Algunas Ecuaciones tan Interesantes Como Importantes

   Un observador meteorológico toma nota de dos valores de temperatura (la del termómetro seco y la del termómetro húmedo) en una observación en campo y, de ellos, se obtienen otros muchos datos. ¿Cómo se consiguen los valores de la humedad relativa, la temperatura de rocío, la relación de mezcla, la presión de vapor y la presión de vapor de saturación (todos estos parámetros de humedad) con tan solo dos datos?

Para ponernos en situación repasemos algunos conceptos:

Temperatura de bulbo seco (T): la temperatura de bulbo seco es la verdadera temperatura del aire húmedo y con frecuencia se la denomina sólo temperatura del aire; es la temperatura del aire que marca un termómetro común.

Temperatura de punto de rocio (Td): es la temperatura a la cual el aire húmedo no saturado se satura, es decir, cuando el vapor de agua comienza a condensarse, por un proceso de enfriamiento, mientras que la presión y la razón de humedad se mantienen constantes.

Presión de vapor (Pv): es la presión parcial que ejercen las moléculas de vapor de agua presentes en el aire húmedo. Cuando el aire está totalmente saturado de vapor de agua su presión de vapor se denomina presión de vapor saturado (P_VS).

Relación de mezcla (W): la razón de humedad del aire se define como la relación entre la masa de vapor de agua y la masa de aire seco en un volumen dado de mezcla. La humedad absoluta, denominada también densidad del vapor de agua, es la relación entre la masa de vapor de agua y el volumen que ocupa la mezcla de aire seco y vapor de agua.

Humedad relativa (f): se define como la razón entre la presión de vapor de agua en un momento dado (Pv) y la presión de vapor de agua cuando el aire está saturado de humedad (Pvs), a la misma temperatura. La humedad relativa se puede expresar como decimal o como porcentaje.

La ecuación que relaciona estas variables se denomina ECUACIÓN PSICROMÉTRICA y se expresa como: P_v = P_VS,_bh - a₁ * P * (T-T_bh), donde:

Pv = Presión o tensión de vapor
Pvs,bh = Presión de vapor de saturación a la temperatura de bulbo húmedo (tabulado).
a1 = Factor psicrométrico (varía con la ventilación, tabulado).
P = Presión atmosférica (Si no se conoce la presión pero sí la altura, se obtiene P a través de tablas).
(T-Tbh) = Diferencia o depresión psicrométrica (diferencia entre las temperaturas del termómetro de bulbo seco y el de bulbo húmedo). Los parámetros tabulados son aquellos de los que se han obtenido datos experimentales y se encuentran ya tabulados con precisión.

Otras forma de calcular la presión de vapor (Pv) son 

Pv = 6.112 * EXP [17.7 * Td / ( Td + 243.5)], donde Td es la temperatura de rocío en ºC

Pv = Pvs - 0.66*10³ * P * (T - Tbh) * (1 + 1.146 * 10³ * Tbh), donde P es la presión atmosférica en Hpa, PVs es la presión de vapor de saturación para T en Hpa y T y Tbh son la temperatura y la temperatura de bulbo húmedo en ºC.

   La fórmula para obtener la presión en función de la altitud es la siguiente: 

P1 = Po / EXP [Z * g /( R * Tm)], 

donde P1 = Presión a una altitud de Z metros (en Hpa), Po = Presión en superficie (en Hpa), Z = altitud del nivel de presión P1 (en metros), g = aceleración de la gravedad = 9.80617 m/seg2, R = Constante de los gases =287.04 m2/seg2ºK, Tm = Temperatura media entre los niveles de presión P1 y Po - Se puede escribir como Tm = (To + T1) / 2 y como T1=To-g*Z, podemos escribir Tm=(To+To-(g*Z))/2 => Tm=To-g*Z/2, donde To es la temperatura en superficie (en ºK), g es el gradiente térmico vertical y Z es la altitud.

En una una atmósfera standard los valores son:

Po = 1013.3 Hpa
To = 15ºC = 288ºK
g = 0.65ºC/100 m

Por lo que la fórmula queda P1 = 1013.3 / EXP [Z /(8430.15 - Z * 0.09514)], donde: P1 = Presión en Hpa a la altitud Z y Z = altitud en m.

La humedad relativa puede obtenerse con la fórmula ø = (Pv/Pvs) * 100

La humedad absoluta es la relación entre la masa de vapor de agua y el volumen ocupado por una mezcla de vapor de agua y aire seco. Se calcula con Ha = 216 * Pv / T (g/m³), con Pv es la presión de vapor en Hpa y T es la temperatura del aire en ºK

La humedad específica es la relación entre la masa de vapor de agua y la masa de aire húmedo y se calcula con He = 0.622 * Pv / (P - 0.378 * Pv) ó aproximadamente He = 0.622 * Pv / P, donde P es la presión atmosférica en Hpa y Pv es la presión de vapor en Hpa.

La temperatura de rocío viene de la ecuación Td = C₁ * (Pv *10^-3)^C₂ + C₃ ln (Pv * 10^-3) + C_4, donde
C1 a C4 son constantes que varían de acuerdo al valor de la Pv y Pv es la presión de vapor (en Pa).

Al valor obtenido habrá que restarle 273.16 ya que el resultado es en ºK

Para 0.16 Pa< Pv < 610.74 Pa (temperaturas bajo cero)

C1 = 82,44543 -  C2= 0,1164067 -  C3= 3,056448 - C4= 196.814270

Para 610.74 Pa < Pv < 101340 Pa (temperaturas sobre cero)

C1= 33,38269 - C2=0,2226162 - C3= 7,156019 - C4= 246,764110

Existe una buena aproximación también con la siguiente fórmula: Td = T + 35 Log (ø), con T= Temperatura en ºC y ø = Humedad relativa.

Podemos obtener la relación de mezcla (w) con la siguiente fórmula: w = 0,62198 * [Pv / (P - Pv)], donde Pv = Presión de vapor y P = Presión atmosférica (el valor obtenido debe ser multiplicado por 1000).

 Y, por último, ¿cómo calcular la altitud de una estación conociendo su presión (teniendo en cuenta una atmósfera standard)? Con la ecuación Z = [8430,153 * ln (1013,3/P1)]/[1+ 0,095 * ln (1013,3/P1)]

Una vez obtenido el dato puede convertirse a nivel de vuelo (Fly Level) a través del siguiente cálculo: FL = Z / 30,4794, donde Z es la altura en metros para obtener el valor en Pies.

Un ejemplo muy sencillo sería calcular la altura de la superficie de presión de 500 Hpa (valor muy importante en meteorología al igual que 850 Hpa, este último lo dejo como ejercicio): Sustituyendo se tiene Z= [8430,153 * ln (1013,3/500)] / [1 + 0,095 * ln (1013,3 / 500)] => Z = 5580 m ===> FL183.

 Hasta aquí esta entrada con ecuaciones importantes que se usan en meteorología. Hay muchas más debido a que la atmósfera es un fluido y, como tal, tiene sus dinámicas y comportamientos con su complejidad y... fascinación.

Incomprendidos

 Kacinsky tenía razón y fue encarcelado.

Casimiro Salcedo tenía razón y fue quemado vivo...

Problema de los Tres Cuerpos Restringido

   Se conoce como "Problema de los Tres Cuerpos" a la descripción del movimiento de tres puntos materiales de modo que dos cualesquiera de ellos se atraen con una fuerza que involucra la constante gravitatoria de Newton  G = 6.67 x 10^-11. Tratar este problema sin el uso de la formulación adecuada muestra una complejidad que no suponía hasta que he comenzado a esbozar estas líneas. Ya he comentado en multitud de ocasiones en este blog que su intención no es tener el rigor inherente a las expresiones matemáticas sino el rigor explicativo lo más general posible para que su comprensión por cualquier lector sea la adecuada, eso sí, teniendo unas nociones básicas imprescindibles sobre matemática y física. Aún con esta problemática intentaré explicar este interesante Problema de los Tres Cuerpos de la forma más sencilla posible.

   Las claves del Problema de los Tres Cuerpos son: cómo es el centro de masas del sistema, definir las 6 integrales del centro de gravedad o del momento lineal (llamadas integrales primeras), las integrales de las áreas o del momento angular y la integral de las fuerzas vivas o de la energía. Por tanto, se tienen 10 integrales por lo que el problema tiene orden 8.

   Evidentemente, la formulación de los conceptos anteriores requiere profundos conocimientos matemáticos y de cálculo que obviamente estoy omitiendo por lo explicado en el párrafo anterior. 

   El sistema inercial se mueve a través del tiempo pero esta variable se puede eliminar sin pérdida de generalidad y, con otros mecanismos complejos, se puede reducir el orden hasta un valor de 4. Aún así, el problema es extremadamente complicado pero se puede hacer una hipótesis que vuelve la cuestión más asequible que consiste en suponer que una de las masas es tan pequeña que no ejerce influencia sobre el movimiento de las otras dos masas pero estando atraída por esos movimientos de manera usual. Así, los movimientos de estas dos masas son los del Problema de los Dos Cuerpos, que se consideran conocidos en su totalidad. Este es el llamado Problema de los Tres Cuerpos Restringido.

   Supongamos pues dos cuerpos con sus masas que se mueven alrededor de su centro de masas en órbitas circulares bajo la influencia de su atracción gravitaroria y consideremos un tercer cuerpo que se mueve en el plano de los anteriores de forma tal que, estando sujeto a las atracciones de las leyes gravitarorias de los otros dos cuerpos, no perturba el libre movimiento de tales cuerpos. La descripción del movimiento de este tercer cuerpo es el que da nombre a esta entrada. Los dos primeros cuerpos se denominan "primarios" y el tercer cuerpo "infinitesimal". Es evidente que se trata de un planteamiento teórico puesto que este tercer cuerpo, en la realidad física, siempre ejerce una acción gravitatoria sobre los dos cuerpos primarios, sin embargo, cuando la masa del cuerpo infinitesimal es muy pequeña en comparación con las masas de los cuerpos primarios, la aproximación a dicha realidad física es muy elevada. Como claro ejemplo de ello, tómense como cuerpos primarios unos planetas y como cuerpo infinitesimal algún satélite de alguno de ellos.

   La simplificación del Problema de los Tres Cuerpos al Problema de los Dos Cuerpos no es en vano puesto que está motivado por problemas reales de nuestro sistema solar, de lo cual se dio cuenta en primera instancia Leonard Euler: el (casi) movimiento circular de los planetas alrededor del Sol y sus pequeñas masas. Se puede considerar el mejor ejemplo al respecto, el sistema Sol-Tierra-Luna:

La relación aproximada de sus masas es mSol / 300000 = mTierra / 1 = mLuna / 0.01  y las distancias relativas cumplen, aproximadamente, dST / dTL = 390;   dST = dSL.  El efecto gravitarorio de la luna sobre la Tierra es 0.005 veces el del Sol. Teniendo en cuenta que la excentricidad de la órbita terrestre es 0.017 (su órbita es "muy" redonda"), lo que da pie a afirmar que el Problema Restringido resuelve el movimiento de la luna respecto de los cuerpos primarios Tierra y Sol. Notar que también existe el Problema de los Tres Cuerpos Restringido Elíptico para órbitas no tan "redondas", es decir, para órbitas con forma de elipse pero su formulación es parecida a la de las órbitas con excentricidades pequeñas.

   El Problema de los Tres Cuerpos Restringido también puede ser aplicado a un satélite artificial sobre los cuerpos primarios Tierra y Luna. Asímismo, Júpiter se mueve alrededor del Sol con una excentricidad mucho más pequeña que la de la Tierra (por lo que su órbita es mucho más "redonda"), y si se considera el sistema de cuerpos primarios Júpiter-Sol, se puede conocer el movimiento de cualquiera de sus satélites principales (Ío, Europa, Ganímedes o Calisto) o cualquier otro satélite natural u objeto interestelar que lo circunde, como se verá más abajo.

   Parece ahora sencillo plantear la formulación matemática del más sencillo de todos los problemas orbitales gravitacionales que se puedan presentar: pues no, incluso en este caso en el que tan solo se involucran dos cuerpos. Ecuaciones diferenciales, integrales y otras consideraciones abundan por doquier en el sencillo Problema de los Tres Cuerpos Restringido, cuestiones que escapan a este blog y que requieren conocimientos avanzados de matemática. Exhorto al lector interesado a que investigue ya que es interesante. Incluso en el caso de dos cuerpos existe una complejidad añadida en la que tampoco voy a entrar por su complejidad pero que recibe el nombre de "regularización".

   Una cuestión importante, como anuncié con anterioridad, tiene que ver con la descripción anterior de la singularidad de Júpiter y su gran masa (318 veces la de la Tierra): ¿qué sucede cuando  un cometa pasa cerca del gran planeta? Aquí se puede aplicar el Problema de los Tres Cuerpos Restringido tratando al cometa como el cuerpo infinitesimal y como cuerpos primarios Júpiter y el Sol y poder así identificar un cometa comparando sus elementos orbitales en apariciones diferentes: a este método se le denomina "criterio de Tisserand" que es clave para el estudio de estos objetos interestelares tan especiales.

   Hasta aquí una pequeña aproximación a un problema complejo en su formulación y fascinante en sus resultados, tal es así que el Problema de los Tres Cuerpos es un caso particular del Problema de los n Cuerpos, que no tiene solución y aquel, el de los Tres Cuerpos, tan solo es soluble en casos particulares siendo el Restringido o de los Dos Cuerpos el resoluble para cualquier par de cuerpos.