Más Cuestiones Sobre la Velocidad de la Luz

 

    Después de publicar varias entradas referentes al concepto de “velocidad de la luz”, como Sonido, Luz, Ondas, Huygens , o la anecdótica Historia de una Estrella: Betelgeuse y lo que Somos ,sigue fascinándome, no solo por el hecho de que sin luz no habría vida tal y como la conocemos, sino por su extraordinaria característica de comportarse de manera simultánea como onda y como “cuerpo”. Esa dualidad es la que le confiere ese halo de misterio y complejidad que ha hipnotizado a los científicos desde no hace muchos siglos.

    Es sabido que la velocidad de la luz se denota en Física por la letra “c ”, y no es tan simple como un frío y anodino dato puesto que sin el concepto en sí, no se entenderían otros conceptos como son el tiempo o la distancia, a pesar de que están íntimamente relacionados por la sencilla ecuación v = e/t, esto es, la velocidad de un punto material es el espacio que recorre por cada unidad de tiempo utilizada. Mucho más profundo que lo anterior es poder probar que la velocidad, en este caso la de la luz, también está íntimamente relacionada con la energía por la conocidísima fórmula E = mc², una relación nada trivial y a la que se ha podido llegar en épocas muy recientes (Einstein a comienzos del siglo XX), que desarrolló la Física de forma exponencial y cuya punta de lanza es la conocida Teoría de la Relatividad.

    En esta entrada traigo dos curiosidades:

-1) ¿Puede acelerarse un cuerpo hasta la velocidad de la luz (que depende del medio, alcanzando su máximo valor en el vacío)?

Supongamos que nos encontramos en el vacío. Para acelerar un cuerpo es preciso comunicarle energía, que se invierte en:

a) si su velocidad es pequeña, en incrementar su energía cinética, E_c = ½ mv²

b) si su velocidad es elevada, próxima a la de la luz, en incrementar la masa: E = mc²; E↑⇒ m↑

El cuerpo no puede alcanzar la velocidad de la luz ya que para conseguirlo, habría que comunicarle más energía y, a la velocidad de la luz, toda esa energía se emplearía en aumentar la masa.

-2) ¿Puede moverse un cuerpo (partícula) a través de un medio con una velocidad mayor que la de la luz en dicho medio?

En un medio determinado, todo cuerpo (partícula) se puede mover a una velocidad mayor que la de la luz en dicho medio, siempre y cuando su velocidad no supere a la de la luz en el vacío. El cuerpo, en este caso, emite una radiación llamada radiación de Cherenkov (bien estudiada en las reacciones nucleares).

   Dos sencillísimas cuestiones de fácil respuesta para seguir teniendo en cuenta que la luz es onda, es partícula, es energía, es distancia y es límite; inigualable en el universo conocido.

Calor: ¿Gallina o Huevo?

 

    Siempre se ha dado por evidente que una gallina, al empollar un huevo, le cede calor a éste pero, ¿realmente es tan cierta esta afirmación o puede existir otro punto de vista?, es decir, ¿la gallina absorbe calor del huevo que empolla o realmente le cede calor?

La física no es mi principal campo de acción por lo que no dejaré al azar o a mis habilidades a este respecto la respuesta a esta curiosa cuestión, sino que recurriré a la inestimable ayuda del físico más importante que ha dado España, puesto que es este ilustre personaje el que la plantea en sus estudios. La eminencia a la que me refiero es el doctor Julio Palacios Martínez. Iré aclarando un poquito el significado de cada concepto para no perdernos en tecnicismos que, si bien son estrictamente necesarios, poseen una fácil “traducción” al lenguaje de cualquier persona que no ostente conocimientos de física, si bien es cierto, que son pocos y breves los conceptos utilizados.

El análisis que plantea el doctor sobre la pregunta inicial es el siguiente:

Mientras dura la incubación del huevo hay un aumento del orden, por lo que hay una disminución de la entropía (concepto físico que mide el grado de desorden de un sistema. Por ejemplo, un sistema totalmente caótico, esto es, totalmente desordenado, se dice que tiene entropía S = ∞). Al tratarse el sistema gallina-huevo de una transformación isotérmica (la temperatura total ha de permanecer constante en dicha transformación), como la gallina actúa de termostato, por el Segundo Principio de la Termodinámica, que afirma que ΔS ≥ ΔQ/T (la variación de la entropía de un sistema, esto es, la variación del orden del sistema, siempre es mayor o igual que la variación de calor producida por cada unidad de temperatura de equilibrio del sistema. Como nota destacar que este concepto significa que el universo tiende al caos, ya que su entropía, debido a este principio, siempre es positiva), se tiene que ΔQ ha de ser negativo, por tanto, es el huevo el que cede calor que es absorbido por la gallina.

    En ocasiones, las leyes de la física no dejan margen de dudas sobre algunos conceptos que, si bien se suponen ciertos sin aparente base científica, resulta que no lo son al aplicarles la ciencia y, como ejemplo, el que he traído en esta entrada en homenaje al doctor Palacios.

Deslizar o Rodar, ¿Qué Es Más Rápido?

 

    Una cuestión interesante que se puede plantear al considerar el típico problema de mecánica de cuerpos que caen por un plano inclinado es el que planteo esta vez, saliendo un poco de los estudios clásicos de estas situaciones que involucran el cálculo de fuerzas o el uso de poleas que tienen en cuenta la inclinación del plano considerado, que son típicos de la enseñanza secundaria. El problema que aquí propongo lo he localizado en uno de mis antiguos libros de física de instituto (más antiguo que los de mis años de estudiante adolescente), uno de esos libros con enunciados pero sin soluciones, tan solo una breve sugerencia de guía en cada problema. Buenos libros de mejores años. He aquí pues, el enunciado y mi solución.

    Dos cuerpos de igual masa e igual forma descienden desde una misma altura por un plano inclinado. Uno de ellos rueda sin deslizar y el otro desliza sin rodar. ¿Cuál de los dos llega antes a la base del plano?

Supongamos una condición ideal de laboratorio, para facilitar los cálculos, es decir, que los cuerpos son de forma esférica perfecta, el plano no tiene irregularidades y el rozamiento de dichos cuerpos con el plano por el que discurren es despreciable.

1) En el caso del cuerpo que cae deslizando sin rodar, se cumple que su energía cinética E_C es igual a su energía potencial E_P , por lo que ha de suceder que ½ mv² = mgh , donde, como es sabido, m es la masa, v es la velocidad, h es la altura inicial y g es la aceleración de la gravedad (en esta Entrada comenté algunas cosas interesantes sobre la gravedad en algunos objetos celestes del Sistema Solar). Se despeja la velocidad y, simplificando, queda v² = 2gh.

2) El caso del cuerpo que cae rodando sin deslizar es parecido al anterior pero hay que tener en cuenta su energía cinética de rotación, Er , que involucra la velocidad angular w, por lo que se cumple que E_P = E_C + E_r , es decir:

mgh = ½ mV² + ½ I w² = ½ mV² + ½ I V²/r² , donde I es el momento de inercia. Ahora solo queda realizar operaciones para despejar V² para compararla con el valor anterior de v²:

De la expresión anterior, r²mgh = r²/2 mV² + ½ V² ⇒ r²mgh = ½ V²(mr² + 1) de donde                  V² = (2r²mgh) / (mr² + 1) ⇒ V² = 2gh (mr²) / (mr² + 1).

La expresión de v² y la de V² difieren en el factor (mr²) / (mr² + 1), que toma valores entre 0 y 1 ya que el denominador siempre es mayor que el numerador, sean cuales sean los valores de m y r (obviamente, ambos son positivos siempre) y la aceleración de la gravedad g es positiva (los cuerpos se deslizan o ruedan hacia abajo, según el caso) y h también es positiva puesto que los cuerpos parten de una cierta altura, por lo que no atañe ningún problema realizar las raíces cuadradas de v y V de las expresiones anteriores, al ser los segundos miembros de v² y V² valores positivos en las ecuaciones de ambos casos.

Teniendo en cuenta lo anterior, es fácil deducir que v² > V² por lo que v > V y así el tiempo que tarda en descender el cuerpo que cae deslizando sin rodar es menor que el tiempo que tarda en descender el cuerpo que rueda sin deslizar y, en consecuencia, el cuerpo que desliza sin rodar llega antes a la base del plano que el cuerpo que rueda sin deslizar. Hay que destacar que no ha influido la masa de los cuerpos ni la altura desde la que caen por el plano inclinado.

    No se trataba de una cuestión tan evidente y de respuesta fácil y rápida como pudiera parecer en un principio lo que nos lleva a concluir que merece la pena el esfuerzo de razonar sobre lo que nos rodea y no tomar a la ligera hechos o situaciones cotidianas como la de esta entrada.

Otra Ecuación Diferencial Interesante: Cohetes

 

    Es evidente que las ecuaciones diferenciales están en todas las circunstancias y observaciones matemáticas ya que toda ecuación, a nivel práctico, que involucra a un parámetro que depende de otro u otros (concepto de función de una o varias variables), depende, a su vez, casi en su totalidad, de algunas variaciones de dicho parámetro o parámetros, que no es ni más ni menos que el concepto de derivada, es decir, la variación de una incógnita con respecto a otra u otras. De ésto saben mucho los físicos, que hacen auténticas barbaridades con las ecuaciones diferenciales y con las ecuaciones en derivadas parciales (que matemáticamente no se pueden hacer), pero ese es otro tema. Traigo esta vez una ecuación interesante a nivel práctico por su aplicación en algo que está y estará de moda como es el lanzamiento de un cohete o, en general, un objeto propulsado en vertical. El problema en sí lo leí con datos concretos, numerillos, pero he querido aquí resolverlo para el caso general para así tener una ecuación diferencial que se puede usar en cualquier circunstancia relacionada con esta temática. El problema es el que sigue.

   Se lanza un cohete con masa inicial m₀ de forma que la velocidad del chorro de gases expulsado y su cantidad son constantes y de valor “v ” con respecto al cohete. Si se considera la Tierra como sistema de referencia inercial, suponiendo que la trayectoria del cohete sea vertical con un valor de la aceleración debida a la gravedad constante y despreciando la resistencia del aire, calcular la velocidad “V ” del cohete respecto a la Tierra al cabo de un tiempo “t ”.

En el instante t, vamos a designar m a la masa del cohete y V a su velocidad. Al cabo de un tiempo dt (es sabido que, matemáticamente, la variación de un parámetro se identifica con su derivada, es decir, es el incremento, positivo o negativo, del parámetro), la masa y la velocidad del cohete habrán variado (aumentando o disminuyendo) y, así, su cantidad de movimiento o momento lineal, siendo esta variación designada por d (mV) hacia arriba, puesto que el cohete se encuentra ascendiendo. La cantidad de movimiento de los gases expulsados habrá variado según dm (v – V) y estos gases tienen sentido contrario al del ascenso del cohete, obviamente.

Teniendo en cuenta el principio de conservación de la cantidad de movimiento, se cumple la ecuación            d (mV) + dm (v – V) = 0. Desarrollamos teniendo en cuenta que el primer sumando involucra a la derivada de un producto, por lo que Vdm + mdV + vdm – Vdm = 0 que simplificando nos queda mdV + vdm = 0 ⇒ dV = - vdm /m.

Esta última expresión es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de variables separadas que se resuelve fácilmente integrando en ambos miembros entre el instante inicial del lanzamiento y el instante t correspondiente a un tiempo indeterminado, teniendo en cuenta que el instante inicial corresponde a los valores t = 0; V = 0; m = m₀ :

V = ∫-v dm/m entre los valores t₀ y t, que es una integral inmediata, de donde V = -v (Ln m) entre los valores m₀ y m, al cambiar los límites de integración, por tanto queda V = -v [ Ln m – Ln m₀ ] = v [Ln m₀ - Ln m], por lo que, V = v Ln (m₀ / m) , aplicando una conocida propiedad de los logaritmos.

   Este resultado generaliza lo obtenido en aquel ejercicio comentado al principio de esta entrada y sirve para cualesquiera valores a los que se les quiera aplicar.