Construcciones (No Construibles) con Regla y Compás

    Expongo aquí las demostraciones rigurosas de dos cuestiones muy básicas de nombrar, como son la imposibilidad de cuadrar el círculo y duplicar el cubo, con el uso tangible de instrumentos físicos, esto es, con el uso de regla y compás de la forma geométrica clásica:

1) No es posible la construcción con regla y compás de un cuadrado cuya área coincida con la del círculo de radio la unidad.

Para ello, supongamos lo contrario, es decir, lo que se conoce como la demostración por el método de reducción al absurdo. Sean pues, A_i = (a_i, b_i), con i = 1, 2, 3, 4 los vértices consecutivos de un cuadrado de área π. Sin entrar en detalles escabrosos, existe un resultado que garantiza que un punto se puede construir a partir del conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)}, si una extensión de cuerpos a partir del menor subcuerpo de R (conjunto de números reales) que contiene a Q (conjunto de números racionales) es potencia de 2. No entraré en esto, ya que el objetivo de esta entrada ha de ser simple y no la pérdida de interés en el resultado final. Con esto en mente, se considera ese menor subcuerpo como el propio Q. Así, una extensión de él, E/Q, es algebraica, donde E = Q(a₁, b₁, a₂, b₂). Pero contradice la trascendencia de π (esto es, no es raíz de ningún polinomio), ya que π = (a₁ – a₂)² +( b₁ – b₂)² que pertenece a E. Así, no es posible encontrar el cuadrado inicial.

2) No es posible construir con regla y compás un cubo cuyo volumen sea el doble del de otro dado.

Para este caso, es suficiente probar que no es posible construir un cubo de volumen 2. Supongamos, al igual que antes, la reducción al absurdo para llegar a una contradicción, por lo que se asume que sí se puede construir y fijamos una cara de dicho cubo apoyada en el plano x₃ = 0 de R³. Si obviamos la tercera coordenada, llamamos A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂) a dos vértices consecutivos en dicha cara. Estos puntos son construibles con regla y compás, según vimos más arriba y se tiene x = (a₁ – a₂)² +( b₁ – b₂)² que está en E = Q(a₁, b₁, a₂, b₂).

Haciendo operaciones (largas) se obtiene x³ = 4 por estar en E. Así pues, una extensión de E sobre Q es múltiplo de 3 (ya que un polinomio en x sobre Q es de la forma T³ – 4). Veamos, rápidamente, que esa extensión de E es potencia de 2, con lo que llegaremos a una contradicción: Si escogemos el conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)} al que le añadimos el punto A, esto es P = {(0, 0), (1, 0), (a₁, a₂)} y p = B, que es construible a partir de P, como mencionaba antes, se tiene que la la extensión de cuerpos a partir del menos subcuerpo de Q que contiene a A, es potencia de 2, por lo que obtenemos la contradicción buscada.

No he pretendido entrar en detalles que velan el objetivo final de estas líneas, que es el mostrar con rigor, aunque por encima, lógicamente, dos hechos bien conocidos sobre las construcciones geométricas tangibles con regla y compás y espero que sirvan como curiosidad y se tomen con el mismo interés que las demás entradas de este blog.

Es evidente que se pueden construir con regla y compás muchas figuras que, de hecho, se realizan en estudios básicos de secundaria como son la recta perpendicular a otra dada, la recta paralela a otra dada que pase por un determinado punto o el punto medio de un segmento que une dos puntos dados, construcciones muy fáciles que me divertían en el instituto. Es bueno recordarlas.

Polígonos Construibles

   Cuando se trata de construir polígonos regulares con regla y compás en el plano euclídeo habitual, cabe preguntarse cuáles se pueden construir y cuáles no y si existe alguna regla que determine si es posible o no realizar esa construcción para cualquier número de lados que se pretenda. Y la respuesta es afirmativa. En la entrada Construcciones (No Construibles) con Regla y Compás , expuse algunos casos concretos y muy conocidos sobre este tipo de construcciones en el plano. No entraré, como es norma en este blog, en detalles y demostraciones que requieren conocimientos de álgebra abstracta que, aunque básica, quedan fuera del espíritu de estas entradas.

   La pregunta clave es pues, ¿cuáles n-ágonos regulares es posible construir con regla y compás? Para ello, veamos que esa construcción está ligada matemáticamente a la posibilidad de que ciertos números reales sean construibles:

Supongamos que hay un solo segmento de recta que definiremos como de longitud una unidad. Así, diremos que un número real A es construible si se puede construir un segmento de recta de longitud las unidades que ocupa A, es decir, su módulo |A|, en un número finito de pasos a partir del segmento dado de longitud unitaria, usando solamente regla y compás.

Es fácil ver que si A y B son dos números construibles, entonces también lo son su resta, su suma, su producto y su división (siempre que el denominador no sea nulo). Estas operaciones nos dan la estructura de subcuerpo, de tal modo que se puede afirmar que el conjunto de los números reales que son construibles, llamémosle F, es un subcuerpo del cuerpo de los números reales. Como es sabido (no lo vamos a ver aquí), el cuerpo ℚ de los números racionales es el menor subcuerpo del cuerpo ℝ de los números reales, por lo que F contiene a ℚ. Este “F” así formado, consta, justo, de todos los números reales que se pueden obtener de ℚ tomando raíces cuadradas (los números de ℝ que “le faltan” a ℚ) de números (positivos, obviamente) un número finito de veces y aplicando un número finito de operaciones suma, resta, división y multiplicación.

Además, si un número A > 0 es construible, entonces es fácil probar que su raíz cuadrada, A también lo es.

   La imposibilidad de trisecar el ángulo es otra de las construcciones no construibles con regla y compás, es decir, existe algún ángulo que no se puede trisecar con regla y compás. Es evidente que al hablar de ángulos hay que hablar de razones trigonométricas y nos interesa, en este caso, el coseno del ángulo, puesto que un ángulo α se puede construir sí y sólo sí se puede construir un segmento de longitud |cos α| (es sabido que el coseno de un ángulo nos proporciona la longitud en la horizontal mientras que el seno del ángulo nos da la altura).

De aquí se puede obtener (no lo veremos aquí) que un n-ágono regular es construible para n ≥ 3, sí y sólo sí el ángulo 2π / n es construible, esto es, si es construible |cos (2π / n)|.

    Retomemos la cuestión inicial de esta entrada. Sea ahora la raíz n-ésima primitiva  ξ = cos (2π / n) + i sen (2π / n). Su inverso resulta, sin más que aplicar unos sencillos cálculos para números complejos,   1 / ξ = cos (2π / n) - i sen (2π / n). Su suma vale ξ + 1 / ξ = 2 cos (2π / n).

   Aquí, por desgracia, se complican los razonamientos que requieren extensiones de cuerpos y otras extructuras matemáticas en las cuales no entraré, pero la conclusión es que “los únicos n-ágonos regulares que pueden construirse con regla y compás son aquellos en que los primos que dividen n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide a n”. Gauss fue el que probó esta afirmación. Destacar que los números primos de Fermat, muy importantes en términos algebráicos, son de la forma 2^t +1, con t = 2^k. Fermat conjeturó que estos números eran primos para todos los enteros k > 0 aunque, hasta la fecha de escribir esta entrada, tan solo se conocen 5, que son: 3, 5, 17, 257, 65537, que equivalen a k = 0, 1, 2, 3, 4. Euler demostró que para k = 5, el número que se obtiene no es un primo de Fermat.

   Como ejemplos, se puede ver que el 7-ágono regular no es construible con regla y compás puesto que 7 no es un primo de Fermat. También se puede ver que el 18-ágono regular no es construible ya que, aunque 3 es un primo de Fermat, su cuadrado 3² = 9 divide a 18. El 60-ágono regular es construible ya que 60 = (2²)(3)(5) y 3 y 5 son ambos primos de Fermat.

   Apartando intencionadamente las cuestiones técnicas, esta entrada queda completada ofreciendo un método para poder construir al estilo clásico con regla y compás, los polígonos regulares que cumplan los requisitos.

Jugando Con Dados

   Algo tan sencillo pero tan visual como puede ser una figura geométrica, nos puede dar muchísima comprensión de conceptos abstractos como generalizar el número de caras, vértices o aristas de un poliedro de “n” lados (Teorema de EULER, C + V = A + 2 donde C son las caras, V los vértices y A las aristas), asignar números a las caras y jugar con las sumas, diferencias u otras operaciones y la razón está en la percepción visual de la figura en 3 dimensiones y, por tanto, la más fácil comprensión de complejos aspectos de álgebra y sus aplicaciones. Por ello, en esta entrada vamos a jugar con los dados, entendiendo como éstos a los formados por figuras cúbicas. No me refiero al cálculo de probabilidades ni a diseñar experimentos estocásticos, si no a la observación de los dados estáticos.

   Lo primero que hay que plantearse con los dados es cuál es la asignación de los números en las caras y cómo se relacionan entre sí, porque no existe una única forma para tal asignación, y esto es muy importante, según las cuestiones que se pretendan dilucidar. Por supuesto, dejo aparte los llamados “dados no transitivos” y otras figuras de dados, usaré pues los dados de toda la vida, normales y corrientes, con números del 1 al 6 cada uno en una cara.

   Dichas asignaciones corresponden a lo que, algebraicamente, se denomina el Grupo de Permutaciones, absolutamente VITAL en la Teoría de Grupos, pero no entraré en detalles complejos y muy abstractos. La idea fundamental de este tipo de construcciones consiste en permutar, es decir, `mover´ cosas manteniendo sus propiedades básicas. Para nuestro caso concreto de un dado y los números que pondremos en sus caras, sería simplemente aplicar cierta regla para esas asignaciones.

   Como ejemplo básico, voy a tratar dos tipos de dados con (casi) la misma asignación de números en sus caras:

-Dado 1: supongamos que vemos el dado desde una arista, localizando así 3 números como los de la figura:

 

El orden aquí es como sigue: 1 arriba, 2 izquierda-abajo, 3 derecha-abajo. Según esta configuración inicial, las caras opuestas tienen asignados, en este orden, el 6 opuesto al 1, el 5 opuesto al 2 y el 4 opuesto al 3. Se consigue de esta manera la permutación respecto a lo que vemos, que nos lleva el 1 al 2, el 2 al 3 y el 3 al 1 y, las caras ocultas llevan el 4 al 5, el 5 al 6 y el 6 al 4. Se construye así la permutación compuesta A₁₂₃B₄₅₆ que asigna esos movimientos de traslación.

-Dado 2: supongamos ahora que vemos el mismo dado pero cambiando la localización de 2 y el 3 como muestra la figura:

   Aquí, el 1 sigue arriba pero ahora el 2 está a la derecha-abajo y el 3 a la izquierda-abajo. Con esta composición, las caras que no se ven tienen asignados los números opuestos como sigue: el 5 opuesto al 1, el 6 opuesto al 3 y el 4 opuesto al 2. En este caso, obtenemos la permutación A’₁₃₂B’₄₆₅ que no es la misma que en el dado anterior porque el orden influye.

   Con respecto a las caras ocultas que permanecen debajo de la cara más arriba (para el dado 1, la opuesta al 1 es el 6 y así sucesivamente según giremos el dado, e idem para el dado 2), también se les puede asignar unas permutaciones, siendo éstas las C₁₆D₂₅E₃₄ para el dado 1 (es decir, el opuesto al 1 es el 6 y viceversa, el opuesto al 2 es el 5 y viceversa y el opuesto al 3 es el 4 y viceversa) y para el dado 2, C’₁₅D’₂₄E’₃₆ (explicación parecida a la del dado 1). Manejando los dados es muy sencillo ver las composiciones anteriores y es muy intuitivo incluso para enseñar el concepto “permutación de números” a personas sin conocimientos matemáticos.

Ahora podemos plantear un par de cuestiones interesantes, a modo de ejemplos:

   -¿Cuánto suman las caras ocultas de 6 dados que tienen en su cara superior los números del 1 al 6 sin mirar esas caras? Tanto para el dado 1 como para el dado 2, se resuelve de la misma forma porque no varían los opuestos a los números de la cara superior en cada uno de los dados y como tomamos todos los números asignados a todas las caras del dado, se puede afirmar que los números de las caras ocultas son también todos los números de las caras superiores, por lo que la respuesta es 6+5+4+3+2+1 = 21. En este sencillo ejemplo, hay que observar que la suma de los números correspondientes a la cara superior y su opuesta en el dado 1, es constante (1+6 = 7; 2+5 = 7; 3+4 = 7) pero para el dado 2 no ocurre esto (1+5 = 6; 2+4 = 6; 3+6 = 9).

   -Otro sencillo ejemplo podría ser el siguiente: usando, sin repetir, cada una de los 6 números de las caras de un dado, ¿cuál es la diferencia entre el número más grande y el más pequeño que se pueden construir sin usar exponenciales ni otras funciones algebraicas? En este caso, no es necesario usar un dado aunque didácticamente se puede plantear a cualquier persona esta cuestión al hilo del uso de los dados. Es claro que el mayor número que podemos construir con las cifras del 1 al 6 ha de comenzar por el 6 y el menor número con esas cifras ha de comenzar por el 1. Además, la segunda cifra del mayor número ha de ser la mayor cifra que nos queda de las cifras del 1 al 5 (el 6 ya lo hemos cogido) por lo que esta segunda cifra ha de ser el 5. Con un razonamiento parecido, la segunda cifra del número menor ha de ser el 2 y, extrapolando estos razonamientos, obtenemos que el número mayor es el 654321 y el menor el 123456, cuya diferencia es 654321 – 123456 = 530865.

   -Un último ejemplo con dados sería el que sigue: tenemos 6 dados en fila como el dado 1 con las caras superiores ordenadas del 1 al 6 y, supongamos que sumamos todos los valores de las caras visibles, es decir, todos salvo la que es opuesta a la superior, entonces obtendremos números consecutivos del 15 al 20 siendo par o impar según sea par o impar el número de la cara superior, esto es:

1+2+3+4+5 = 15 (eliminando el opuesto al 1 que es el 6)

2+3+4+1+6 = 16 (eliminando el opuesto al 2 que es el 5)

3+1+2+5+6 = 17 .....

4+2+1+5+6 = 18

5+1+3+4+6 = 19

6+2+3+4+5 = 20

El mismo planteamiento para el dado 2 obtiene los mismos números del 15 al 20 pero desordenados (se comprueba fácilmente que las sumas respectivas salen 16, 17, 15, 19, 20, 18).

   Dejo en el tintero infinidad de juegos con dados que involucran sumar, restar, fracciones, descomposición numérica, etc. Jugar con los dados aporta una enseñanza divertida y amena, a la vez que profundiza en conceptos abstractos y acerca las matemáticas básicas a los menores y al púbico en general.

Uso y Abuso del Lenguaje: Paradoja de Berry

   Ya van varias entradas sobre paradojas lógico-matemáticas y mi interés radica en que la vida en sí y, por tanto, la forma más habitual de comunicación, el lenguaje hablado o escrito, contiene graves inexactitudes que derivan en esas contradicciones que chocan a simple vista. La clave está en ser críticos y fijarnos en lo que subyace en cada paradoja: un intento de engaño abusando del lenguaje formal, entendiendo éste como el lenguaje formal llamado `de primer nivel o  nivel 1´, como se puede apreciar en la entrada inmediatamente anterior a ésta que escribo. Todas las paradojas o, la inmensa mayoría, se reducen a la paradoja madre, la paradoja de Russell, ya comentada en otras entradas. Dicha contradicción formal no tiene sentido en el lenguaje usado habitualmente para comunicarnos pero sí es resoluble en una lógica formal de orden superior.
   Por poner un ejemplo sencillo, la frase de nuestro lenguaje (o cualquier otro de traducción) "¿qué hay al norte del Polo Norte?" no tiene sentido (ni siquiera es una contradicción) ya que el punto más al norte que existe es el Polo Norte pero nuestro lenguaje nos permite construirla con exactitud semántica, sintáctica y gramática. Lo mismo sucede si nos referimos al Polo Sur, no así este u oeste. Los lenguajes de orden superior solventan este grave inconveniente poniendo reglas para, obviamente, impedir ese tipo de construcciones. Cualquier lenguaje de programación es un lenguaje de orden superior porque un algoritmo no permite construir sentencias como la anterior sin provocer un error que se deba depurar. Y la forma en la que un algoritmo depura una entrada es eliminándola.
   La paradoja de Berry que trato aquí, abusa del lenguaje en el sentido explicado más arriba. Su enunciado coloquial es: la siguiente frase es una contradicción en sí misma, "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras". Evidentemente, implícitamente está la idea de encontrar ese número de forma explícita. Así, quedarían excluidos los números enteros específicos de la forma "dos decenas", "mil millones de millones", "dos elevado a ciento veintitres", etc. Una cosa es clara: el conjunto de esos números enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es un conjunto finito, lo cual es un hecho muy significativo e importante puesto que no hablamos así de cardinalidad. Así pues, este conjunto finito no puede contener a todos los enteros positivos por lo que existe algún entero positivo que es el menor de los enteros que no está contenido en ese conjunto. ¿Cuál es explícitamente? Imposible saber cuál es. La razón es que la frase "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras" ya está definiendo a ese número pero esa frase solo tiene 14 palabras. Choque de trenes.
   Este tipo de frases encarnan las llamadas falacias 'Vicious Circle' (del círculo vicioso) y son frases que se refieren a ellas mismas y se resuelven como indiqué más arriba, evitando construirlas.
Formalmente, la paradoja de Berry es de la siguiente forma:

1) Sea A el conjunto de todas las palabras del idioma español (se puede extrapolar a cualquier otro idioma formado por palabras).

2) Sea X el conjunto de todas las posibles frases de A.
3) Definimos Y - |Y| = |X| donde, para todo y de Y, como número natural, entonces y < |X|, siendo |.| el número de elementos del conjunto. Así, Y es un conjunto de números enteros positivos.
4) Sea f : X <--> Y una aplicación biyectiva entre frases de X y números enteros positivos de Y.

La idea está en construir explícitamente esa función f, pero la paradoja afirma que existe un elemento de X tal que su imagen por f, es decir, f(x) no está en el conjunto Y, lo cual se contradice con el hecho de que f es una biyección (todo elemento del conjunto final es imagen de algún elemento del conjunto inicial y la imagen de todo el conjunto inicial es todo el conjunto final, es decir, es una aplicación uno-a-uno sin dejar elementos sin de ambos conjuntos sin relacionarse).
   No voy a entrar en cuestiones más serias de explicaciones puras porque entran en juego ciertos conceptos que, entiendo, aburren y esa no es la idea de este blog ni de esta entrada (comlpejidad de Kolmogorov, isomorfismo computable,...). Simplemente he querido mostrar, una vez más, que nuestro lenguaje (el formal de tipo 1, no me refiero al idioma) es susceptible de ciertas sutilezas que permiten construir frases como la paradoja de Berry u otras analogías que merecen la pena ser explicadas para no caer en esos círculos viciosos del uso y el abuso de la comunicación.