martes, 19 de septiembre de 2017

Egoísmo Matemático: Correr y el Número de ERDOS



   Incluso una mala virtud del ser humano, como puede ser el egoísmo, llega hasta algo tan puro como la matemática. Lo que trato en esta entrada es una breve crítica hacia grandes intelectos que potencian su ego usando su campo profesional.
   Erdos fue un matemático húngaro que escribió casi tanto como Euler, ni más ni menos que 1500 artículos a lo largo de su vida. Curiosamente, el número que lleva su nombre no se lo asignó él mismo, si no un colega suyo, por lo que el egoísmo no es propio de Erdos si no de otros. Esta cifra es muy curiosa y nos da a entender lo “cercanos” que nos encontramos todos los matemáticos, incluso sin haber publicado ningún artículo de carácter científico, al menos de forma oficial. Sería algo así como decir que el conjunto de todos los matemáticos (ojo, incluidos los ya fallecidos) es realmente denso en el conjunto de la población mundial, es decir, estamos muy "cerca" unos de otros a nivel colaborativo. Es más, muchos otros científicos de muy diferentes áreas poseen un número de Erdos. Paso a describirlo de forma escueta.
   Se comienza, obviamente, por el propio Erdos, que posee un número de Erdos de 0. Los colaboradores de Erdos en primera instancia, es decir, los que fueron coautores de los artículos de Erdos, poseen un número de Erdos de 1. Los colaboradores de estos coautores que no colaboraron con Erdos directamente poseen un número de Erdos de 2 y así sucesivamente. Los matemáticos que no han publicado nunca ningún artículo científico tienen un número de Erdos infinito o no definido. Se ha demostrado que el 90% de los matemáticos tienen un número de Erdos menor que 8 (de ahí la “densidad” del conjunto de todos los matemáticos que comentaba antes), lo cual resulta muy chocante con la llamada “teoría de los seis grados de separación”. Hay 509 personas de orden 1, 6984 de orden 2 y, a partir de ahí, la cifra de los sucesivos órdenes varía. El rango de este número está entre 0 y 15 y la media es de 4,65.
   La definición de esta curiosa cifra no es tan exacta como se podría suponer porque, cabe preguntarse, ¿en qué términos ha sido esa colaboración?, ¿en qué campos concretos dentro de las matemáticas o de la ciencia en general?, etc. Los más lejanos en el tiempo son los famosos matemáticos Dedekind (1831) con número de Erdos 7 y Frobenius (1849) con número de Erdos 3. No se sabe si anteriores matemáticos tienen un número de Erdos finito.
   Sucede que existen números parecidos fuera de las matemáticas: existe el número de Bacon relativo al actor Kevin Bacon o el número de Stringfield para cuestiones paranormales.
   Y ahora viene mi aportación: defino el NÚMERO DE LLEBRÉS de la siguiente forma: me asigno el número 0 y defino un “coautor” o "colaborador" como aquel corredor o aquella corredora que haya participado conmigo en alguna competición de carrera a pie (es decir, alguien que yo conozca de forma directa, no un simple conocido/a) y haya terminado la prueba en el entorno de 5 minutos menos que mi tiempo oficial para el extremo inferior y 5 minutos más que mi tiempo oficial para el extremo superior, comenzando este pequeño juego en el año 2010, por ejemplo, y definiéndolo una vez para cada año, pudiendo realizar así la medición media hasta la fecha de este año para así descartar que alguna de estas personas pueda poseer varios números de Llebrés a la vez. Curioso, ¿verdad? Sería cuestión de hacer los cálculos…
   Es evidente, a la vista del párrafo anterior, que cada cual puede definirse un número propio, en propiedad y autoría, en cualquier ámbito de la vida y de cualquier forma que se le ocurra, haga lo que haga y donde lo haga, siendo tan egoísta como lo son los elementos de ese conjunto tan peculiar al que humildemente pertenezco: el conjunto de los matemáticos.
Nota: mi número de Erdos es finito.

sábado, 16 de septiembre de 2017

La Insolubilidad de la Quíntica



   Es bien sabido que las ecuaciones de segundo grado con coeficientes racionales son muy sencillas de resolver simplemente aplicando una fórmula que, a los alumnos y alumnas de secundaria, les cuesta horrores aprender o, en sus casos más simples, reduciendo esta ecuación cuadrática a alguna lineal por la ausencia de alguno de sus coeficientes. La famosa fórmula involucra una raíz cuadrada (bueno dos, la positiva y la negativa) que nos da dos soluciones, una o ninguna (por el teorema Fundamental de Álgebra) en términos reales, pero si añadimos que las soluciones pueden ser números complejos, esa “ninguna” es aceptada.
   Por experiencia propia, es raro que algún alumno o alumna sienta curiosidad por saber de dónde sale esa fórmula tan extraña que nos proporciona de una forma directa y elegante las soluciones reales de una ecuación de segundo grado y, ni que decir tiene, que ni remotamente se podría encontrar a algún estudiante que se plantee si existen fórmulas para ecuaciones con mayores grados. Si existiera alguno (yo no lo he encontrado aún), yo le diría que sí, existen fórmulas para las ecuaciones de tercer grado y de cuarto grado que, lógicamente, involucran raíces de orden 3 y 4 respectivamente pero, de quinto grado en adelante, incluido el grado 5, no existen dichas fórmulas, lo cual resulta curioso cuanto menos. Es el llamado Teorema de Abel-Ruffini o el título de esta entrada.
   Ello no quiere decir que no se puedan calcular las soluciones de dichas ecuaciones, las cuales se pueden aproximar por métodos numéricos, ya sean implícitos o explícitos, de uno o varios pasos, como los Newton-Raphson, Runge-Kutta, Bisección, etc…
   En el siglo XIX, un jovenzuelo de nombre Galois dio con la clave de esta imposibilidad. Galois murió a los escasos 20 años, lo cual indica el potencial matemático que se perdió si no se hubiera batido en duelo con un oficial del ejército francés.
   El resultado fundamental de la Teoría de Galois dice que un polinomio se puede resolver por radicales sí y solamente sí su grupo de Galois es resoluble (se construye a partir de grupos conmutativos [esto es, axb = bxa] usando extensiones de grupos). Es un resultado muy poderoso e importante a pesar de su cortísimo enunciado. Su demostración requiere algunos conocimientos que sobrepasan este blog, el cual no trata de liar al lector si no darle algunas pinceladas sin perder el interés ni el fondo de lo tratado. Esa ha sido mi política hasta ahora, salvo casos muy excepcionales, y así seguirá siendo, por lo que trataré de explicar este tema lo más llanamente posible.
   Imaginemos un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales. Podría suceder que algunas de sus raíces verificaran ciertas ecuaciones algebraicas (aparte del polinomio del que son raíces, claro). Si podemos quedarnos con las transformaciones de esas raíces con la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas también son satisfechas por sus transformaciones, entonces podremos ir vislumbrando alguna propiedad interesante. El conjunto de esas transformaciones o permutaciones (podría ser permutar una raíz con otra en una suma, o cambiarlas en una multiplicación, etc…) tiene la propiedad de “grupo” y se llama Grupo de Galois (el grupo de permutaciones de orden n, Sn, es muy importante en álgebra abstracta) del polinomio inicial.
   Sin entrar en esos detalles escabrosos que comentaba antes, se puede concluir que las ecuaciones de segundo grado tienen asociado un grupo de Galois con, a lo sumo (importante), dos elementos 2! = 2.1 = 2: la identidad (es una transformación que lo deja todo igual, siempre está en cualquier grupo) y la trasposición que intercambia una raíz por la otra. Este grupo es matemáticamente igual, es decir, es isomorfo al grupo Z2 formado por las clases de equivalencia del 0 y el 1. Aquí cabe resaltar que todos los grupos cíclicos de orden finito n son isomorfos a Zn y los de orden infinito son isomorfos a Z, es lo que se llama teorema de Estructura de Grupos Cíclicos.
   Algo parecido se puede hacer para los polinomios de grado 3, de los que se pueden obtener 3! = 3.2.1 = 6 permutaciones como máximo, de las que habría que descartar las que su transformación es la misma, que son 3 (sin más que coger un ejemplo e ir buscando).
   Para los polinomios de grado 4 sucede lo mismo: obtendríamos 4! = 4.3.2.1 = 24 transformaciones de las raíces que cumplirían ciertas ecuaciones algebraicas pero de las que se repiten exactamente 20, por lo que hay 4 permutaciones distintas de las raíces.
   Todo esto se explica algebraicamente diciendo que los grupos de permutaciones S2, S3 y S4 son resolubles, es decir, como comenté antes, son grupos que se construyen a partir de grupos conmutativos de forma sencilla pero que requiere profundizar en la teoría, algo que no haré aquí como también comenté.
   La idea de esta entrada se reduce, viendo todo lo explicado hasta ahora, a saber si S5 es resoluble o no, pero un subgrupo suyo es A5, el llamado “grupo alternado de orden 5” cuyos elementos son las permutaciones pares, que tiene la particularidad de que no es conmutativo (existen cadenas de permutaciones que varían el resultado si se altera su orden) y S5 es una extensión natural de A5, por lo que S5 no es resoluble. A partir del orden 5 es más fácil aún encontrar cadenas de permutaciones de los S6, S7,… que no sean conmutativas, por lo que los polinomios asociados según el resultado de Galois no se pueden resolver usando una fórmula que involucre raíces.
   Bien, creo haber conseguido explicar de forma más o menos sencilla algo complejo y que se nos presenta cada día en secundaria a la hora de sacar las raíces de polinomios, por si a algún alumno o alumna se le ocurre preguntar.

viernes, 15 de septiembre de 2017

Suicidio

   En los mismos instantes en que escribo estas líneas, ahora mismo sin ningún género de dudas, un artefacto fabricado por el hombre se está auto-matando, está cometiendo suicidio en pos de la ciencia. La sonda Cassini, tras 20 años, que se dice pronto, se deja caer a merced del poderoso Saturno que la atrapa para siempre en su soledad estelar. Por eso, por un acontecimiento tan extraordinario como este que, casi con toda seguridad, no se le dará la importancia que tiene, decido retomar este blog desde hace unos meses tras un tiempo de incertidumbre y descanso mental.
   Antes que Cassini fueron las indestructibles Voyager y Pioneer, artefactos tecnológicamente hiper-avanzados para la época de su construcción y que, varias décadas después, siguen navegando incansables e imperecederas y así seguirán durante siglos hacia la nada del universo, algo que Cassini no conseguirá. Nunca antes la muerte de un artefacto ha conmovido tanto a la comunidad científica como en esta ocasión. En el futuro existirán más Cassinis, Voyagers y Pioneers pero el primer integrante de una especie siempre es singular, por eso, quizás, el hombre, en su infinitesimal existencia, se cree tan especial...

domingo, 28 de mayo de 2017

Conjuntos Inagotables: A Vueltas Con el Infinito y El Axioma de Elección



   En esta entrada intentaré dar a entender algunos conceptos curiosos sobre el número de elementos de un conjunto y sus nombres cuando no se puede controlar cuántos elementos posee ese conjunto, siempre de una manera informal, sin entrar en tediosos detalles ni formulaciones que requieren una fuerte base matemática. Todo se basa en el cuestionado Axioma de Elección, que ya usé en la entrada Mi Solución Particular al Rompecabezas Lógico Más Difícil que proviene de la entrada El Rompecabezas Lógico Más Difícil, las dos con gran aceptación dentro de mi pequeño blog.
   En Teoría de Conjuntos, se dice que un conjunto A es AMORFO, si A es infinito y todos sus subconjuntos son finitos o cofinitos (un conjunto es cofinito si su complemento es finito).
    Un conjunto A se llama SUPERAMORFO, si A es infinito y, para todo k, todos los subconjuntos de A ^ k (se lee "A elevado a k", es decir, AxAxA...xA, k veces como producto cartesiano) son de primer orden definibles a partir de un número finito de parámetros en el lenguaje de igualdad (un primer orden es el lenguaje de símbolos usado habitualmente para relacionar conjuntos, nada de metalenguajes ni estructuras lógicas complejas que no vienen al caso). Es consistente con la axiomática de Zermelo-Frankel que existan conjuntos superamorfos, es decir, dentro de esa axiomática (la conocida por todos) no existe contradicción entre las distintas estructuras y los conjuntos superamorfos. Esto es difícil de explicar pero se basa en el denominado Teorema de Completitud de Gödel. 
   Lo curioso de lo explicado anteriormente es la nomenclatura utilizada para definir esos conceptos, con unos nombres que dan qué pensar, no solo a los conocedores de la temática, más incluso a cualquier lector sin base técnica.
 
Veamos otro concepto curioso, el concepto de inagotabilidad:
   Un conjunto A se denomina INAGOTABLE si contiene más de un elemento y, para cualquier descomposición de la forma A = B U C, se tiene que A puede ser inyectado en B ó C (inyección, sobreyección o biyección son conceptos matemáticos que relacionan los elementos de distintos conjuntos, la inyección, en este caso, significa que dos elementos  distintos del conjunto A van a parar (se transforman) siempre a (en) elementos distintos del conjunto B, idem con C).

Y aquí tenemos la clave de esta cuestión:
Si el (polémico) Axioma de Elección se cumple, entonces los conjuntos inagotables son exactamente los conjuntos infinitos. Sin embargo, sin este terrorífico axioma, no es nada claro que los superconjuntos de conjuntos inagotables sean también inagotables. Vamos a ver, brevemente, que esta propiedad realmente caracteriza al Axioma de Elección:

Teorema:
Supongamos que cada conjunto que contiene un conjunto inagotable, es en sí mismo inagotable. Entonces el axioma de elección se cumple.

    Diremos que la propiedad "noción de infinitud" es cerrada bajo equivalencias y superconjuntos (cerrado es lo contrario de abierto en cuestiones topológicas que no debo entrar...) y, si se verifica para un conjunto no finito w, entonces se puede reformular lo anterior de la siguiente manera:

"Inagotabilidad" es una noción de infinitud sólo si el axioma de elección se da, o equivalentemente, sólo si coincide con el infinito verdadero.
Vamos a ver esto tan curioso:
   Vamos a mostrar que cada conjunto puede estar bien-ordenado, lo cual es claro para conjuntos finitos, por lo que consideremos algún conjunto B infinito. Sea k el menor número ordinal tal que B no pueda ser mapeado en k (reformar los elementos de B a otros de k). Sea A la unión disjunta de k y B: A = B + k, es decir, A y k no tienen nada en común, su intersección es vacía.
Claramente w está incluido en k, por lo tanto, A contiene un conjunto inagotable y por lo tanto es inagotable. Así que tenemos B + k    B ó B + k    k. La primera alternativa implicaría k B, por lo tanto k * B que es imposible por la definición de k, siendo * otro orden.
Así pues, tenemos B + k k, así también B k. Por lo tanto B puede estar bien-ordenado.
   Lo más interesante es tomar conciencia de los conceptos y las nociones que se pueden trasladar al lenguaje ordinario, con lo que se consigue acercar un poco cuestiones tan abstractas a gente no experimentada en este tema pero que poseen un fuerte espíritu crítico. Espero haberlo conseguido.