Un amigo me pidió para su hija algunas explicaciones sobre los logaritmos, esa estructura matemática tan infravalorada, al igual que las sucesiones de números reales, así que le escribí lo básico que, en realidad, es todo lo relativo a esta curiosa relación numérica con tan mala fama pero de gran sencillez y, si se dominan, aseguran puntos en un examen, al igual que las sucesiones, así que he trasladado aquellas notas a formato digital que expongo en las líneas siguientes.
Se define el logaritmo en base “a” de un número y∈ℝ+ de la siguiente forma: loga y = x ax = y. Si la base a = 10 se dice que es un logaritmo decimal y se designa sin escribir la base, esto es, log x. Si la base es el número “e” se tiene el logaritmo neperiano y se simboliza por ln. Se deduce de esta definición que no existen los logaritmos de los números negativos.
-Propiedades (se prueban fácilmente a través de la definición):
1) a > 0, loga a = 1
2) x > 0, loga xn = n loga x (notar que si a = n, entonces loga an = n loga a = n por la propiedad anterior. Por ejemplo, para el logaritmo decimal, como he comentado anteriormente, log 1000 = log 103 = 3 log 10 = 3; ln e4 = 4 ln e = 4; log5 58 = 8 log5 5 = 8 …).
3) loga (x y) = loga x + loga y [la función logaritmo es un ejemplo sencillo de función que verifica que f(x) + f(y) = f(x y)].
4) loga (x / y) = loga x – loga y
5) loga x = ½ loga x (si el índice de la raíz es cualquier “n”, sería 1/n )
6) Cambio de base: logA x = (loga x) / (loga A)
7) loga b = -loga (1/b)
Una característica importante es que la función logaritmo es simétrica con la función exponencial de igual base respecto a la bisectriz del primer cuadrante, es decir, a > 0, loga x es simétrica con la función ax, x > 0.
Otra característica a destacar de la función loga x es que pasa por los puntos del plano (1,0) y (a,1).
Algunos ejemplos de aplicación:
-Calcular log2 128:
x = log2 128 2x = 128 2x = 27 x = 7
-Calcular log3 243:
x = log3243 3x = 35 x = 5/2
-Reducir 1 + log 2:
1 = log 10 log 10 + log 2 = log 20
-Calcular loga 1/a + log1/b b:
loga 1/a + log1/b b = loga 1 – loga a + (log b) / (log(1/b)) = 0 -1 + (log b) / (log 1 – log b) = -1 -1 = -2
-Si loga N = 2 y loga (32N) = 5, calcular “a”:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones pero con 1 incógnita: loga (32N) = loga 32 + loga N = 5 y sustituimos la primera expresión en la segunda quedando: loga 32 = 5 – 2 = 3 loga 25 = 3 5loga 2 = 3 loga 2 = 3/5 a3/5 =2 a = 25/3
-Si log 2 = 0,3; log 3 = 0,4; log 5 = 0,7; log e = 0,4, calcular log 40, log 50/9 y ln 2:
log 40 = log (23 5) = log 23 + log 5 = 3 log 2 + log 5 = 0,9 + 0,7 = 1,6
log 50/9 = log 50 – log 9 = log (52 2) – log 32 = 2 log 5 + log 2 -2 log 3 = 1,4 + 0,3 – 0,8 = 0,9
ln 2 = loge 2 = (log 2)/(log e ) = 0,3/0,4 = ¾ = 0,75
-Resolver la ecuación logarítmica 5 log x/2 + 2 log x/3 = 3 log x – log 32/9:
5 (log x – log 2) + 2 (log x – log 3) = 3 log x – log 32 - (-log 9)
5 log x +2 log x – 3 log x = log 9 – log 32 + 5 log 2 + 2 log 3
4 log x = log 32 – log 25 + 5 log 2 + 2 log 3
log x4 = 2 log 3 – 5 log 2 + 5 log 2 + 2 log 3
log x4 = log 34
x = 3
-Resolver el sistema formado por las ecuaciones logarítmicas log x/y = 1; log x2 + log y = 8:
De la primera ecuación obtenemos log x – log y = 1 log x = 1 + log y, que sustituimos en la segunda ecuación para resolver en “y”. De igual forma se puede hacer con la otra incógnita:
2 log x + log y = 8 2 (1 + log y) + log y = 8 2 + 3 log y = 8 log y = 6/3 = 2 y = 100 log x = 1 + 2 = 3 x = 1000
-Resolver la ecuación [log (x2 + 11)]/2 = log x + log 6 – log 5:
log (x2 + 11) = 2 log x + 2 log 6 – 2 log 5
log (x2 + 11) = log x2 + log 62 – log 52
log (x2 + 11) = log (x2 (6/5)2) x2 + 11 = (6/5)2 x2 x2 + 11 = 36/25 x2, ecuación de segundo grado sin término en “x”:
x2 – 36/25 x2 = -11 (1 – 36/25) x2 = -11 -11 x2 = -11 x2 = 1 por lo que x = 1 y x = -1 pero el valor x = -1 no es solución de la ecuación logarítmica porque sabemos que no existen los logaritmos de los números negativos, por lo que la solución final de la ecuación inicial es x = 1.
Se comprueba con estas notas que la resolución de estructuras logarítmicas no tiene dificultad porque siempre se utiliza la propia definición y las propiedades nombradas más arriba y sirven, como se ha visto, para sencillas evaluaciones de logaritmos, ecuaciones o sistemas de los mismos, etc.
