sábado, 19 de noviembre de 2016

Un Poco de Infinito



   El infinito, lo infinito, infinitud… Un concepto tan abstracto como práctico, y no me refiero ni me referiré al concepto filosófico que ya ha sido tratado por infinidad (parafraseándome a mí mismo…) de filósofos destacando a Descartes o Kant. Infinidad numerable, como diría un antiguo profesor mío… que, la verdad, no sabía muy bien de lo que hablaba.
   La parte no filosófica del concepto, es decir, la parte científica, también ha sido ampliamente tratada por incuestionables mentes privilegiadas como Euclides, Einstein o Hawking y, esta parte científica, rechaza, como no podía ser de otra manera, la sinergia entre infinito y Dios, cualquier dios, porque ahí se entra en un intangible como es la fe, propia de cada persona, y la ciencia está por encima de subjetividades.
   ¿Qué puede ser infinito y qué no puede serlo? Teniendo en cuenta que es un concepto negativo, con todos los “males” que eso conlleva (infinito se define como todo lo que no es finito) y trayendo un poco a colación la entrada anterior `Silencio´ o la entrada `El Frío No Existe´ (buscar en el blog…), se podrían plantear algunos conceptos sustantivos como posibles candidatos a cumplir esa definición tan engorrosa como, por ejemplo, el tiempo, el espacio, los números (¿cuáles?, ¿todos?, ¿algunos?), dejando de lado, como ya he comentado, la parte filosófica.
   Está claro que los conjuntos de números sobre los que se basan la matemática y la física son infinitos por el simple hecho de que siempre existe un número mayor del planteado, ya sea un número real, natural, primo, entero, complejo, de Mersenne, racional, irracional,… cualquiera, porque se construyen así precisamente y porque se basa esa construcción en la axiomática ZF+C, teniendo en cuenta que existen distintos tipos de infinito relacionados con esta parte púramente técnica. La “C” se refiere a Axiom Choice, el axioma de elección, que tantos dolores de cabeza ha traído y trae por la cuestión de la elección sobre conjuntos de infinitos elementos: ¿cuál elijo de entre las infinitas posibilidades?, ¿por qué ese y no otro?
   El espacio es un sustantivo que se presta a la infinitud porque, desde el Big Bang, se está expandiendo teniendo en cuenta la constante de Hubble (es positiva, por lo que el universo no se contrae desde la explosión inicial) pero la ciencia actual no puede despejar la duda sobre su infinitud o no, es algo que se escapa a los límites del ser humano y, no por eso, se puede afirmar lo contrario, evidentemente.
   El tiempo es otro sustantivo que no puede medirse, con la ciencia actual, en términos de finitud o infinitud aunque Einstein consiguió de forma brillantísima relacionarlo con la materia, obviamente finita. Tampoco se sabe con certeza absoluta si el tiempo es lineal ni se puede afirmar lo contrario. Son cuestiones que se escapan al entendimiento de las leyes físicas actuales.
   Con estas brevísimas pinceladas, la idea de infinito, ya sea como sustantivo o como adjetivo, implica la actuación del ser humano en un entorno para el que no fue concebido, es decir, el ser humano no ha logrado contestar ciertas preguntas básicas sobre el entorno de su existencia, ya sean físicas, palpables o abstractas como la infinitud porque no es, precisamente, un ente abstracto, no es un meta-ser que podría usar meta-lenguajes que resolvieran dichas cuestiones, tanto las meramente físicas y de existencia como las filosóficas.

lunes, 7 de noviembre de 2016

Silencio

   ¿Qué es el silencio? No en cuanto a concepto técnico, fácil de describir o definir: el silencio es la ausencia de sonido. Pero esta definición, como todas las definiciones negativas de otro concepto, no ofrece información sobre el concepto a definir sino sobre el concepto antagónico, en este caso, el sonido. Ejemplos válidos sobre esta argumentación son el concepto de infinito (lo que no es finito) o el concepto de frío (ausencia o falta de calor).
   La línea argumental de esta entrada no pretende referirse a las definiciones técnicas ni físicas, todo lo contrario, trata de aclarar el concepto filosófico del término en cuestión dejando al lector que saque sus propias conclusiones con las pinceladas básicas (y personales) que siguen a continuación.
   El ser humano no está preparado para vivir en ausencia del sonido ya que éste implica la capacidad de comunicación y, por tanto, el desarrollo social del individuo y su capacidad de crecer como persona dentro del contexto social común. La ausencia de sonido exterior al individuo de forma involuntaria es sinónima de reclusión o rechazo por parte de una comunidad hacia una o varias personas y la ausencia de sonido de forma voluntaria indica reflexión y razonamiento, previos a la búsqueda de la máxima eficiencia ante problemáticas sociales complejas. Pero esos silencios, buscados o no, nunca son absolutos ni tan siquiera en personas sordas porque, éstas, sienten o "escuchan" su propia respiración y los latidos de su corazón por ser la persona un binomio cuerpo-mente indisoluble. La ausencia de sonido como concepto técnico nunca es absoluta, tan solo es una aproximación al igual que, de forma práctica, sucede con los conceptos de frío o infinito.
   Nos acercamos pues al concepto puro filosófico del silencio y este es sinónimo de ausencia de vida, ya que la vida es movimiento, es comunicación, es sonido. La ausencia de vida, como concepto, es la muerte. El silencio filosófico es equivalente a la muerte, donde no existe movimiento, ni comunicación ni sonido.
   Merece la pena pararse en estas breves frases y analizar (reflexionar mediante ese silencio voluntario) el concepto del silencio de esta forma filosófica y no como la negación de un concepto puro porque la idea de esta entrada es esa, tratar de estimular en el lector la percepción de lo que nos rodea cotidianamente, el sonido o sonidos y la aproximación a la ausencia de ellos en términos no técnicos buscando analizar, de forma autónoma, y sacar conclusiones.

domingo, 26 de junio de 2016

Reedición El Número de Graham

  Blogger a veces se comporta irresponsablemente y `olvida´ ciertas reglas de programación que impiden ver ecuaciones, ya que, por defecto, no tiene un editor de dichas ecuaciones. Repasando las entradas técnicas, he constatado que El Número de Graham aparecía solo con el código LaTeX, un tedioso y enrrevesado lenguaje de programación científico no apto para quien no lo haya probado, a pesar de que, el día de su publicación, todo salió bien y se podía ver tal y como debe ser.
  He corregido el fallo añadiendo el correspondiente script en su lugar y ya es posible ver esa curiosa entrada en todo su esplendor. Gracias a EduBlog por solventar estos pequeños problemas.

sábado, 25 de junio de 2016

Teorema de Papel

  Recurrir a Wikipedia no es malo siempre y cuando uno sepa de lo que está hablado/escribiendo y el contexto en el que se desarrollan las temáticas que pretende exponer.
  "Era sabido, hasta hace muy poco tiempo, que el límite de dobleces que se le pueden dar a un papel era de 8, es decir, no se podía doblar un papel, hacia los lados que fueran, más de 8 veces, pliegue sobre pliegue. En el año 2002, una estudiante de secundaria (aún lo era cuando hizo lo que sigue), Britany Gallivan, demostró que un único trozo de papel de unos 1200 metros de longitud puede ser doblado por la mitad 12 veces de forma empírica, es decir, cogió el papel y lo dobló. También consiguió doblar una lámina cuadrada de oro por la mitad 12 veces".
  Hata aquí todo correcto en Wikipedia salvo la falta de información más precisa (¿cómo lo dobló?, ¿dónde?, ¿quién lo ratificó?, y la lámina de oro, ¿qué área ocupaba?, ¿quién se la `prestó´?, etc). Lo que no me convence es que consiguiera, como asegura Wikipedia, demostrar matemáticamente este extremo ni deducir una ecuación para calcular la anchura del papel W necesaria para doblar una hoja de grosor t un número dado de veces n. Para estos cálculos se requieren conocimientos matemáticos que no se consiguen salvo en cursos medios - avanzados de una carrera técnica.
  Así pues, ante la flagrante falta de información y enlaces de Wikipedia referentes a este tema, le voy a plantear a mi querido lector/a dicha prueba de forma analítica, para que no queden dudas sobre esta curiosa propiedad del papel.
  Dedico esta entrada a los niños, para acercarles las matemáticas aunque solo sean los resultados, tal y como quise plasmar en entradas como Magia con los Números, Pinta y Colorea o Si Dios Existe, Se Llama Pi.



Para una sola dirección de plegado, la longitud exacta mínima requerida L es:

donde t es el espesor del material que se quiere doblar y n es el número de pliegues deseados.
A su vez, una cota superior de la anchura del papel que se necesita para direcciones alternas de plegado, W, es:



La idea fundamental de este experimento es que cada vez que se dobla el papel se "pierde" un poco de papel debido al doblez, lo demás permanece recto. La fórmula nos da la pérdida total después de n pliegues que es equivalente a la longitud mínima para hacer esos n pliegues. Conviene hacer una prueba real con un papel, ¡no es complicado!
En el primer pliegue o doblez se forma (se pierde) un semicírculo de radio t  que tiene un perímetro de πt. El resultado es una pieza de dos capas de papel con un espesor total de 2t.

En el segundo doblez se pierde un semicírculo de radio t y un semicírculo de radio 2t, el del pliegue anterior, por lo que la longitud perdida es πt+2πt=3 πt. Tenemos, entonces, una pieza de cuatro capas de papel después de dos pliegues y una longitud total perdida de  πt+(πt+2πt).
En el tercer doblez se pierde un semicírculo de radio t, un semicírculo de radio 2t, un semicírculo de radio 3t y un semicírculo de radio 4t, por lo que la longitud perdida es πt+2πt+3πt+4πt=10 πt.
Llevamos, por tanto, una longitud total perdida de πt+(πt+2πt)+(πt+2πt+3πt+4πt)=15 πt.

A partir de aquí se puede decucir la longitud total perdida después de n dobleces:
 πt+(πt+2πt)+(πt+2πt+3πt+4πt)+...+(πt+2πt+3πt+4πt+...+ πt2^(n-1)) = πt(1+(1+2)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+4+...+2^(n-1))).
Hemos obtenido una sucesión aritmética por lo que, usando ahora la fórmula de la suma de esta sucesión (la mitad del número de términos por el primero más el último), se obtiene la serie aritmética (πt/2)((1*2)+(2*3)+(4*5)+(8*9)+...+((2^(n-1))*(2^(n-1))+1))) donde el n-ésimo término es (2^(n-1))*(2^(n-1))+1))=2^(2n-2)+2^(n-1).

Ahora tenemos una serie geométrica (productos), por lo que reordenando y usando, esta vez, la fórmula para la suma en una serie geométrica (largo pero fácil, no merece la pena escribirlo) llegamos al resultado buscado.
  Fijándonos con atención en el proceso de construcción, se puede decir que el pliegue i-ésimo empieza con 2^(i-1) capas y el pliegue o doblez de la capa j-ésima utiliza jπt unidades de papel. Así pues, la longitud total L de papel utilizado para el doblez i-ésimo viene dada por la suma de la serie aritmética construida antes:


Para buscar la longitud para un número dado de n pliegues, tenemos que sumar este resultado con i desde 1 hasta n:

  Es interesante el resultado y nada evidente en su resolución y construcción, por lo que la duda sobre la autoría íntegra de una estudiante de secundaria sin haber tenido ayuda técnica es palpable, sin quitar méritos, por supuesto.
  De todas formas, ya sabemos que podemos doblar un papel hasta 12 veces, ¡manos a la obra!
 

lunes, 25 de abril de 2016

Pasaron 30 Años, y 24000 Más Pasarán



   A las 04:24 GMT se produjo el mayor desastre de la historia de la humanidad que involucra la acción directa del hombre, el accidente (provocado) de la central nuclear de Chernobyl, que se conmemora en estos días. Y digo “provocado” porque, sin la acción deliberada del hombre, el reactor nuclear número 4 de la central era estable y funcionaba con normalidad, al igual que los reactores 1, 2 y 3, que estaban en funcionamiento, y los futuros reactores 5 y 6, todavía en construcción. A esta debacle se sumó el hecho de que la central no tenía algunos de los mecanismos de seguridad impuestos por la seguridad nuclear de la época: los reactores 1 y 2 ni siquiera tenían un edificio de contención (edificio que aisla al propio edificio del reactor) y los reactores 3 y 4 tenían solamente lo que se denomina ‘blindaje biológico’, un material aislante entre el reactor y el exterior.
   Con todos esos ingredientes, pasó lo que tenía que pasar: el reactor tuvo un incremento incontrolado de las reacciones nucleares en cadena y todo saltó por los aires. Como una olla a presión, saltó la tapa del reactor (parte de ella cayó encima del reactor número 3 que estaba con su normal funcionamiento) y dejó al descubierto el mismísimo infierno en la Tierra.
   Esta entrada no pretende dar a conocer un hecho histórico de especial trascendencia, del cual se puede encontrar amplia y variada información en internet, sino rendir un homenaje a los llamados “liquidadores”, aquellas personas que afrontaron el gravísimo problema en primera instancia, limpiando, adecuando, desescombrando y preparando el terreno para construir, a la mayor brevedad posible, lo que se denominó “el sarcófago”, el edificio que envolvió a esa olla descubierta que era el rector número 4, edificio que se desmorona 30 años después de aquel fatídico suceso y para el que se está construyendo un nuevo sarcófago que lo contenga. Aún así, la radiactividad de la zona de seguridad (30 kilómetros alrededor de la central nuclear) tardará unos 24000 años en dejar de ser peligrosa para que el hombre pueda volver a habitarla. Lo he escrito bien, 24 milenios…
   Entre esos liquidadores está el Batallón Especial 731 que fue el primero de los primeros en hacer frente a la denominada muerte invisible: la radiactividad. Existe poca información sobre este grupo de `elegidos´ voluntarios (todos), auténticos héroes que, sin los liquidadores en general y sin los 731 en particular, media Europa estaría deshabitada por niveles elevadísimos de radiactividad y el planeta habría cambiado.
   No obstante, aprovecho para volver a la entrada Energía Nuclear Sí, teniendo en cuenta que, cumpliendo los protocolos de seguridad y eficiencia actuales más estrictos, considero que la energía nuclear es beneficiosa para el ser humano.

sábado, 23 de abril de 2016

Día del Libro: Y la Muerte No Tendrá Señorío

   Conmemorando que el 23 de abril es el "Día del Libro", rescato esta entrada de hace un par de años, allá en el 2014.
Aprovecho para escribir el poema más celebrado de un locuelo jovencito que, a sus 18 primaveras, ya emanaba profundas frases entre noches etílicas, el gran Dylan Thomas:

'Y la Muerte No Tendrá Señorío'

Y la muerte no tendrá señorío.
Desnudos los muertos se habrán confundido
con el hombre del viento y la luna poniente;
cuando sus huesos estén roídos y sean polvo los limpios,
tendrán estrellas a sus codos y a sus pies;
aunque se vuelvan locos serán cuerdos,
aunque se hundan en el mar saldrán de nuevo,
aunque los amantes se pierdan quedará el amor;
y la muerte no tendrá señorío.

Y la muerte no tendrá señorío.
Bajo las ondulaciones del mar
los que yacen tendidos no moriran aterrados;
retorciéndose en el potro cuando los nervios ceden,
amarrados a una rueda, aún no se romperán;
la fe en sus manos se partirá en dos,
y los penetrarán los daños unicornes;
rotos todos los cabos ya no crujirán más;
y la muerte no tendrá señorío.

Y la muerte no tendrá señorío.
Aunque las gaviotas no griten más en su oído
ni las olas estallen ruidosas en las costas;
aunque no broten flores donde antes brotaron ni levanten
ya más la cabeza al golpe de la lluvia;
aunque estén locos y muertos como clavos,
las cabezas de los cadaveres martillearan margaritas;
estallarán al sol hasta que el sol estalle,
y la muerte no tendrá señorío.

domingo, 17 de abril de 2016

¿Un Teorema Fácil?



   La idea básica del resultado que presento en esta entrada es muy simple e intuitiva: estando en el plano habitual euclídeo (puede ser una hoja de papel donde la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta), se trata de transformar un polígono en otro que tenga la misma área y en un número finito de pasos. Por ejemplo, un cuadrado pintado en el papel puede cortarse en trozos de tal manera que, reordenados, obtengamos un triángulo con la misma área. Si extendemos esta idea tan intuitiva y visual a la forma general de los polígonos obtenidos a partir de otros cortados en trozos de forma finita y con simples traslaciones y rotaciones, nombramos este razonamiento como el Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien aunque se le conoce más comúnmente como el Teorema de Bolyai-Gerwein.
   Lo que más me gusta de este teorema es que es totalmente constructivo, es decir, se engloba en la axiomática de Zermelo-Fraenkel sin el uso del Axioma de Elección, un axioma tan potente como polémico que nos disgusta a, por desgracia, pocos matemáticos (una prueba de su uso está en mi famosa entrada de la Solución al Rompecabezas Más Difícil (famosa por el número de visitas que ha recibido en este blog)).
   La pregunta clave es, “¿es realmente un resultado tan fácil y generalizable a cualquier dimensión y cualquier geometría?”, “¿en qué estructuras matemáticas se mantiene su veracidad y en cuáles no?”. Pues bien, este es un problema abierto que, incluso en dos dimensiones, tiene sus excepciones, como el caso de intentar la famosa `Cuadratura del Círculo´ mediante este teorema, es decir, cortando con tijeras en un número finito de pasos un círculo dibujado en un papel e intentar formar un triángulo que tenga la misma área. Para los más atrevidos ya les adelanto que no se puede… en la práctica, en la teoría, sí, aunque el uso y abuso del Axioma de Elección en la demostración teórica, es apabullante, así como la complejidad de utilizar para ello conjuntos que llamamos los matemáticos `no medibles´, es decir, no existe una medida aplicable al conjunto, ya sea ésta de Lebesgue o cualquier otra que podamos definir para dicho conjunto.
   Aunque he esbozado algunos conceptos matemáticos, no entraré en cuestiones más profundas sobre estos resultados porque, como ya he dicho en más de una ocasión en este blog, no pretendo aburrir al lector sino despertar su curiosidad y, más si cabe, sobre cosas que se pueden ver como las figuras dibujadas en un papel y el uso de tijeras, reglas y compás. Con todo y con ello, exhorto al lector a buscar información, si le interesa, sobre la axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF), el axioma de elección, la medida de Lebesgue, etc.
   Plantearle este resultado a cualquier niño de mente despierta es como plantearle el contenido de las entradas Pinta y Colorea o Si Dios Existe Se Llama Pi: puede que se desate la mente de un futuro genio a la vez que descubre cosas curiosas sobre las matemáticas con un simple papel, regla, un lápiz, unas tijeras y un compás, ¡quién sabe!