Leonardo Pisano, más comúnmente conocido como Fibonacci, descubrió la sucesión de números que lleva su nombre a partir del siguiente problema: “¿cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?” Estableciendo una tabla contando por meses y generaciones de conejos, obtuvo la famosa sucesión descrita por los números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Si dividimos cada término por el anterior se obtiene una aproximación a un número muy particular:
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 =1,5
5/3 = 1,66..
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615384..
El llamado “número de oro”, Φ (Phi), el número metálico más famoso e importante, es la aproximación final, el límite, de estos cocientes de los términos de la sucesión de Fibonacci dividiendo cada uno por su predecesor. De forma algebraica, el número áureo es la solución positiva de la ecuación x2 - px - q = 0 con p = q = 1, y dicha solución positiva es (1 + 5)/2. La ecuación anterior es la que define los “números metálicos” variando los valores de p y q: número de oro, de plata, de bronce, …
El número de oro así definido involucra un número irracional, 5, por lo que Φ también es irracional y se suele aproximar a Φ 1,618, puesto que su importancia en la naturaleza es más geométrica que numérica. Algunas curiosidades de este número son las que aparecen a continuación:
Como Φ es solución de la ecuación x2 - x - 1 = 0, se tiene que Φ2 - Φ - 1 = 0, por lo que Φ2 = Φ + 1. Si multiplicamos por Φ ambos miembros obtenemos la secuencia:
Φ³ = Φ2 + Φ
Φ⁴ = Φ³ + Φ2
Φ⁵ = Φ⁴ + Φ³ …
Por tanto, cualquier potencia de Φ es la suma de las dos potencias anteriores. Y, ¿se puede saber el valor de 1/Φ? Sabemos que Φ2 = Φ + 1, por lo que Φ2 - Φ = 1 y así (Φ2 – Φ)/Φ = 1/Φ y simplificando 1/Φ = Φ – 1.
Si elegimos dos términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci y los sumamos, el resultado es múltiplo de 11 (¡¡COMPROBAR!!). Es más, esa suma es 11 veces el término que ocupa el 7º lugar (¡¡COMPROBAR!!)
Para rizar el rizo, la suma de n términos cualesquiera desde el primero es igual al término que ocupa la posición n + 2 restándole 1 (¡¡COMPROBAR!!).
Hasta aquí una breve introducción a una sucesión de números que esconde propiedades muy curiosas y un número muy importante históricamente y en las matemáticas.
