La Bolsa y Sistemas Mal Condicionados

 

    Supongamos que queremos “jugar” en Bolsa. Nuestro broker de confianza nos facilita información sobre dos productos de especial interés en estos momentos en el mercado. Las acciones de la empresa tecnológica A están a 2€ la unidad y las acciones de la empresa farmacéutica B están a 2,6€. Si decido comprar hoy puedo gastar 7€ por cada combinación de las empresas A y B, es decir, 2x + 2,6y = 7. Además, nuestro broker puede conseguir invertir un poco más en cada bloque pero a un precio algo mayor de la empresa A, por cuestiones de incentivos fiscales, de tal manera que la relación queda 2,5x + 2,6y = 10.

    No nos convence el mercado actual y decidimos esperar un par de días. Pasado ese tiempo, el valor de la acción de la empresa A ha variado, manteniéndose el de la empresa B, con lo que nos quedan las relaciones 2x + 2,6y = 7 ; 2,55x + 2,6y = 10. Esto es, ha variado el valor de la acción de la empresa A para la segunda opción de los incentivos fiscales. A simple vista parece que las empresas A y B se han mantenido estables y que hubiéramos conseguido el mismo beneficio al invertir el primer día que al invertir dos días después. Pero, ¿realmente es así?

Para obtener la respuesta ante esta situación hay que saber si el sistema de ecuaciones correspondiente al primer día está bien condicionado, es decir, si es “sensible” o no.

La solución del primer sistema es (6, 0,38), lo que, en lenguaje común significaría que podríamos haber comprado el primer día 6 acciones de la empresa A y casi una de la empresa B. La solución del segundo sistema de ecuaciones debería ser muy parecida a la del primer sistema por ser unas ecuaciones que varían muy poco, pero la solución es (5,45, -1,5), es decir, a los dos días podríamos haber comprado unas 5 acciones de la empresa A pero deberíamos VENDER acciones de la empresa B para mantener el equilibrio, lo cual no entraba en nuestros planes iniciales de diversificar nuestros fondos. Entonces, ¿qué ha sucedido?

    El sistema inicial del primer día está mal condicionado, lo cual significa que pequeñas variaciones en las ecuaciones de entrada suponen grandes variaciones en los datos de salida. En cierto modo, se podría denominar “sistema caótico”. La teoría nos dice que la condición de un sistema de ecuaciones depende de la condición de su matriz de coeficientes asociada, llamémosla X, de tal manera que el número de condición Cond(X) = ||X || · ||X^-1 ||, siendo || · || la norma. La más sencilla podría ser la norma 1 ó la norma ∞, que suponen, respectivamente, sumar por filas en valor absoluto y quedarnos con el mayor valor o sumar por columnas en valor absoluto y quedarnos con el mayor valor. Si Cond(X) es mucho mayor que 1 , Cond(X) » 1, (este valor siempre es positivo por construcción) entonces el sistema está mal condicionado y sucede como en el ejemplo. Cuanto más se aleje este valor de 1, peor condición tendrá el sistema.

   En nuestro ejemplo, el número de condición de la matriz asociada al sistema de ecuaciones del primer día es, realizando los cálculos, 26,52, muy por encima del valor de referencia 1 , por lo que tenemos un sistema mal condicionado y es por eso que una pequeña variación en las ecuaciones, como sucede en la situación pasados dos días, supondría, no solo no comprar acciones a buen precio sino tener que vender acciones para poder mantener el equilibrio inicial, lo que supondría un desastre para nuestras supuestas inversiones.

¿Qué se puede hacer para solucionar este fallo? Lo mejor siempre es afinar todo lo posible en los cálculos iniciales y trabajar con la mayor precisión posible para minimizar los desajustes reales de los resultados que se preveían diferentes.

Datación de Elementos Arqueológicos

 

    Ya he usado con anterioridad en este blog las ecuaciones diferenciales y he comentado su importancia en las entradas Una Ecuación Diferencial Importante y Desintegración Radiactiva: Ecuación Diferencial , la cual ampliaré aquí con un ejemplo más, esta vez de la datación egiptológica de artefactos o, quizás, lo más importante de esta fascinante época de la humanidad, las personas que gobernaron y, por ende, lo que queda de ellas, sus cuerpos momificados. Recordaré, en primera instancia, el mecanismo teórico usado y su posterior aplicación sencilla al caso concreto de la época egipcia comentada.

Ley de Elster y Geitel de desintegración radiactiva (“la actividad de una sustancia radiactiva pura disminuye con el tiempo de forma exponencial”): Si llamamos N al número de núcleos que aún no se han desintegrado en un tiempo t , el número de emisiones por unidad de tiempo será proporcional al número de núcleos existentes, que matemáticamente se expresa como dN / dt = -λN , donde el signo negativo indica que el número de núcleos disminuye con el tiempo. Si integramos esta sencilla ecuación diferencial se consigue la ley de emisión radiactiva N = N₀ · e^-λt , donde N es el número de núcleos radiactivos que no se han desintegrado todavía,N₀ es el número de núcleos radiactivos iniciales, λ es la constante proporcional radiactiva y t es el tiempo transcurrido. El número de emisiones por unidad de tiempo, dN / dt , se denomina A (actividad), que es la velocidad de desintegración

Si T es el periodo de semidesintegración, esto es, el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los núcleos iniciales N₀ , entonces se deduce de la expresión de la ley N₀ = N₀ · e^-λT ⇒ T = Ln2 / λ

Vamos a aplicar este resultado a un ejemplo concreto:

El periodo de semidesintegración del carbono-14 es de 5730 ± 40 años. El análisis de una muestra de una momia egipcia revela que presenta las tres cuartas partes de la radiactividad de un ser vivo. ¿Cuál es la edad de la momia?

Aplicamos pues este importante resultado a la momia y al ser vivo:

momia: ¾ (actividad) = λ · N₀ · e^-λt

ser vivo: (actividad) = λ · N₀

Dividiendo ambas expresiones, se tiene: ¾ = e^-λt = e^{-t Ln2 / T}

Se simplifica esta expresión tomando logaritmos en ambos miembros:

-tLn2/ T = Ln ¾ ⇒ t = (5730 · 0,2877) / 0,693 = 2378,8 años, que se puede aproximar a 2379 años.

Se ha visto así que este método es muy fácil de aplicar y requiere pocos datos iniciales y se ha demostrado que posee un gran desempeño para las cuestiones técnicas de los requerimientos arqueológicos.

Energía Nuclear: del Átomo a lo Brobdingnagiano

 

    El “átomo pacífico” fue el eslogan que regía en Pripyat y Chernobyl antes del accidente nuclear de abril de 1986 (recuerdo aquella época). Pero no traigo aquí situaciones históricas referentes a la energía nuclear en tiempos de guerra o en tiempos más recientes, sino las posibles comparaciones de la energía liberada en las infames explosiones nucleares deliberadas, con su significado en términos de energía positiva limpia. En la entrada Energía Nuclear Sí , escrita hace unos cuantos años, ya expresé mi opinión sobre la energía nuclear usada de forma pacífica. Planteo así un pequeño ejercicio a modo de ejemplo, junto con otros semejantes para que se pueda asimilar el significado y la amplitud del uso de la energía nuclear en conflictos bélicos y post-bélicos, así como su equivalencia en términos de eficiencia temporal energética dando previamente unos datos importantes:

 La energía liberada en las explosiones nucleares se suele medir en Kilotones o Megatones: 1 Kiloton = 1 Kt = 1000 toneladas de explosivo TNT = 4,184 · 10¹² Julios. Así, 1 Megaton = 1 Mt = 1000 Kt =1000000 toneladas de TNT = 4,184 · 10¹⁵ Julios. Si se tiene en cuenta que un camión-trailer de los que circulan por nuestras carreteras con verduras, hortalizas, y materiales de distinta índole, pesa unas 40 toneladas, 1 Kt = 25 camiones-trailer cargados de TNT.

    La energía de la primera bomba nuclear lanzada sobre Hiroshima en la Segunda Guerra Mundial, Little Boy, fue de 16 Kt (aproximadamente 400 camiones cargados de TNT). Se estima que este valor equivale a más de 500 veces la energía liberada en el accidente nuclear de Chernobyl, el segundo peor de la historia solo detrás del de Fukushima. La energía de la segunda bomba nuclear, la lanzada sobre Nagashaki, llamada Fat Man, fue de 21 Kt (unos 525 camiones de TNT). La mayor bomba nuclear detonada por el ser humano fue la infame Bomba del Zar soviética, explosionada en la Guerra Fría, como acto de poder, la cual liberó una energía de 50 Mt, es decir, 3125 veces más potente que Little Boy (aproximadamente 1250000 camiones cargados con TNT) , esto es, el equivalente a más de 1562500 veces la energía liberada en el accidente de Chernobyl. Pensar en estas cifras asusta.

    Después de estos fríos (y aterradores) datos, el ejercicio en sí, es el siguiente: una central eléctrica, cuya potencia es de 10 Megawatios, ¿cuánto tiempo puede estar funcionando con la energía de la bomba lanzada sobre Hiroshima? Una vez visto este resultado, realizaré el mismo procedimiento con otros datos como los enunciados más arriba.

La energía equivalente a Little Boy, es decir, el trabajo equivalente, es: W = 16 Kt · 4,184 · 10¹² Julios / 1 Kt = 6,669 · 10¹³ Julios, y la potencia de la central es P = 10 Mw · 10⁶ watt / 1 Mw = 10⁷ watt.

Sabemos que la potencia es el trabajo ejecutado en una unidad de tiempo, en este caso,en segundos, esto es, P = W / t ⇒ t = W / P = (6,669 · 10¹³ Julios) / 10⁷ watt) = 6,669 · 10⁶segundos = (1 año = 31536000 segundos = 3,153 · 10⁷ segundos) = 2,115 · 10^-1 años. Esto es, 0,2115 años.

Para Fat Man, el tiempo es de t = 2,78 · 10^-1 años = 0,278 años

Para la Bomba del Zar, el tiempo es t = 2,092 · 10¹⁰ años

    Las comparaciones sobre el uso y abuso de la energía nuclear son evidentes con los datos que he querido exponer en esta entrada. Incluso así, la Bomba del Zar estaba prevista inicialmente para explosionar con una fuerza de 100 Mt, el doble de inconsciencia y el doble de maldad de algo ya de por sí, brobdingnagiano.

Habitante-Equivalente: Un Concepto Complejo Pero Fundamental

 

    Es claro el significado de la palabra habitante para cualquier persona: ya sea habitante de hecho (no permanente y no censado, por ejemplo, los residentes durante los periodos vacacionales) o de derecho (el habitante censado en el municipio, con derecho a voto en el municipio), un habitante es una persona que reside de forma permanente o temporal en un municipio y la población de un municipio es el conjunto de sus habitantes. Ahora bien, residir en un municipio implica obligatoriamente, generar algún tipo de residuo que, evidentemente, debe ser tratado para poder vivir en una sociedad higiénica con unas condiciones de vida saludables y, más aún en lo concerniente al tratamiento de las aguas residuales que genera dicho municipio. También hay que tener en cuenta que las empresas y establecimientos de un municipio también generan residuos y aguas residuales que, al igual que los generados por las personas de forma individual, han de ser tratados convenientemente y es fundamental que este tratamiento se produzca de forma ordenada e industrializada. Por desgracia, la mayoría de los países del tercer mundo no poseen una industria dedicada al tratamiento de residuos por lo que las condiciones saludables para la población no se cumplen por diversos factores en los que, obviamente, no entraré.

    Surge, por todo ello, un concepto que, en sí, es complejo, el habitante-equivalente, por lo que se tendría una población-equivalente como extensión, aunque en rigor no es correcto, como mencionaré más adelante al plantear las definiciones estrictas, e involucra otro concepto fundamental en todo proceso que requiera un reciclaje o reutilización de ciertos residuos, ya sean de empresas de un municipio o de sus habitantes como personas individuales: me refiero a la DBO5.

Estos conceptos se definen rigurosamente de la siguiente manera:

DBO5: Es la Demanda Bioquímica de Oxígeno en 5 días. Es la cantidad de oxígeno utilizado por una mezcla de población de microorganismos heterótrofos (organismos que no pueden elaborar su propia materia orgánica a partir de sustancias inorgánicas, por lo que debe nutrirse de otros seres vivos, por ejemplo, los seres humanos) para oxidar compuestos orgánicos en ausencia de luz a 20º C durante 5 días. Como aclaración, esto equivale a que cuanto más contaminación, más DBO.

Habitante-equivalente: 1 HE = 60 gr DBO5 / día. Esta es la definición que otorga la Directiva Europea 1991/271. Así, nº HE = volumen diario · [DBO5] / 60 gr

Población-equivalente = K · nº cabezas de ganado, siendo K un factor de conversión a habitantes-equivalentes. Esta población-equivalente se debe calcular teniendo en cuenta el tipo de instalación ganadera, según sea su tipo de ganado: K = 0,14 para pollos y conejos, K = 2,5 para porcino y ovino, K = 8 para vacuno y equino.

   La complejidad del concepto de habitante-equivalente reside en que cualquier animal, industria o empresa representa cierto número de habitantes-equivalentes, que son los que realmente se utilizan para el tratamiento de las aguas residuales que generan, por lo que, para una EDAR (Estación Depuradora de Aguas Residuales) un municipio no tiene habitantes, personas, industrias o animales (domésticos o no), tiene habitantes-equivalentes. La importancia de conocer este valor para cada municipio es crucial en el diseño de una EDAR (no así para una ETAP: estación de tratamiento de agua potable) ya que, si la población del municipio es mayor de 250 HE, entonces el diseño de la EDAR requiere de infraestructuras adicionales para el tratamiento biológico. Los valores de DBO5 para aguas residuales una población están tabulados y acotados, así como los niveles de nitrógeno, los de sólidos en suspensión, etc.

    Es evidente, por tanto, que las industrias o empresas “ligeras” poseen menos HE que otras más “pesadas”: una guardería tiene 0,5 HE frente a 1 sola vaca, que equivale a la impresionante cifra de 4 HE, exactamente el mismo valor que todo un hospital, por citar algunos ejemplos. Es claro pues, que todas las empresas, industrias o complejos que generen residuos en general, y aguas residuales en particular, que es el caso que nos ocupa, están tabulados en habitantes-equivalentes, por lo que se deduce que nº HE ≥ Habitantes, ya que al número de personas (habitantes) de un municipio hay que añadir, a efectos contables de una EDAR, los “habitantes” que generan residuos en general, y aguas residuales en particular, que son los que hemos denominado como habitantes-equivalentes.

    Propongo ahora un ejercicio práctico para aclarar estos conceptos y dejar caer que, para el diseño de una EDAR, se tienen también en cuenta otros conceptos complejos que no trataré aquí pero que, en mi opinión, son muy interesantes.

Supongamos que el municipio A cuenta con una población de hecho de 200 habitantes, no habiendo cambios significativos estacionales importantes. Por otra parte, el municipio cuenta con una fábrica de pan que genera una caudal diario de agua residual de 1 m³ / día con una concentración de DBO5 = 1000 mg / litro . La dotación de agua diaria del municipio se estima en 90 litros / habitante.

Calcular:

a) Caudal diario, caudal horario medio y caudales máximo y mínimo del municipio.

b) La concentración de las aguas residuales domésticas procedentes de la población.

c) El número de habitantes-equivalentes aportados por la fábrica.

d) La carga total de DBO5 de las aguas residuales del municipio.

 

 

a) El caudal total del municipio, Q, es la suma de los caudales diarios de la población y de la fábrica.

Q_POBLACIÓN = 200 habitantes · 90 litros / habitante / día = 18000 litros / día = 18 m³ / día . [la equivalencia es 1000 litros = 1 m³ ]

Q _FÁBRICA = 1 m³ / día

Q_MUNICIPIO = Q_d = Q_POBLACIÓN + Q_FÁBRICA = 19 m³ / día

Los caudales pedidos tienen sus correspondientes fórmulas:

Caudal horario medio: Q_HM = Q_d / 24 horas / día ⇒ Q_HM = 18/24 = 0,75 m³ / h

Caudal máximo diario: Q_MAX = Q_HM · 2,4 ⇒ Q_MAX = 0,75 · 2,4 = 1,8 m³ / h

Caudal mínimo horario: Q_MIN = Q_HM · 2/3 ⇒ Q_MIN = 0,75 · 2/3 = 0,5 m³ / h

b) La concentración se obtiene dividiendo la carga diaria de DBO5 entre el caudal diario obteniendo, previamente, la carga expresada en gr de DBO5 teniendo en cuenta que 1 habitante (persona) = 1 HE:

Carga diaria DBO5 = nº HE · 60 gr DBO5 / HE/ día = 200 · 60 = 12000 gr DBO5 /día

Por tanto, la concentración de DBO5 es |DBO5| = 12000 / 18 = 666,6 gr / m³ = 666,6 mg / litro. [Nota: este valor puede considerarse como agua contaminada o muy contaminada, según las tabulaciones referidas en la Directiva Europea 1991/271, lo cual es debido a una escasa población con un gran aporte de aguas residuales generadas por la fábrica de pan].

c) Se calcula a partir de la concentración y el caudal:

Carga diaria DBO5 = 1000 gr DBO5 /m³ · 1 m³ /día = 1000 gr DBO5

HE = (1000 gr DBO5 / día) / (60 gr DBO5 / HE / día) = 16,7 HE

Así, la fábrica aporta diariamente 16,7 habitantes-equivalentes a la EDAR del municipio.

d) Carga total (gr de DBO5) = 12000 + 1000 = 13000

Carga total (HE) = 200 + 16,7 = 216,7

    El interesante mundo del reciclaje, tan de moda en estos días, trae consigo la creación de infraestructuras para el adecuado tratamiento de los residuos, industrializando así un proceso sencillo a priori, y he querido traer en esta entrada una parte importante de ese reciclaje, como es el tratamiento de las aguas residuales de un municipio, que supone una parte fundamental del modo de vida de una sociedad moderna y avanzada.

 

Más Cuestiones Sobre la Velocidad de la Luz II

 

    Después de la entrada Más Cuestiones Sobre la Velocidad de la Luz , quedó una pregunta más en el tintero que decidí separarla de las anteriores para no hacer aquella demasiado extensa. La traigo aquí como una aplicación interesante que da uso a una fórmula relativista (en oposición a la Física newtoniana) pero sin entrar en complicados conceptos teóricos, simplemente se utiliza una herramienta interesante, “sofisticada y refinada” con respecto la Física clásica, una herramienta jovencísima, con apenas un siglo de edad. Se plantea así la siguiente cuestión:

   La masa de un cuerpo en movimiento es el doble que en reposo, ¿cuál es su velocidad? El método de resolución que sigue se puede aplicar para cualquier proporción de masas que las relacione en reposo o en movimiento, aunque con ciertos matices como se verá más adelante,  con la simple acción de sustituir el valor correspondiente en la fórmula, teniendo en cuenta que el resultado final depende de la velocidad de la luz c, sin necesidad de sustituir su valor real.

   La variación de la masa con la velocidad se relaciona con la fórmula m = m₀ / (1 – v²/c²) , donde m₀ es la masa del cuerpo en reposo, m es la masa del cuerpo en movimiento (denominada “masa relativista”), v es la velocidad relativa entre el cuerpo y el observador y c  la velocidad de la luz. Aquí aparece el llamado “factor de Lorentz”, 1 / (1 – v²/c²) , que simplemente menciono sin entrar en más complicaciones referentes a la Teoría de la Relatividad Especial. Hay que resaltar que si el cuerpo se mueve a velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz, v²/c² es muy próximo a cero, por lo que el denominador de la fórmula anterior, esto es, la raíz cuadrada, se aproxima mucho a 1, y así la masa en movimiento y la masa en reposo son casi iguales, con una diferencia inapreciable, que es lo que sucede en el macrocosmos.

Resulta así que, en el caso planteado, si m₀ = 1 ⇒ m = 2  por lo que basta sustituir estos valores y obtenemos:     2 = 1 / (1 – v²/c²) , de donde, una vez simplificada esta ecuación, se concluye que c3 /2 = v ⇒ v = 0,866c.

   De lo anterior se puede deducir el caso general, esto es, si la masa de un cuerpo en movimiento es `n ´ veces su masa en reposo, ¿cuál es su velocidad? Aunque hay que analizar con detalle ciertos aspectos, que ya comenté más arriba, como se verá a continuación y trataré de no dar una explicación tediosa del análisis:

Como en el caso particular que precede, el procedimiento de resolución es idéntico pero, en este caso, suponemos m₀ = 1 ⇒ m = n  y basta sustituir en la fórmula anterior, quedando así n = 1 / (1 – v²/c²). Ahora se despeja el valor de la velocidad en función de c  como antes: v = c(n² – 1) / n

Se estudia ahora el significado de esta fórmula para analizar los distintos valores involucrados:

Sea la masa inicial, m₀ , cualquiera (obviamente m₀ > 0), ¿qué valores puede tomar `n ´?

La fórmula anterior se convierte en v = c(n² – m₀) / n . Evidentemente, n > 0 para que no se anule el denominador. Veamos pues, en qué casos se verifica dicha ecuación: ha de suceder que el discriminante forme la inecuación n² – m₀ ≥ 0 :

- a) Si n² – m₀ = 0 ⇒ n² = m₀ ⇒ v =0, que no se puede dar puesto que el cuerpo se encuentra en movimiento. Así, este caso no sirve.

- b) Si n² – m₀ > 0 ⇒ n² > m₀ ⇒ n > m₀

- c) Si n = m₀ ⇒ v = c[m₀ (m₀ – 1)] / m₀ , con m₀ > 1 : si m₀ = 1 ⇒ v = 0 que no puede suceder, y si 0 < m₀ < 1 ⇒ [m₀ (m₀ – 1)] < 0 , que no puede suceder, ya que la raíz cuadrada ha de ser positiva. Así, este caso tampoco sirve.

   De lo anterior se concluye que los valores que dan sentido a la fórmula general son los del apartado b), es decir, la relación entre la masa inicial y la del cuerpo en movimiento es n > m₀

Como ejemplo del caso general más sencillo, sea, de nuevo, m₀ = 1, ¿qué valores de `n ´ son posibles para la cuestión que se estudia?

La fórmula es v = c(n² – 1) /n, por lo que se debe analizar el discriminante de la raíz, esto es, los valores de n² – 1 que ha de ser ≥ 0  como es sabido:

- Si n² – 1 = 0 ⇒ n² = 1 ⇒ n = ± 1:  Si n = 1 ⇒ v = 0 , que no puede suceder, y n = -1  se descarta puesto que la masa ha de ser positiva.

- Si n² – 1 > 0 ⇒ n² > 1 ⇒ n > 1, con el descarte del caso n > -1.

Como conclusión al caso general, se tiene que n ha de ser mayor que 1  y que n > m₀

   Se demuestra así que hice bien en separar en dos entradas las cuestiones referentes a la velocidad de la luz, para no entorpecer una lectura rápida y evitar caer en lo abrumador de una lectura larga con explicaciones un tanto técnicas, aunque el que escribe ha procurado reducirlas a lo mínimo, como viene siendo un pilar de este blog, para dotarlo de fluidez y facilidad de comprensión.