miércoles, 16 de marzo de 2022

¿Privilegiado?

 Privilegiado: 1.-  adj., sust., que goza de un privilegio. 2.- adj., que sobresale extraordinariamente dentro de su clase (Fuente: RAE).

   Un sentimiento que me inunda desde hace muchos años, y que se verificará dentro de no pocos, es el de sentirme un privilegiado. La razón es sencilla: la visión del cometa Halley a comienzos del año 1986 supuso un punto de inflexión en mi, hasta entonces, breve vida en este mundo. Contaba yo, por aquél entonces, con 12 años y, junto a mi padre, decidimos que había que visionar aquella rareza con nuestros propios ojos. Así pues, como la ventana de observación del cometa duraba algunos días, decidimos ir a Cabo de Gata a pasar la noche del fin de semana y madrugar (mucho) para verlo en el faro de Las Salinas, situado a pocos kilómetros de la población. En aquella época de pseudo-inocencia y albores democráticos, aún no contaba con el vallado actual ni con los sistemas de seguridad que requiere el presente, por lo que se podía acceder a pie, por una estrecha escalinata, desde el aparcamiento (un pequeño descampado sin asfaltar en el que ahora hay un mirador) hasta la misma puerta de entrada del faro, situada de cara al mar en un pequeño pasillo al aire libre. Con todo y con ello, allí estábamos en el frío amanecer de comienzos del mes de febrero de 1986, pertrechados con bufandas, gorros, unos buenos prismáticos y la más absoluta ilusión por ver algo distinto y sublime. Y lo vimos. Con prismáticos y a cara descubierta. Se podía ver a simple vista. Fue impresionante. Y lo mejor de todo es que lo recuerdo como si hubiera ocurrido ayer mismo. Alrededor de 1 hora estuvimos allí de pie pasando un frío casi engelante, embobados con tamaño espectáculo, hasta que el Astro Rey fue imponiendo su luminosidad a la vez que se apagaba el cometa en su paso por el cielo despejado. Maravilloso. Volvimos con una sonrisa en los labios, no sé si mi padre más que yo, y dormimos algunas horas antes de volver al día a día de siempre.

   Entonces, ¿por qué creo que soy un privilegiado? En su primera acepción, según lo descrito al comenzar estas líneas, porque me acuerdo de aquel día y del cometa con gran lucidez y porque podría volverlo a revivir en el verano del año 2061... contando ya con casi 90 años. Todo un privilegio. Sí, podría ser, y me convertiría en una de las pocas personas en el mundo que vieran en su vida dos veces el cometa Halley, ¡qué ilusión! Porque no es sólo el echo en sí, sino lo que rodea a ese acontecimiento que hace rememorar cómo era yo y la vida que vivía en aquél 1986. ¿Cuántas personas podrían lograr algo parecido? No se sabe, porque puede ser que muchos niños de la época lo vieran aunque no creo que a un niño le interesara, por su propia voluntad el visionado de un objeto celeste que surca el cielo, salvo que sus padres mostraran interés, pero incluso si así fuera, de los pocos niños que lo vieron, no todos lo recordarían o se les habría olvidado sumido en un rayo de luz de su día a día, y ¿cuántos de aquellos niños que lo vieron y lo recuerdan, llegarán a verlo en el año 2061? Se intuye rápidamente que un número ínfimo entre los que me quiero incluir, y lo lograré, lo sé, y dejaré mi huella en este mundo como una de las poquísimas personas que vieron el paso del cometa Halley y lo recordaron las dos veces.

lunes, 14 de marzo de 2022

El Autómata Perfecto: El Juego de la Vida

    El matemático Conway diseño en 1970 el llamado "Juego de la Vida" como un sencillo juego sin jugadores, es decir, autómata, con unas sencillas reglas iniciales pero de una complejidad asombrosa para la época e, incluso, para los estándares de programación actuales. Es tan fascinante que fue usado en la presentación de los albores del gigante (actual) Apple en su terminal Apple II (sin carcasa y con cables a la vista) ante potenciales inversores. Pero aquella presentación fue un completo desastre... y no por el Juego de la Vida. Si Jobs y Wozniak eligieron este juego sería por algo.

   Las reglas son sencillas: el juego parte de uno o varios elementos celulares (población inicial) en un mundo bidimensional representado por celdas o casillas y la posición inicial y el número de células activas determinan su evolución, puesto que es un juego de cero jugadores. Se basa en la evolución de estados sucesivos en los que las condiciones del estado futuro dependen solamente del estado anterior. El mundo o tablero de juego no tiene límites, por tanto es infinito en todas direcciones. Se divide en filas y columnas de tal manera que cada celda está rodeada de 8 celdas, que son sus vecinas (8 celdas "tocan" a una única celda). Cada casilla tiene una célula que está activa (o viva) o inactiva (o muerta). Es importante señalar que este estado de las células en los futuros turnos, dependerá su estado actual y del estado actual de sus vecinas. Si una célula muere entonces la casilla que ocupaba se queda vacía.

La supervivencia consiste en que una célula ha de tener 2 ó 3 vecinas activas en el siguiente turno o generación para que sobreviva.

El nacimiento consiste en que si una celda vacía pasa a tener 3 células activas de las 8 que celdas que la rodean, entonces su estado en el siguiente turno o generación será activa.

El fallecimiento se refiere a una célula activa que tenga menos de 2 células vecinas activas, entonces en el siguiente turno se volverá inactiva (muere). En este caso se dice que "fallece por aislamiento o soledad" en el siguiente turno. En cambio, si una célula activa tiene 3 o más vecinas activas, entonces se desactiva y se dice que "fallece por superpoblación" en el siguiente turno.

Estas reglas básicas son las leyes iniciales que Conway dio a este juego y se simbolizan por la expresión 23/3.

   Según avanza el juego, se pueden dar distintas situaciones como la extinción total al cabo de un número finito de turnos, la estabilización (rígida e inamovible u oscilante entre dos o más formas) o el crecimiento constante.

   Por el procedimiento de construcción de las leyes básicas se pueden crear otras leyes interesantes como son 51/346 (denominada "Larga Vida"), 235678/3678 (mancha de tinta que se estabiliza), 1358/357 ("Amebas", crecimiento caótico), y muchas otras.

   Cabe destacar que sobre este fascinante juego existe poca información porque la idea de la que partió Conway es la de lanzar la situación inicial y observar la evolución de los patrones de las células según avance el juego, es decir, es un juego basado en la experimentación más que en su parte teórica. Su algoritmo de creación es sencillo y tan solo hay que fijar el tablero de juego, el que hemos denominado mundo, de forma finita, dos arrays bidimensionales, uno para la posición inicial y otro para la generación del turno siguiente, e introducir las leyes básicas iniciales. El algoritmo de Hashlife es el más usado para estudiar el juego de la vida.

   Existen multitud de patrones que crea este juego, los cuales solo nombraré, como son: el bloque, el doble bloque, la colmena, el depredador, las astronaves, el barco, el cañón, el deslizador (usado por los hackers como logotipo de su colectivo), los osciladores, el púlsar, o el patrón más famoso de todos, la "pistola de Gosper". Todos y cada uno con sus características y curiosidades.

   Suelo comentar que este blog no pretende profundizar en lo tratado ni en conocer conocimientos profundos sobre lo que escribo, sino más bien en proporcionar estímulos para despertar la curiosidad del lector ante lo que lee. Así pues, merece la pena buscar el Juego de la Vida y ponerse a jugar, observando sus cambios y su belleza intrínseca, es fascinante. Lo recomiendo.

domingo, 13 de marzo de 2022

Los Números Metálicos, Esa Gran Familia

 

    La familia de los números metálicos fue introducida por la matemática argentina Vera De Spinadel en 1994 y se caracteriza, como comenté en la entrada sobre Fibonacci por ser las soluciones positivas de la ecuación de segundo grado x2 – px – q = 0 variando los números naturales p y q. Ya vimos que el caso más sencillo, cuando p = q = 1, nos lleva al magnífico número áureo Φ. Los más importantes son los siguientes:

Si p = 2 y q = 1 x2 – 2x - 1 = 0, cuya solución positiva es el número de Plata σ2,1 = 1 + 2

Si p = 3 y q = 1 x23x - 1 = 0, cuya solución positiva es el número de Bronce σ3,1 = (3 + 13)/2

Si p = 1 y q = 2 x2 – x - 2 = 0, cuya solución positiva es el número de Cobre σ1,2 = 2

Si p = 1 y q = 3 x2 – x - 3 = 0, cuya solución positiva es el número de Níquel σ1,3 = (1 + 13)/2

Si p = 2 y q = 2 x2 – 2x - 2 = 0, cuya solución positiva es el número de Platino σ2,2 = 1 + 3

En general, x2 – px – q = 0 x = (p [p2 + 4q])/2, cuya solución positiva es (p + [p2 + 4q])/2. Así, σpq es entero si p2 + 4q = 0 q < 0.

   La importancia del número de oro es bien conocida y existe gran cantidad de información sin que yo exponga aquí ninguna novedad y simplemente destacar que el número de plata estuvo presente en el diseño a todas las escalas, desde las dimensiones de los patios hasta edificios individuales de las casas romanas y las habitaciones dentro de cada edificio y los tapices colgados en las paredes de los nobles romanos, así como en las proporciones musicales, de ahí que sea el segundo número en importancia dentro de esta familia de números. No me detendré en las relaciones entre estos números y las sucesiones geométricas y algunas ramas de la física y la economía por requerir conceptos técnicos en los que no quiero entrar para no alargar en exceso esta entrada y no aburrir, tan solo quiero nombrar este interesante conjunto de números y dar algunos breves comentarios sobre ellos.

   Se pueden probar fácilmente algunas propiedades de estos números y, jugando con unos sencillos cálculos, comprobar que, por ejemplo, σ4,4 = 2σ2,1 (muy evidente desarrollando ambos miembros de la igualdad y obteniendo el valor 2 + 22).

También es evidente que el número de bronce y el número de níquel se relacionan por la expresión σ3,1 – σ1,3 = 1.

Otro sencillo ejercicio es comprobar que σ4,1 = Φ³ sin más que desglosar los valores de ambos miembros y ver que coinciden

 

   Los números metálicos son pues una familia de números muy interesante y con unas propiedades, cuando menos, curiosas, como en el caso del rey de la familia, el número de oro. Invito al lector a indagar más profundamente y obtendrá muchas curiosidades asociadas a estos números.

Sucesión de Fibonacci y el Número Metálico Más Importante

 

    Leonardo Pisano, más comúnmente conocido como Fibonacci, descubrió la sucesión de números que lleva su nombre a partir del siguiente problema: “¿cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?” Estableciendo una tabla contando por meses y generaciones de conejos, obtuvo la famosa sucesión descrita por los números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

 Si dividimos cada término por el anterior se obtiene una aproximación a un número muy particular:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 =1,5

5/3 = 1,66..

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615384..

   El llamado “número de oro”, Φ (Phi), el número metálico más famoso e importante, es la aproximación final, el límite, de estos cocientes de los términos de la sucesión de Fibonacci dividiendo cada uno por su predecesor. De forma algebraica, el número áureo es la solución positiva de la ecuación x2 - px - q = 0 con p = q = 1, y dicha solución positiva es (1 + 5)/2. La ecuación anterior es la que define los “números metálicos” variando los valores de p y q: número de oro, de plata, de bronce, …

El número de oro así definido involucra un número irracional, 5, por lo que Φ también es irracional y se suele aproximar a Φ 1,618, puesto que su importancia en la naturaleza es más geométrica que numérica. Algunas curiosidades de este número son las que aparecen a continuación:

    Como Φ es solución de la ecuación x2 - x - 1 = 0, se tiene que Φ2 - Φ - 1 = 0, por lo que Φ2 = Φ + 1. Si multiplicamos por Φ ambos miembros obtenemos la secuencia:

Φ³ = Φ2 + Φ

Φ⁴ = Φ³ + Φ2

Φ⁵ = Φ⁴ + Φ³

Por tanto, cualquier potencia de Φ es la suma de las dos potencias anteriores. Y, ¿se puede saber el valor de 1/Φ? Sabemos que Φ2 = Φ + 1, por lo que Φ2 - Φ = 1 y así 2 – Φ)/Φ = 1/Φ y simplificando 1/Φ = Φ – 1.

    Si elegimos dos términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci y los sumamos, el resultado es múltiplo de 11 (¡¡COMPROBAR!!). Es más, esa suma es 11 veces el término que ocupa el 7º lugar (¡¡COMPROBAR!!)

    Para rizar el rizo, la suma de n términos cualesquiera desde el primero es igual al término que ocupa la posición n + 2 restándole 1 (¡¡COMPROBAR!!).

   Hasta aquí una breve introducción a una sucesión de números que esconde propiedades muy curiosas y un número muy importante históricamente y en las matemáticas.