Que Leonard Euler fue uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos no encierra ninguna duda. Desde pequeño le gustaba jugar con los números e investigar a partir de cosas conocidas para sacar sus propias conclusiones y una de ellas es el estudio de los logaritmos de números negativos.
En secundaria se nos enseña que no existen los logaritmos de los números negativos y nos lo creemos por nuestra inocencia y falta de conocimientos pero sí existen. La cuestión es que existencia se basa en el cuerpo en el que se definan. Así, dichos logaritmos no existen en el cuerpo de los números reales R pero sí en el cuerpo que incluye a todos los números reales, el cuerpo de los números complejos C. Se sabe que C es algebraicamente cerrado, esto es, cualquier ecuación de grado mayor que 1 tiene solución (o soluciones) en C. No sucede este extremo en el cuerpo de los números reales como, por ejemplo, la ecuación de segundo grado x2 + 1 = 0 cuya solución escapa de los números reales, ya que ésta es x = √-1, la constante imaginaria llamada " i " (nombrada así por Euler), irresoluble en R, como es sabido.
Es conocida la fórmula de Euler e xi = cosx + isenx . El número real -1 se puede considerar como número complejo, ya que -1 = -1 + 0i. Así, cualquier número real se puede ver como un número complejo con esta sencilla construcción. Como bien es sabido, cosπ = -1, senπ = 0, por lo que -1 = -1 + 0i = cosπ + isenπ = e i Pi => e i Pi + 1 = 0, que es la conocida como "fórmula más bella del mundo".
Escribimos ahora la ecuación anterior de la siguiente manera: -1 = e i Pi , y le vamos a aplicar logaritmos en ambos miembros y aplicar sus propiedades: ln(-1) = ln (e i Pi ) => ln(-1) = iπ ln(e) = iπ . Con este sencillo proceso se ha conseguido el logaritmo de un número negativo.
Por la construcción del cuerpo de los números complejos C, el resultado más exacto es ln(-1) = iπ + 2kπ, (k un número entero), es decir, añadirle a la primera solución las vueltas sucesivas a la circunferencia en C.
Como curiosidad, se puede calcular el valor de i i de la siguiente forma:
i = 0 + 1i = 0 + 1 · [cos(π/2) + i sen(π/2)], porque cos(π/2) = 0 y sen(π/2) = 1. De la fórmula de Euler e xi = cosx + isenx se tiene i = 1 · (e i Pi/2 ) = e i Pi/2 => i i = e w Pi/2 , donde w = i 2 = -1 , por lo que i i es un número real, aproximadamente 0,2078795764... Al igual que más arriba, hay que añadir las soluciones cada vez que se produce un giro completo, es decir, i i = e (w Pi/2 + 2k Pi), para todo k número entero.
Otro pequeño ejemplo está en hallar el valor de la raíz i-ésima de -1, es decir, (-1) 1/i :
Por la bella fórmula e i Pi + 1 = 0, se tiene que -1 = e i Pi, a lo que hay que añadir, como comenté en el ejemplo anterior, las vueltas o giros en el plano complejo, es decir, -1 = e i (Pi + 2k Pi), para cualquier k un número entero, por tanto, (-1) 1/i = (e i (Pi + 2k Pi)) 1/i = e (Pi + 2k Pi), que es otro número real (cuando k = 0), como en el caso anterior. Como dato importante, comentar que e Pi es llamada constante de Gelfond y su valor aproximado es 23,1406926328...
Experimentar con los números y descubrir nuevas propiedades de ellos es a lo que se dedicó el genial Euler, así como cualquiera, hoy en día, de niños a mayores, puede experimentar "jugando" como en los ejemplos anteriores. Euler estaría orgulloso de esas mentes inquietas.
