La familia de los números metálicos fue introducida por la matemática argentina Vera De Spinadel en 1994 y se caracteriza, como comenté en la entrada sobre Fibonacci por ser las soluciones positivas de la ecuación de segundo grado x2 – px – q = 0 variando los números naturales p y q. Ya vimos que el caso más sencillo, cuando p = q = 1, nos lleva al magnífico número áureo Φ. Los más importantes son los siguientes:
Si p = 2 y q = 1 x2 – 2x - 1 = 0, cuya solución positiva es el número de Plata σ2,1 = 1 + 2
Si p = 3 y q = 1 x2 – 3x - 1 = 0, cuya solución positiva es el número de Bronce σ3,1 = (3 + 13)/2
Si p = 1 y q = 2 x2 – x - 2 = 0, cuya solución positiva es el número de Cobre σ1,2 = 2
Si p = 1 y q = 3 x2 – x - 3 = 0, cuya solución positiva es el número de Níquel σ1,3 = (1 + 13)/2
Si p = 2 y q = 2 x2 – 2x - 2 = 0, cuya solución positiva es el número de Platino σ2,2 = 1 + 3
En general, x2 – px – q = 0 x = (p [p2 + 4q])/2, cuya solución positiva es (p + [p2 + 4q])/2. Así, σpq es entero si p2 + 4q = 0 q < 0.
La importancia del número de oro es bien conocida y existe gran cantidad de información sin que yo exponga aquí ninguna novedad y simplemente destacar que el número de plata estuvo presente en el diseño a todas las escalas, desde las dimensiones de los patios hasta edificios individuales de las casas romanas y las habitaciones dentro de cada edificio y los tapices colgados en las paredes de los nobles romanos, así como en las proporciones musicales, de ahí que sea el segundo número en importancia dentro de esta familia de números. No me detendré en las relaciones entre estos números y las sucesiones geométricas y algunas ramas de la física y la economía por requerir conceptos técnicos en los que no quiero entrar para no alargar en exceso esta entrada y no aburrir, tan solo quiero nombrar este interesante conjunto de números y dar algunos breves comentarios sobre ellos.
Se pueden probar fácilmente algunas propiedades de estos números y, jugando con unos sencillos cálculos, comprobar que, por ejemplo, σ4,4 = 2σ2,1 (muy evidente desarrollando ambos miembros de la igualdad y obteniendo el valor 2 + 22).
También es evidente que el número de bronce y el número de níquel se relacionan por la expresión σ3,1 – σ1,3 = 1.
Otro sencillo ejercicio es comprobar que σ4,1 = Φ³ sin más que desglosar los valores de ambos miembros y ver que coinciden
Los números metálicos son pues una familia de números muy interesante y con unas propiedades, cuando menos, curiosas, como en el caso del rey de la familia, el número de oro. Invito al lector a indagar más profundamente y obtendrá muchas curiosidades asociadas a estos números.
