Volviendo al tema
de las paradojas que dejé aparcado hace un tiempo con las entradas Paradojas , Paradoja de Banach-Tarski, Paradoja de la Ecuación de Drake, me
referiré en esta entrada a dos resultados muy curiosos, como son la ´paradoja
del chocolate infinito´ y la `paradoja
de las patatas´, ambas referidas, obviamente, en lenguaje coloquial y que no
entran rigurosamente en el conjunto de las paradojas propiamente dichas ya que,
este conjunto, contiene elementos que no se pueden resolver con la lógica
formal del lenguaje formal, valga la redundancia, por lo que requieren elevarse
al nivel del meta-lenguaje. En ese conjunto de paradojas estarían, por citar
algunos ejemplos, la paradoja de Russell, las paradojas de Zenón, o la paradoja
del examen sorpresa., tal y como relato en las entradas arriba mencionadas.
Las supuestas
paradojas de la entrada actual (supuestas porque no son tales) son engaños
matemáticos que nos hacen ver que no todo es tan intuitivo como aparenta y que,
cualquier cuestión, merece ser analizada con detalle.
-Paradoja del chocolate:
Este resultado es, matemáticamente, la `paradoja del
cuadrado perdido´ y se refiere a un caso especial de la división en exactamente
4 piezas de un triángulo rectángulo. El detalle de las 4 piezas es crucial para
conseguir el efecto esperado (un espacio en blanco al reordenar las piezas o,
si tratamos con chocolate, un cuadrado “gratis” de chocolate nacido de la nada,
de ahí la frase `chocolate infinto´): si dividiéramos el triángulo en 3 piezas,
al reordenarlas probablemente no conseguiríamos un triángulo rectángulo; si lo dividimos en
solo 2 piezas es absurdo reordenarlas para intentar conseguir algún hueco en
blanco; si lo dividiéramos en más de 4 piezas no sería tan evidente conseguir
un espacio en blanco si no que “bailarían” las piezas no encajando bien entre
sí, por lo que la división del triángulo en exactamente 4 piezas es la ideal
para conseguir el efecto buscado. La
idea que subyace de esta contradicción es que no tratamos con un TRIÁNGULO si
no con un CUADRILÁTERO (figura con 4 lados, aunque aquí son muy sutiles y a
simple vista casi no se distinguen de los tres lados de un triángulo).
(1)
(2)
El ‘triángulo’ 1 tiene, entre las piezas roja y azul, un
punto de inflexión en las coordenadas (8,3), no es una línea recta continua, al
igual que ocurre en el ‘triángulo’2, esta vez en la coordenada (5,2). Ahí está
la clave de la supuesta paradoja cuya hipótesis es que partimos de un triángulo
(el 1) cuando en realidad no lo es ya que los puntos (0,0), (8,3) y (13,5) no
están alineados, no pertenecen a una misma recta, por eso falla el razonamiento
o tesis y se llega a que obtenemos un cuadro en blanco en la figura 2 entre las
coordenadas 7 y 8 del eje de abcisas. Esta nueva figura pasa por los puntos
(0,0), (5,2) y (13,5) que tampoco están alineados. Por tanto, la clave está en
la hipótesis y en las áreas de cada una de las piezas de colores. Cada una de
las piezas son de la siguiente forma:
La roja y la azul son triángulos rectángulos de base 8 y
altura 3, y base 5 y altura 2, respectivamente, por lo que sus área son (8x3)/2
= 12 y (5x2)/2 = 5.
La figura verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que
le falta un rectángulo de base 2 y altura 1, por lo que su área es (5x2) –
(2x1) = 8, y la figura amarilla es también un rectángulo de base 5 y altura 2
al que le falta un rectángulo de base 3 y altura 1, y así su área es (5x2) –
(3x1) = 7.
Así pues, el área total de estas figuras es la suma de sus
áreas: 12 + 5 + 8 + 7 = 32
Pero si cogemos todo el ‘triángulo’ de la figura 1 en un solo bloque, su área es (13x5)/2 = 32.5. Como el área de ese cuadrado es 1x1 = 1
y 32.5 – 32 = 0.5, ¿dónde está lo que falta para completar el área igual a 1? Está en
el casi inapreciable pico que se forma desde el punto (0,0) hasta el (5,2) y
desde éste hasta el (13,5). Esa pequeña diferencia entre el cuadrilátero de la
figura 2 y el irreal triángulo que se ve, es ese 0.5 que falta (haciendo
cálculos) para completar el área de ese cuadrado que falta. La superficie de la
figura 1 es de 32 cuadrados y la de la figura 2 es de 33 cuadrados.
Extrapolando este
resultado obtenemos la `paradoja del chocolate infinito´ que tanto ha circulado
por internet con una salvedad: en los vídeos del chocolate, la tableta ya
aparece cortada desde el principio, siempre a conveniencia de quien realiza el
vídeo, nunca aparece una tableta entera que se corta con cuchillo en vivo y se mueven las
piezas, ahí está el engaño.
-Paradoja de las patatas:
Es una paradoja más
sencilla que la anterior pero que engaña a nuestra intuición. Se enuncia así:
tenemos 100 kg de patatas con un peso de 99% agua, las deshidratamos hasta
conseguir un peso de 98% de agua, ¿cuánto pesan ahora?, ¿99 kg?
La intuición nos lleva automáticamente a dar como correcta
esa respuesta, 99 kg, pero nada más lejos de la realidad puesto que el peso que
conseguimos es solo de 50 kg.
La clave aquí está en las proporciones porque el
98% agua significa que el 2% es sólido que corresponde a 1 kg (el sólido inicial
era de 1 kg al ser el 1% de los 100 kg de patatas y no se ve afectado por la
deshidratación del producto, siempre es 1 kg) y, si x es el nuevo peso de las
patatas, entonces 0.02x = 1 => x = 50 kg, esto es, 1 kg de sólido y
49 kg de agua.
Las contradicciones del lenguaje de la vida cotidiana nos ofrecen estos pequeños juegos matemáticos que sirven para ilustrar la eficacia de saber aprovechar los conocimientos abstractos matemáticos en cuestiones reales de nuestro día a día.
