El Principio de Cavalieri afirma que si dos sólidos con la misma altura son seccionados por planos paralelos a sus bases y dichas secciones tienen la misma área, entonces los sólidos tienen el mismo volumen. Es decir, si dos cuerpos tienen la misma "cantidad de materia" en cada nivel de altura entonces, aunque sean de forma distinta, tienen el mismo volumen.
Esto es, de manera más informal, si un sólido se puede duplicar a sí mismo y colocarse a su lado de tal forma que su copia pueda ser deformada sin alterar su altura o dimensiones, entonces este principio afirma que el sólido inicial y su copia poseen igual volumen, es decir, la copia es homeomorfa al original (esto significa que matemáticamente son iguales, las propiedades de uno las tiene el otro y viceversa), ha habido una transformación biyectiva entre ambos.
Me gusta recordarlo como una baraja de cartas: si se abre el paquete de cartas y se despliegan un poco, la "nueva" baraja de cartas sigue teniendo el mismo número de cartas y todas siguen teniendo el mismo tamaño y siguen colocadas en la misma posición, por tanto, según este principio, la baraja original y la baraja "alterada" tienen el mismo volumen ya que los cortes paralelos, las cartas (los planos que menciona esta propiedad), tienen las mismas áreas.
Así pues, se pueden comparar sólidos sin medirlos directamente, ya sea porque no se puede acceder a su totalidad, por su intrincada forma, etc. Es un contraejemplo de la intuición puesto que dos sólidos distintos pueden ocupar exactamente el mismo espacio.
Ahí no queda la cosa puesto que la importancia vital de esta propiedad nos lleva al cálculo integral trasladando figuras entre dos funciones en la misma figura sobre el eje de ordenadas. Este principio es el que se usa para esa fórmula del cálculo integral de instituto de la diferencia entre dos funciones, ¡es este y sólo este!
Ahora bien, ¿cómo llegó el matemático Cavalieri a sacar de las tinieblas esta propiedad tan importante? Baste decir que Cavalieri era discípulo de Galileo por lo que en sus venas estaba la inconformidad de la naturaleza. Así, pensó que las figuras estaban formadas por infinitas capas, que llamó método de los indivisibles, por lo que una superficie podía verse como una suma de infinitas líneas y un sólido como una suma de infinitas superficies. Cavalieri se dio cuenta de lo que reza su principio a base de razonamientos geométricos y comparaciones experimentales, a los que aplicó la lógica y el principio de inducción (aunque no supiera qué era esto último). Como ha sucedido a lo largo de la historia, no todo el mundo científico estaba a favor de este método de los indivisibles puesto que "jugaba" con "infinitas" cosas (las capas mencionadas) y se saltaba algunos aspectos de la geometría euclidiana, todo un desafío para la época. Por cierto, ya he hablado en este blog, y no con mucho optimismo, sobre el concepto de infinito: se pueden buscar entradas referidas a ello en el buscador.
No le hicieron falta a Cavalieri los complejos cálculos de la matemática moderna para airear, y de qué manera, el Principio de Cavalieri, valga la redundancia, que sentó las bases del cálculo integral tal y como lo conocemos hoy en día.
