(III) Otro Resultado Interesante

   Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de catetos 2 y 4. El área del cuadrado es lado x lado, 2x2 = 4, y la del triángulo es (base x altura)/2 = (2x4)/2  = 4, es decir, tienen áreas iguales. Entonces nos podemos plantear la pregunta: ¿existe alguna forma de cortar el triángulo en un número finito de piezas de tal forma que puedan reordenarse para forma el cuadrado? La respuesta, en la que no entraré aquí para no aburrir al lector, es sí.

A raíz de lo anterior, se deduce: ¿se podrá hacer siempre esto?, es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que un cierto “despiece” de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Y aquí viene el resultado que nos despeja la duda:

Teorema de Bolyai-Gerwien

   Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono. Es decir, la duda anterior se resuelve positivamente. Vamos a probarlo (no es complicado hacerlo sin tecnicismos):

Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se pueden reordenar para formar rectángulos. Estos rectángulos, a su vez, pueden colocarse para formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.

Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono (invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar de uno de los polígonos al otro y listo.

   Este teorema fue planteado por Bolyai sobre 1790, y demostrado por Wallace en 1807. En 1835 Bolyai también encontró una prueba sin saber nada de la de Wallace (la globalización de nuestro mundo llegó después...).

   Lo visto anteriormente es para dos dimensiones (en el plano) pero, ¿qué ocurre en tres dimensiones? Parece natural preguntarse si en 3 dimensiones también se verifica, pero la respuesta es no. En general, no se puede diseccionar un poliedro en poliedros más pequeños tales que se puedan reordenar para conseguir cualquier otro poliedro. Tanto es así, que éste fue el tercer problema de la lista de Hilbert del año 1900, el cual fue resuelto por Max Dehn, un alumno del propio Hilbert, en el mismo año 1900. Algunos de esos problemas de la lista siguen sin resolverse hoy día.

   ¿Se puede pasar de un círculo a otro polígono?, es decir, ¿se podría cortar un círculo en una cantidad finita de piezas que pudieran ser reordenadas para formar un polígono, (por ejemplo, un cuadrado) de la misma área que el círculo inicial?. La respuesta es no: ya sabemos que la cuadratura del círculo es imposible con regla y compás, pero ¿y si quitamos esa dura restricción?, esto es, ¿podría pasarse del círculo al cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es sí, es decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero no podemos reproducirlo físicamente y no se puede por la misma razón que nos impide reproducir físicamente lo que describo en la entrada (II) La Paradoja de Banach-Tasrki, porque las piezas en las que hay que dividir el círculo son no medibles, tal y como comenté allí.

Interesante y fácil de entender, ¿verdad? 

(II) Paradoja de Banach-Tarski: A Vueltas Con el Axioma de Elección

La paradoja de Banach-Tarski se enuncia así:

Si tomamos la esfera S² (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 y maciza, es posible dividirla en 8 partes tales que, aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro, podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

 

   De hecho, el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

   Al leer esto, se puede pensar que nos están engañando, que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

   Por un lado, si asumimos cierto el resultado, podemos pensar en realizarlo, es decir,  tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para, a partir de ellas, formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza: no se puede hacer en el mundo real ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

   Por otro lado, podríamos decir: es imposible porque el volumen final es el doble del inicial, es decir, que si las esferas fueran materiales, nos estaríamos saltando el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad pero, de todas formas, el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservarlo. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la llamada ‘teoría de la medida’. Esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en nuestro caso el volumen. La cuestión entonces es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (hay algunos, por ejemplo, los llamados conjuntos de Vitali). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir, que no es lo mismo. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando mi admirado (ironía) ‘axioma de elección’. El uso de este axioma imposibilita describir explícitamente lo que se está analizando, de ahí su controversia…

   La demostración del resultado que nos ocupa, está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varias afirmaciones potentes, entre ellas una de Hausdorff relativa a los giros y el axioma de elección. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado e, incluso, para los que llevamos las matemáticas en los genes y no merece la pena ponerla en esta entrada. Lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo, si no que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera.

   Otra conclusión a partir de este resultado es la siguiente: se puede tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas, formar una esfera maciza del tamaño del Sol. Matemáticamente hablando, se puede.