadrado? La respuesta, en la que no entraré aquí para no aburrir al lector, es sí.

A raíz de lo anterior, se deduce: ¿se podrá hacer siempre esto?, es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que un cierto “despiece” de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Y aquí viene el resultado que nos despeja la duda:

Teorema de Bolyai-Gerwien
   Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono. Es decir, la duda anterior se resuelve positivamente. Vamos a probarlo (no es complicado hacerlo sin tecnicismos):
Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se pueden reordenar para formar rectángulos. Estos rectángulos, a su vez, pueden colocarse para formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.
Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono (invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar de uno de los polígonos al otro y listo.
   Este teorema fue planteado por Bolyai sobre 1790, y demostrado por Wallace en 1807. En 1835 Bolyai también encontró una prueba sin saber nada de la de Wallace (la globalización de nuestro mundo llegó después...).
   Lo visto anteriormente es para dos dimensiones (en el plano) pero, ¿qué ocurre en tres dimensiones? Parece natural preguntarse si en 3 dimensiones también se verifica, pero la respuesta es no. En general, no se puede diseccionar un poliedro en poliedros más pequeños tales que se puedan reordenar para conseguir cualquier otro poliedro. Tanto es así, que éste fue el tercer problema de la lista de Hilbert del año 1900, el cual fue resuelto por Max Dehn, un alumno del propio Hilbert, en el mismo año 1900. Algunos de esos problemas de la lista siguen sin resolverse hoy día.
   ¿Se puede pasar de un círculo a otro polígono?, es decir, ¿se podría cortar un círculo en una cantidad finita de piezas que pudieran ser reordenadas para formar un polígono, (por ejemplo, un cuadrado) de la misma área que el círculo inicial?. La respuesta es no: ya sabemos que la cuadratura del círculo es imposible con regla y compás, pero ¿y si quitamos esa dura restricción?, esto es, ¿podría pasarse del círculo al cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es sí, es decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero no podemos reproducirlo físicamente y no se puede por la misma razón que nos impide reproducir físicamente lo que describo en la entrada (II) La Paradoja de Banach-Tasrki, porque las piezas en las que hay que dividir el círculo son no medibles, tal y como comenté allí.
Interesante y fácil de entender, ¿verdad? 

lunes, 17 de abril de 2017

(II) Paradoja de Banach-Tarski: A Vueltas Con el Axioma de Elección



La paradoja de Banach-Tarski se enuncia así:
Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 y maciza, es posible dividirla en 8 partes tales que, aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro, podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

 

   De hecho, el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.
   Al leer esto, se puede pensar que nos están engañando, que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.
   Por un lado, si asumimos cierto el resultado, podemos pensar en realizarlo, es decir,  tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para, a partir de ellas, formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza: no se puede hacer en el mundo real ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.
   Por otro lado, podríamos decir: es imposible porque el volumen final es el doble del inicial, es decir, que si las esferas fueran materiales, nos estaríamos saltando el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad pero, de todas formas, el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservarlo. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la llamada ‘teoría de la medida’. Esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en nuestro caso el volumen. La cuestión entonces es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (hay algunos, por ejemplo, los llamados conjuntos de Vitali). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir, que no es lo mismo. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando mi admirado (ironía) ‘axioma de elección’. El uso de este axioma imposibilita describir explícitamente lo que se está analizando, de ahí su controversia…
   La demostración del resultado que nos ocupa, está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varias afirmaciones potentes, entre ellas una de Hausdorff relativa a los giros y el axioma de elección. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado e, incluso, para los que llevamos las matemáticas en los genes y no merece la pena ponerla en esta entrada. Lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo, si no que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera.
   Otra conclusión a partir de este resultado es la siguiente: se puede tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas, formar una esfera maciza del tamaño del Sol. Matemáticamente hablando, se puede.