Polígonos Construibles

   Cuando se trata de construir polígonos regulares con regla y compás en el plano euclídeo habitual, cabe preguntarse cuáles se pueden construir y cuáles no y si existe alguna regla que determine si es posible o no realizar esa construcción para cualquier número de lados que se pretenda. Y la respuesta es afirmativa. En la entrada Construcciones (No Construibles) con Regla y Compás , expuse algunos casos concretos y muy conocidos sobre este tipo de construcciones en el plano. No entraré, como es norma en este blog, en detalles y demostraciones que requieren conocimientos de álgebra abstracta que, aunque básica, quedan fuera del espíritu de estas entradas.

   La pregunta clave es pues, ¿cuáles n-ágonos regulares es posible construir con regla y compás? Para ello, veamos que esa construcción está ligada matemáticamente a la posibilidad de que ciertos números reales sean construibles:

Supongamos que hay un solo segmento de recta que definiremos como de longitud una unidad. Así, diremos que un número real A es construible si se puede construir un segmento de recta de longitud las unidades que ocupa A, es decir, su módulo |A|, en un número finito de pasos a partir del segmento dado de longitud unitaria, usando solamente regla y compás.

Es fácil ver que si A y B son dos números construibles, entonces también lo son su resta, su suma, su producto y su división (siempre que el denominador no sea nulo). Estas operaciones nos dan la estructura de subcuerpo, de tal modo que se puede afirmar que el conjunto de los números reales que son construibles, llamémosle F, es un subcuerpo del cuerpo de los números reales. Como es sabido (no lo vamos a ver aquí), el cuerpo ℚ de los números racionales es el menor subcuerpo del cuerpo ℝ de los números reales, por lo que F contiene a ℚ. Este “F” así formado, consta, justo, de todos los números reales que se pueden obtener de ℚ tomando raíces cuadradas (los números de ℝ que “le faltan” a ℚ) de números (positivos, obviamente) un número finito de veces y aplicando un número finito de operaciones suma, resta, división y multiplicación.

Además, si un número A > 0 es construible, entonces es fácil probar que su raíz cuadrada, A también lo es.

   La imposibilidad de trisecar el ángulo es otra de las construcciones no construibles con regla y compás, es decir, existe algún ángulo que no se puede trisecar con regla y compás. Es evidente que al hablar de ángulos hay que hablar de razones trigonométricas y nos interesa, en este caso, el coseno del ángulo, puesto que un ángulo α se puede construir sí y sólo sí se puede construir un segmento de longitud |cos α| (es sabido que el coseno de un ángulo nos proporciona la longitud en la horizontal mientras que el seno del ángulo nos da la altura).

De aquí se puede obtener (no lo veremos aquí) que un n-ágono regular es construible para n ≥ 3, sí y sólo sí el ángulo 2π / n es construible, esto es, si es construible |cos (2π / n)|.

    Retomemos la cuestión inicial de esta entrada. Sea ahora la raíz n-ésima primitiva  ξ = cos (2π / n) + i sen (2π / n). Su inverso resulta, sin más que aplicar unos sencillos cálculos para números complejos,   1 / ξ = cos (2π / n) - i sen (2π / n). Su suma vale ξ + 1 / ξ = 2 cos (2π / n).

   Aquí, por desgracia, se complican los razonamientos que requieren extensiones de cuerpos y otras extructuras matemáticas en las cuales no entraré, pero la conclusión es que “los únicos n-ágonos regulares que pueden construirse con regla y compás son aquellos en que los primos que dividen n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide a n”. Gauss fue el que probó esta afirmación. Destacar que los números primos de Fermat, muy importantes en términos algebráicos, son de la forma 2^t +1, con t = 2^k. Fermat conjeturó que estos números eran primos para todos los enteros k > 0 aunque, hasta la fecha de escribir esta entrada, tan solo se conocen 5, que son: 3, 5, 17, 257, 65537, que equivalen a k = 0, 1, 2, 3, 4. Euler demostró que para k = 5, el número que se obtiene no es un primo de Fermat.

   Como ejemplos, se puede ver que el 7-ágono regular no es construible con regla y compás puesto que 7 no es un primo de Fermat. También se puede ver que el 18-ágono regular no es construible ya que, aunque 3 es un primo de Fermat, su cuadrado 3² = 9 divide a 18. El 60-ágono regular es construible ya que 60 = (2²)(3)(5) y 3 y 5 son ambos primos de Fermat.

   Apartando intencionadamente las cuestiones técnicas, esta entrada queda completada ofreciendo un método para poder construir al estilo clásico con regla y compás, los polígonos regulares que cumplan los requisitos.

Curiosidades

   Reúno aquí algunas curiosidades matemáticas que he ido recopilando de libros a lo largo de los años y que he podido contar en alguna ocasión a los alumnos durante las clases. Dejo solo unas pocas ya que si no, podría extenderme hasta el infinito (en caso de que exista tal cosa…).

- Una poesía: “soy π lema y razón ingeniosa. De hombre sabio que serie preciosa, valorando enunció magistral, con mi ley singular bien medido, el grande orbe por fin reducido, fue al sistema ordinario cabal”. Este poema con poca rima fue escrito por Nieto en su libro Los Números y su rareza se estima en que, si se sustituye cada palabra por el número de letras que tiene, se obtiene el número π con sus 32 primeros decimales.

- Hormigas listas: los caminos que forman las hormigas entre sus nidos y sus fuentes de alimento suelen ser los más cortos y directos, teniendo en cuenta que cuando comienzan su búsqueda las exploradoras, no saben dónde encontrarán comida o agua y deambulan de un lado a otro. Para perfeccionar su recorrido, la hormiga que va en cabeza emite señales olorosas cada vez que cambia de dirección, por lo que las que vienen detrás las detectan a distancia y se dirigen a ese punto por un camino un poco más recto que la que les ha precedido y éstas, a su vez, repiten el proceso de tal manera que llega un momento en el que el camino se hace casi recto y, si se las observa en el campo, suelen ser distancias considerables. Se sabe que este comportamiento es utilizado también por otras especies animales como pájaros o peces.

- Sublime sabio: Tales de Mileto (624 – 546 A.C.) fue sometido por los sacerdotes egipcios a una prueba casi imposible de resolver: averiguar la altura de la pirámide de Keops. La historia cuenta que Tales, después de un rato meditando delante de la pirámide, se tendió en el suelo, donde marcó con dos estacas la longitud de su estatura. Cuando observó que su sombra era igual a esa distancia marcada en el suelo, midió la sombra que proyectaba en ese momento la pirámide y dijo a los sacerdotes: “ahora que mi sombra y mi altura son iguales, la longitud de la sombra de la pirámide ha de coincidir con su altura”. Actualmente es la trigonometría la que resuelve éste y otros problemas similares pero, ¡vaya sabio más sabio!

- Proporciones extrañas: un filósofo griego afirmó “si el mundo entero y todas las cosas que contiene crecieran de tamaño a la vez y en idéntica proporción, nadie lo notaría”, ante lo cual, le respondió un matemático “lo notaríamos, porque las viandas colgadas de una cuerda se caerían al suelo”. La afirmación reside en que la superficie de un objeto crece según el cuadrado de la razón de semejanza, y el volumen según el cubo de esa razón, por lo que las cuerdas que sujetaran las viandas crecerían, sí, pero no lo bastante como para sostener el nuevo peso de esas viandas.

- Ajedrez explosivo: cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez, Sessa, presentó el juego al príncipe de la India, Sheran, quien quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la riqueza de movimientos y posiciones posibles. Con el fin de recompensarle, le preguntó qué deseaba. Sessa pidió pensar su respuesta hasta el día siguiente y, llegada la siguiente jornada se presentó ante el príncipe con su petición: “soberano, manda que me entreguen 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, y así, sucesivamente, hasta la casilla 64”. El príncipe no vio problema aparente en esta petición y accedió pero no sabía lo que ésto suponía. Sessa pedía la suma de 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶³ , es decir, más de 18 trillones de granos de trigo, el equivalente a la cosecha recogida al sembrar 65 veces todo el planeta. Obviamente, el príncipe no pudo cumplir su promesa.

- Niños y pastillas: para calcular la dosis adecuada de un fármaco que se debe suministrar a un niño de más de 1 año se utiliza la fórmula de Young, d = ax / (x + 12) , donde a es la dosis para un adulto, x es la edad del niño y d la dosis que se le suministrará.

- Impuestos justos: se sabe que los impuestos son necesarios para que un Estado pueda prestar servicios esenciales a sus ciudadanos. Los economistas se suelen preguntar cuál es el porcentaje de los beneficios de una empresa o de los ingresos de un ciudadano que deben ir a parar a las arcas del Estado. Aunque para ingresar más parecería que los impuestos deberían ser altos, es evidente que si llegan al 100% de los ingresos de las empresas, éstas acabarían por cerrar en muy poco tiempo y todos los trabajadores acabarían pues en el paro, por lo que el Estado no recaudaría nada. Por otro lado, si los impuestos son del 0%, entonces los ingresos del Estado también serían nulos. Así pues, los ingresos del Estado han de estar equilibrados según la curva de Laffer que relaciona el porcentaje de impuestos y los ingresos totales. Esta curva describe que cuando la presión fiscal es muy elevada y cuando es casi nula, la recaudación es pequeña y que esta recaudación alcanza sus máximos en el intervalo 30% - 40% de presión fiscal.

- Carbono 14: es una sustancia radiactiva que es absorbida por el organismo de los seres vivos pero empieza a desintegrarse después de su muerte. El número de gramos de Carbono 14 que permanecen en un hueso al cabo de t años viene dado por la expresión y = 3,6 e^{r t} , donde r = - 1,21 10^-4

- Compartir tarta de cumpleaños: no es difícil compartir cumpleaños con alguien al azar ya que, de cada 366 personas que conozcas, lo normal es que alguna cumpla este requisito. Si te reúnes con 30 personas al azar, la probabilidad de que alguna de ellas cumpla años el mismo día que tú es del 8,2%. Mas curioso aún es que, si preguntas a cada una de esas personas su fecha de nacimiento y comparas las respuestas, la probabilidad de que dos de ellas coincidan es del 70%. Incluso, aunque solo haya 23 personas, esa probabilidad es del 50%

Y hasta aquí en esta entrada, ¿quién dijo que las matemáticas eran aburridas?

Algunas Notas Sobre Logaritmos

    Un amigo me pidió para su hija algunas explicaciones sobre los logaritmos, esa estructura matemática tan infravalorada, al igual que las sucesiones de números reales, así que le escribí lo básico que, en realidad, es todo lo relativo a esta curiosa relación numérica con tan mala fama pero de gran sencillez y, si se dominan, aseguran puntos en un examen, al igual que las sucesiones, así que he trasladado aquellas notas a formato digital que expongo en las líneas siguientes.

    Se define el logaritmo en base “a” de un número y∈ℝ⁺ de la siguiente forma: log_a y = x  a^x = y. Si la base a = 10 se dice que es un logaritmo decimal y se designa sin escribir la base, esto es, log x. Si la base es el número “e” se tiene el logaritmo neperiano y se simboliza por ln. Se deduce de esta definición que no existen los logaritmos de los números negativos.

-Propiedades (se prueban fácilmente a través de la definición):

1)  a > 0, log_a a = 1

2)  x > 0, log_a xⁿ = n log_a x (notar que si a = n, entonces log_a aⁿ = n log_a a = n por la propiedad anterior. Por ejemplo, para el logaritmo decimal, como he comentado anteriormente, log 1000 = log 10³ = 3 log 10 = 3; ln e⁴ = 4 ln e = 4; log₅ 5⁸ = 8 log₅ 5 = 8 …).

3) log_a (x y) = log_a x + log_a y [la función logaritmo es un ejemplo sencillo de función que verifica que f(x) + f(y) = f(x y)].

4) log_a (x / y) = log_a x – log_a y

5) log_a x = ½ log_a x (si el índice de la raíz es cualquier “n”, sería 1/n )

6) Cambio de base: log_A x = (log_a x) / (log_a A)

7) log_a b = -log_a (1/b)

Una característica importante es que la función logaritmo es simétrica con la función exponencial de igual base respecto a la bisectriz del primer cuadrante, es decir,  a > 0, log_a x es simétrica con la función a^x,  x > 0. 

Otra característica a destacar de la función log_a x es que pasa por los puntos del plano (1,0) y (a,1).

 

Algunos ejemplos de aplicación:

-Calcular log₂ 128:

x = log₂ 128  2^x = 128  2^x = 2⁷  x = 7

-Calcular log₃ 243:

x = log₃243  3^x = 3⁵  x = 5/2

-Reducir 1 + log 2:

1 = log 10  log 10 + log 2 = log 20

-Calcular log_a 1/a + log_1/b b:

log_a 1/a + log_1/b b = log_a 1 – log_a a + (log b) / (log(1/b)) = 0 -1 + (log b) / (log 1 – log b) = -1 -1 = -2

-Si log_a N = 2 y log_a (32N) = 5, calcular “a”:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones pero con 1 incógnita: log_a (32N) = log_a 32 + log_a N = 5 y sustituimos la primera expresión en la segunda quedando: log_a 32 = 5 – 2 = 3  log_a 2⁵ = 3  5log_a 2 = 3  log_a 2 = 3/5  a^3/5 =2  a = 2^5/3

-Si log 2 = 0,3; log 3 = 0,4; log 5 = 0,7; log e = 0,4, calcular log 40, log 50/9 y ln 2:

log 40 = log (2³ 5) = log 2³ + log 5 = 3 log 2 + log 5 = 0,9 + 0,7 = 1,6

log 50/9 = log 50 – log 9 = log (5² 2) – log 3² = 2 log 5 + log 2 -2 log 3 = 1,4 + 0,3 – 0,8 = 0,9

ln 2 = log_e 2 = (log 2)/(log e ) = 0,3/0,4 = ¾ = 0,75

-Resolver la ecuación logarítmica 5 log x/2 + 2 log x/3 = 3 log x – log 32/9:

5 (log x – log 2) + 2 (log x – log 3) = 3 log x – log 32 - (-log 9)

5 log x +2 log x – 3 log x = log 9 – log 32 + 5 log 2 + 2 log 3

4 log x = log 3² – log 2⁵ + 5 log 2 + 2 log 3

log x⁴ = 2 log 3 – 5 log 2 + 5 log 2 + 2 log 3

log x⁴ = log 3⁴

x = 3

-Resolver el sistema formado por las ecuaciones logarítmicas log x/y = 1; log x² + log y = 8:

De la primera ecuación obtenemos log x – log y = 1  log x = 1 + log y, que sustituimos en la segunda ecuación para resolver en “y”. De igual forma se puede hacer con la otra incógnita:

2 log x + log y = 8  2 (1 + log y) + log y = 8  2 + 3 log y = 8  log y = 6/3 = 2  y = 100  log x = 1 + 2 = 3  x = 1000

-Resolver la ecuación [log (x² + 11)]/2 = log x + log 6 – log 5:

log (x² + 11) = 2 log x + 2 log 6 – 2 log 5

log (x² + 11) = log x² + log 6² – log 5²

log (x² + 11) = log (x² (6/5)²)  x² + 11 = (6/5)² x²  x² + 11 = 36/25 x², ecuación de segundo grado sin término en “x”:

x² – 36/25 x² = -11  (1 – 36/25) x² = -11  -11 x² = -11  x² = 1 por lo que x = 1 y x = -1 pero el valor x = -1 no es solución de la ecuación logarítmica porque sabemos que no existen los logaritmos de los números negativos, por lo que la solución final de la ecuación inicial es x = 1.

    Se comprueba con estas notas que la resolución de estructuras logarítmicas no tiene dificultad porque siempre se utiliza la propia definición y las propiedades nombradas más arriba y sirven, como se ha visto, para sencillas evaluaciones de logaritmos, ecuaciones o sistemas de los mismos, etc.