Ya van varias entradas sobre paradojas lógico-matemáticas y mi interés radica en que la vida en sí y, por tanto, la forma más habitual de comunicación, el lenguaje hablado o escrito, contiene graves inexactitudes que derivan en esas contradicciones que chocan a simple vista. La clave está en ser críticos y fijarnos en lo que subyace en cada paradoja: un intento de engaño abusando del lenguaje formal, entendiendo éste como el lenguaje formal llamado `de primer nivel o nivel 1´, como se puede apreciar en la entrada inmediatamente anterior a ésta que escribo. Todas las paradojas o, la inmensa mayoría, se reducen a la paradoja madre, la paradoja de Russell, ya comentada en otras entradas. Dicha contradicción formal no tiene sentido en el lenguaje usado habitualmente para comunicarnos pero sí es resoluble en una lógica formal de orden superior.
Por poner un ejemplo sencillo, la frase de nuestro lenguaje (o cualquier otro de traducción) "¿qué hay al norte del Polo Norte?" no tiene sentido (ni siquiera es una contradicción) ya que el punto más al norte que existe es el Polo Norte pero nuestro lenguaje nos permite construirla con exactitud semántica, sintáctica y gramática. Lo mismo sucede si nos referimos al Polo Sur, no así este u oeste. Los lenguajes de orden superior solventan este grave inconveniente poniendo reglas para, obviamente, impedir ese tipo de construcciones. Cualquier lenguaje de programación es un lenguaje de orden superior porque un algoritmo no permite construir sentencias como la anterior sin provocer un error que se deba depurar. Y la forma en la que un algoritmo depura una entrada es eliminándola.
La paradoja de Berry que trato aquí, abusa del lenguaje en el sentido explicado más arriba. Su enunciado coloquial es: la siguiente frase es una contradicción en sí misma, "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras". Evidentemente, implícitamente está la idea de encontrar ese número de forma explícita. Así, quedarían excluidos los números enteros específicos de la forma "dos decenas", "mil millones de millones", "dos elevado a ciento veintitres", etc. Una cosa es clara: el conjunto de esos números enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es un conjunto finito, lo cual es un hecho muy significativo e importante puesto que no hablamos así de cardinalidad. Así pues, este conjunto finito no puede contener a todos los enteros positivos por lo que existe algún entero positivo que es el menor de los enteros que no está contenido en ese conjunto. ¿Cuál es explícitamente? Imposible saber cuál es. La razón es que la frase "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras" ya está definiendo a ese número pero esa frase solo tiene 14 palabras. Choque de trenes.
Este tipo de frases encarnan las llamadas falacias 'Vicious Circle' (del círculo vicioso) y son frases que se refieren a ellas mismas y se resuelven como indiqué más arriba, evitando construirlas.
Formalmente, la paradoja de Berry es de la siguiente forma:
1) Sea A el conjunto de todas las palabras del idioma español (se puede extrapolar a cualquier otro idioma formado por palabras).
2) Sea X el conjunto de todas las posibles frases de A.
3) Definimos Y - |Y| = |X| donde, para todo y de Y, como número natural, entonces y < |X|, siendo |.| el número de elementos del conjunto. Así, Y es un conjunto de números enteros positivos.
4) Sea f : X <--> Y una aplicación biyectiva entre frases de X y números enteros positivos de Y.
La idea está en construir explícitamente esa función f, pero la paradoja afirma que existe un elemento de X tal que su imagen por f, es decir, f(x) no está en el conjunto Y, lo cual se contradice con el hecho de que f es una biyección (todo elemento del conjunto final es imagen de algún elemento del conjunto inicial y la imagen de todo el conjunto inicial es todo el conjunto final, es decir, es una aplicación uno-a-uno sin dejar elementos sin de ambos conjuntos sin relacionarse).
No voy a entrar en cuestiones más serias de explicaciones puras porque entran en juego ciertos conceptos que, entiendo, aburren y esa no es la idea de este blog ni de esta entrada (comlpejidad de Kolmogorov, isomorfismo computable,...). Simplemente he querido mostrar, una vez más, que nuestro lenguaje (el formal de tipo 1, no me refiero al idioma) es susceptible de ciertas sutilezas que permiten construir frases como la paradoja de Berry u otras analogías que merecen la pena ser explicadas para no caer en esos círculos viciosos del uso y el abuso de la comunicación.
