"Era sabido, hasta hace muy poco tiempo, que el límite de dobleces que se le pueden dar a un papel era de 8, es decir, no se podía doblar un papel, hacia los lados que fueran, más de 8 veces, pliegue sobre pliegue. En el año 2002, una estudiante de secundaria (aún lo era cuando hizo lo que sigue), Britany Gallivan, demostró que un único trozo de papel de unos 1200 metros de longitud puede ser doblado por la mitad 12 veces de forma empírica, es decir, cogió el papel y lo dobló. También consiguió doblar una lámina cuadrada de oro por la mitad 12 veces".
Hata aquí todo correcto en Wikipedia salvo la falta de información más precisa (¿cómo lo dobló?, ¿dónde?, ¿quién lo ratificó?, y la lámina de oro, ¿qué área ocupaba?, ¿quién se la `prestó´?, etc). Lo que no me convence es que consiguiera, como asegura Wikipedia, demostrar matemáticamente este extremo ni deducir una ecuación para calcular la anchura del papel W necesaria para doblar una hoja de grosor t un número dado de veces n. Para estos cálculos se requieren conocimientos matemáticos que no se consiguen salvo en cursos medios - avanzados de una carrera técnica.
Así pues, ante la flagrante falta de información y enlaces de Wikipedia referentes a este tema, le voy a plantear a mi querido lector/a dicha prueba de forma analítica, para que no queden dudas sobre esta curiosa propiedad del papel.
Dedico esta entrada a los niños, para acercarles las matemáticas aunque solo sean los resultados, tal y como quise plasmar en entradas como Magia con los Números, Pinta y Colorea o Si Dios Existe, Se Llama Pi.
Para una sola dirección de plegado, la longitud exacta mínima requerida L es:
A su vez, una cota superior de la anchura del papel que se necesita para direcciones alternas de plegado, W, es:
La idea fundamental de este experimento es que cada vez que se dobla el papel se "pierde" un poco de papel debido al doblez, lo demás permanece recto. La fórmula nos da la pérdida total después de n pliegues que es equivalente a la longitud mínima para hacer esos n pliegues. Conviene hacer una prueba real con un papel, ¡no es complicado!
En el primer pliegue o doblez se forma (se pierde) un semicírculo de radio t que tiene un perímetro de πt. El resultado es una pieza de dos capas de papel con un espesor total de 2t.
En el segundo doblez se pierde un semicírculo de radio t y un semicírculo de radio 2t, el del pliegue anterior, por lo que la longitud perdida es πt+2πt=3 πt. Tenemos, entonces, una pieza de cuatro capas de papel después de dos pliegues y una longitud total perdida de πt+(πt+2πt).
Llevamos, por tanto, una longitud total perdida de πt+(πt+2πt)+(πt+2πt+3πt+4πt)=15 πt.
A partir de aquí se puede decucir la longitud total perdida después de n dobleces:
πt+(πt+2πt)+(πt+2πt+3πt+4πt)+...+(πt+2πt+3πt+4πt+...+ πt2^(n-1)) = πt(1+(1+2)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+4+...+2^(n-1))).
Hemos obtenido una sucesión aritmética por lo que, usando ahora la fórmula de la suma de esta sucesión (la mitad del número de términos por el primero más el último), se obtiene la serie aritmética (πt/2)((1*2)+(2*3)+(4*5)+(8*9)+...+((2^(n-1))*(2^(n-1))+1))) donde el n-ésimo término es (2^(n-1))*(2^(n-1))+1))=2^(2n-2)+2^(n-1).
Ahora tenemos una serie geométrica (productos), por lo que reordenando y usando, esta vez, la fórmula para la suma en una serie geométrica (largo pero fácil, no merece la pena escribirlo) llegamos al resultado buscado.
Fijándonos con atención en el proceso de construcción, se puede decir que el pliegue i-ésimo empieza con 2^(i-1) capas y el pliegue o doblez de la capa j-ésima utiliza jπt unidades de papel. Así pues, la longitud total L de papel utilizado para el doblez i-ésimo viene dada por la suma de la serie aritmética construida antes:
Para buscar la longitud para un número dado de n pliegues, tenemos que sumar este resultado con i desde 1 hasta n:
De todas formas, ya sabemos que podemos doblar un papel hasta 12 veces, ¡manos a la obra!
