¿De Dónde Proviene el Número "e"?

 

    Es evidente, hoy en día, la importancia del número “e” en varios campos de la matemática destacando en el análisis matemático. En esta entrada voy a explicar brevemente cómo surgió tan curioso número a partir del interés bancario a finales del siglo XVII, esto es, muy recientemente. Destacar que este número es irracional y trascendente y ya lo he nombrado en este blog en algunas entradas como Pincelada Sobre Números Algebraicos y Trascendentes o la entrada Números Excepcionales I

   Supongamos, como ejemplo, que creamos un depósito en un banco por valor de 5000 € al 3 % de rendimiento. Supongamos que no retiramos ni el dinero ni los intereses generados, ¿qué capital habrá al cabo de 1 año, al cabo de 2 años, y sucesivamente?

El anterior es un problema que se nos puede plantear en algún momento de nuestra vida, sin duda:

Al cabo de 1 año se tendrán 5000 + 5000 3/100 = 5000 (1 + 0,03) = 5150 €.

Al cabo de 2 años se tendrán 5150 (1 + 0,03) = 5000 (1,03)² = 5304,5 €.

Al cabo de x años se tendrá la expresión, en euros, 5000 (1,03)^x

En general, si se coloca un capital C al r % de interés, ¿qué capital se habrá formado al cabo de t años?

Llamemos i = r / 100 , entonces se cumple que:

Al final del primer año, C₁ = C + C i = C (1+ i)

Al final del segundo año, C₂ = C₁ (1 + i) = C (1 + i)²

Al final del año t, se tiene C_t =C (1 + i)^t

A esta expresión se la denomina interés compuesto.

Si los intereses se abonaran trimestralmente, el capital final sería C_t = C (1 + i/4)^t, con t = nº de trimestres.

Si los intereses se abonaran mensualmente, el capital final sería C_t = C (1 + i/12)^t, con t = nº de meses.

Supongamos ahora que ingresamos en un banco 1 € con un interés compuesto del 100 % anual. Así, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1)¹ = 2 €.

Si el abono de intereses es mensual, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1/12)¹² = 2,61303523… €.

Si el abono de intereses es diario, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1/365)³⁶⁵ = 2,71456748… €.

Si el abono de intereses es cada segundo, como un año tiene 365·24·60·60 = 31536000 segundos, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1/31536000)^31536000 = 2,7182817853… €.

Si dividiésemos el año en “n” partes iguales y haciendo que “n” fuese muy grande, al final del primer año se tendrían (1 + 1/n)ⁿ = 2,718281828459… euros.

Se define número e como el valor al que tiende la expresión (1 + 1/n)ⁿ cuando n toma valores muy grandes, es decir, e = lim_{n → +∞} (1 + 1/n)ⁿ. 

   Cuando se "descubrió" este curioso número no se sabía la importancia que tendría en el futuro y el avance que supuso para las matemáticas en general y la ingeniería en particular y cómo se entrelazan las diferentes áreas de las ciencias puras, pasando, por las aplicaciones del número "e", de la economía a los numeros complejos, el análisis matemático o la estadística.

La Gravedad en Distintos Objetos Celestes

 

    Medir la aceleración de la gravedad se puede realizar de forma empírica con un método muy sencillo denominado “método del péndulo simple”. Cuantas más veces se realice este experimento en idénticas condiciones, más se acercará el valor obtenido al valor exacto de la gravedad en ese lugar. Hay que tener en cuenta que dicho valor depende de la altitud a la que se realice el experimento puesto que su valor aceptado corresponde a la superficie de la Tierra, y es g_T = 9,80665 m/s² ó N/kg, que se aproxima a 9,81 por comodidad. No voy a explicar en esta entrada ese método sino que me centraré en la forma de calcular el valor de la gravedad en los lugares donde no se puede acceder físicamente para aplicar el método anterior, es decir, fuera del planeta Tierra y, al igual que sucede en nuestro planeta, ese cálculo corresponde a la superficie de cada lugar. Por ejemplo, la gravedad de Marte es g_M = 3,92266 m/s², en la Luna su valor es g_L = 1,93711 m/s², que se aproxima a 1,94, o la gravedad de Júpiter, el planeta del sistema solar con la más alta, que es de g_J = 24,79 m/s² . Así, cuanto más pequeño es el cuerpo en el que se mide la aceleración de la gravedad, su atracción, esto es, la fuerza que ejerce el campo gravitatorio del objeto celeste sobre un cuerpo situado en su superficie, es menor.

    Voy a comenzar con el cálculo de la gravedad sobre la superficie de la Luna, por ser nuestro satélite natural. Para ello, se necesita conocer su masa y su radio con respecto a esos valores terrestres, que son: masa de la Luna M_L = 1/81 M_T , y su radio r = R_L = ¼ R_T .

[Nota: el cálculo de las masas y los radios de los objetos celestes dan para otra entrada del blog pero, simplemente comentar que, para la masa, se requiere conocer cómo es la órbita de un objeto celeste con respecto a otro y su velocidad centrípeta, por tanto, el tiempo que tarda en orbitar alrededor de él, y utilizar la Ley de Gravitación Universal de Newton, conociendo también la distancia entre ambos, y para el radio se necesita conocer la distancia a la que se encuentra el objeto con ayuda de la paralaje, con todo ello se pueden conocer la masa y el radio de la Luna, cualquier planeta, el Sol e incluso galaxias, aunque para éstas se tienen en cuenta varios factores adicionales y es más complicado su cálculo].

   La expresión general que permite calcular el valor de g para cualquier cuerpo celeste es g = G M / R² , donde G es la constante de gravitación universal, cuyo valor es G = 6,67 · 10^-11 N m² / kg². [Nota: aún recuerdo cuando tenía que memorizar ésta y otras constantes importantes en aquellos años de instituto…].

Se sabe pues, que M_T = 81M_L y que R_T = 4R_L =4r . El valor de g en la superficie de la Tierra es, para la expresión general, 9,81 = G M_T / R² = G 81M_L / (4R_L)² y en la superficie de la Luna se expresa como g_L = G M_L / r².

Si se dividen ambas expresiones anteriores miembro a miembro se obtiene 9,81/g_L = (81M_L / 16r²) / (M_L / r²) = 81/16, y despejando g_L = 9,81·16/81 = 1,94 m/s² .

    A partir de aquí, el razonamiento es el mismo para cualquier cuerpo celeste del que se conozcan su masa y su radio con respecto a los de la Tierra. Así, para nuestra estrella, el Sol, cuya masa es 324440 veces mayor que la de nuestro planeta y su radio R_S que es 108 veces mayor, el cálculo es 9,81 = G M_T / R² , y g_sol = G (324440 M_T) / (108 R_T)²

Si se dividen ambas expresiones anteriores miembro a miembro y despejando g_sol , se tiene g_sol = 272,87 m/s² , es decir, casi 30 veces la de la Tierra.

Para el planeta rojo, Marte, se necesitan también su masa y su radio con respecto a los de la Tierra, y éstos son: M_M = 0,1M_T ; R_M = ½ R_T . Aplicando el método como los anteriores casos, se obtiene g_M = 3,92 m/s² .

    Como el peso p = mg, entonces, una persona que “pesara” 70 kilos en la Tierra (en realidad, su peso sería p = 70 · 9,81 = 686,7 N, de ahí el entrecomillado, para que se entienda mejor lo que pretendo comentar), “pesaría” 1910 kilos en la superficie del Sol, “pesaría” unos livianos 13,58 kilos sobre la Luna, “pesaría” 173,5 kilos en el planeta con más gravedad, Júpiter, y “pesaría” 27,44 kilos en Marte. Y, ¿cuánto pesará esa persona en un agujero negro supermasivo cuya masa sea millones de veces la masa del Sol y su radio midiéndose en años-luz? Merece la pena detenerse para asimilar lo infinitesimal del ser humano en lo infinitesimal de nuestro planeta Tierra comparado con las estructuras y objetos que existen en el Universo...

    Por consiguiente, el campo gravitatorio de los objetos celestes es fundamental para entenderlos y comprender cómo se relacionan con otros de su entorno e incluso inferir la existencia de esos agujeros negros mencionados arriba, ya que éstos son capaces de curvar la luz produciendo las llamadas “lentes gravitacionales” y otros fenómenos físicos no triviales, debido precisamente a sus campos gravitatorios, aunque ésta es una fase teórica difícil de descifrar en la actualidad.

¿Magia? No, Ecuaciones

 

    Alguna vez hemos visto o nos ha hecho un truco de magia adivinatorio, ya sea de cartas o de números. Pero los trucos de magia son eso, trucos, sin desmerecer ese hechizo y misterio que rodea a la magia con mayúsculas porque los trucos de magia, cuanto más elaborados, más mágicos son. Me voy a centrar en esta entrada en un truco que suele resultar muy efectivo para realizar con niños ya que son los que más suelen asombrarse ante la sabiduría del mago y sus poderes adivinatorios. El truco es el de adivinar la edad de una persona realizando algunas sencillas preguntas, sin preguntar directamente la edad, claro. Pero el mago simplemente recurre al poder mágico de las ecuaciones algebraicas para conseguir desentrañar el misterio de esa edad del inocente voluntario o voluntaria. He aquí el mecanismo mental que sigue el adivinador para dar con la cifra exacta:

   El mago elige una persona del público, por ejemplo, una chica y dice, con voz enigmática: “voy a adivinar cuántos años tienes” y le encomienda que vaya realizando mentalmente un entramado de vueltas alrededor de la edad exacta que, obviamente, la chica sabe pero se calla, según las normas del juego. Para el propósito de esta entrada, diré que la edad buscada es 15 años, que es el número al que la espectadora irá haciendo lo que el mago le vaya pidiendo para conseguir adivinarlo. Se puede realizar de igual modo para cualquier edad puesto que el mecanismo mental seguido es igual. Es fácil probarlo y comprobar que siempre se cumple.

El adivinador le dice “multiplica tu edad por dos”, a lo que la chica, mentalmente, realiza la operación con resultado de 30. “Suma tres al resultado”, cuya operación es 33. “Multiplícalo por cinco”, de lo que resulta 165. Todos estos sencillos cálculos se realizan mentalmente sin comunicárselos al adivinador. “Réstale cinco, ¿qué número obtienes?”, con lo que la chica afirma 160. Y ahora viene la magia. El mago arranca los aplausos del auditorio al decir con rotundidad “¡tu edad es 15 años!”.

¿Qué ha sucedido en este espectáculo de magia? El truco está en que el adivinador ha resuelto una sencilla ecuación algebraica con una incógnita, que es la edad de la voluntaria. El proceso es el siguiente:

El adivinador no conoce la edad por lo que la designa como la incógnita “x ”. Los cálculos que ahora realiza el mago mentalmente son “2x ” para la primera pregunta, “2x + 3 “ para la segunda, “10x + 15 “ para la tercera y “10x + 15 – 5 “ para la última pregunta y, con la respuesta de la espectadora, el mago obtiene la ecuación 10x + 15 – 5 = 160 cuyo resultado es, sin más que despejar de forma rápida y sencilla, x = 15.

Exhorto al lector a probar este sencillo truco que dejará asombrado a más de uno.

   La magia nunca dejará de ser magia aunque en realidad sean trucos con gran nivel de sofisticación. En el caso de esta entrada, una sencilla cuestión matemática resuelve el misterio.

Miniatura Matemática

 

Una miniatura en ajedrez es una partida en la que se da jaque mate, o el rival abandona, en menos de 20 jugadas. Así pues, he denominado a esta entrada con el título que encabeza por ser breve pero contundente, como en el maravilloso juego del ajedrez.

El planteamiento es muy sencillo: ¿cuál es el mayor número que se puede obtener con una sola cifra? Es trivial que la respuesta es 9, pero se puede seguir planteando la cuestión natural, y ¿cuál es el mayor número que se puede formar con 2 cifras? Intuitivamente se puede pensar que ese número es el 99, pero NO, la respuesta verdadera es el número 9⁹, es decir, el número 387420489 (trecientos ochenta y siete millones y pico…). Sin el uso de las potencias no se podría realizar este pequeño juego matemático que, al igual que la entrada ¿Sabes Contar? no requiere grandes conocimientos para entender lo que pretendo explicar aquí.

Siguiendo el proceso, ¿cuál es el mayor número que se puede formar con 3 cifras? Según lo expuesto con anterioridad, no es el pequeño 999, si no el magnífico 9^387420489, es decir, 9 elevado a 9⁹. Este número, que parece ínfimo a simple vista aunque grande comparado con los anteriores, obviamente, tiene una magnitud difícil de comprender puesto que está expresado en forma de potencias. Si dicha expresión fuera la habitual de una cifra detrás de otra y realizando algunos sencillos cálculos, para escribirlo se necesitarían emplear 74 libros de 1000 páginas cada uno en los que se incluyeran 5000 cifras en cada página. Pantagruélico.

    ¿Qué sucede con los número negativos? La trivialidad aquí desaparece. En este caso, hay que cambiar “mayor” por “menor” porque, el menor número, siguiendo el algoritmo anterior para los números positivos, es -9, ya que es el más pequeño al ser números negativos y así, la cuestión ¿cuál es el mayor número que se puede formar con una sola cifra? aquí, -9 no es la respuesta correcta, ya que -1 > -2 > -3 … > -9. Por tanto, para números enteros, la respuesta correcta es -1.

Pero, cada número positivo es de la forma a¹, es decir, según el primer párrafo de esta entrada, es claro que 9 = 9¹. ¿Y si ese exponente tan inocente se convirtiera en negativo, esto es, cómo son los números de la forma (-a)^-1 siendo a > 0 ? Se obtiene así, por una propiedad de las potencias, que (-a)^-1 = 1/(-a). Por ejemplo, (-9)^-1 = 1/(-9) = -0,11111… pero, razonando como anteriormente, (-9)^-9 = -1/387420489 = -0,0000000002… y, nos podemos imaginar el proceso que sigue, obteniendo la sucesión de la forma (-9)^-n = 1/-(9)ⁿ, que es convergente a 0. Esto quiere decir que, conforme aumenta el exponente n, 1/(-9)ⁿ → 0 (sucesión convergente a 0 ), aproximándose desde los números negativos. 

   La conclusión es que para los números positivos las potencias nos trasladan a un mundo de magnitudes estratosféricas con mucha rapidez pero para los números negativos, sus potencias nos trasladan a todo lo contrario, números infinitesimales también con gran celeridad.

Albañilería y Ángulos Rectos

 

   Es curiosa la forma en la que la albañilería, desde tiempos pretéritos, forma ángulos rectos con métodos o conceptos, digamos, de “andar por casa”, de forma rotundamente práctica, sin duda. Uno de estos métodos es el llamado método del 141 (basado en la Cuerda de Doce Nudos de los egipcios y sus métodos derivados), que consiste en formar un triángulo rectángulo que tiene por catetos 1 metro cada uno y comprobar luego que la hipotenusa mide exactamente 141 centímetros. Esto es así gracias al conocido Teorema de Pitágoras para triángulos con un ángulo recto, ya que, como es sabido, la hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, h² = a² + b², siendo a y b los catetos.

En nuestro caso, se tiene que h² = 1² + 1² = 1  h = 2 = 1,41 m = 141 cm. Una vez obtenido el deseado ángulo recto, los catetos se pueden alargar tanto como requiera la construcción sin importar ya la hipotenusa del triángulo usado. Obviamente, en estos casos nos quedamos siempre con la raíz cuadrada positiva, siempre sabiendo que también existe la solución negativa de la ecuación h² = 1.

    De esta forma tan elegante, sencilla, práctica y cómoda se obtienen rápidamente ángulos rectos en cualquier trabajo de construcción. Este es un claro ejemplo de que las cosas que funcionan no se deben cambiar, por eso este método de lograr ángulos rectos en la construcción lleva milenios estando vigente.