En esta entrada y en la posterior, quiero fijar la atención en algunos números que considero excepcionales por su rareza e importancia y explicaré, muy brevemente, algunas de las razones (siempre objetivas aunque con un toque subjetivo) que me llevan a nombrarlos. He seleccionado 20, 10 para cada entrada para no hacer una sola muy extensa. Hay más números raros y excepcionales, obviamente, pero esta es mi elección. Todos salvo uno, que ni siquiera considero que sea un número porque no lo es, son finitos y construibles, aunque algunos con un grado de dificultad extremo, debido (algunos de ellos) al innombrable no-número. Solamente hablaré de números en la base habitual, la decimal, por ser la más extendida y sencilla de comprender, aunque también los hay raros y excepcionales en otros sistemas de numeración. Trataré de escribir las menos fórmulas posibles.
0: Toda la humanidad sabe qué es el número cero y lo que representa pero muy pocas personas han observado que es un número tan extremadamente importante como raro, por el hecho principal de que es un número pero no una cifra (el único número que cumple este extremo) y que, dependiendo el lugar que ocupe en otros números, cambia absolutamente el valor de dicho número, y todo ello a pesar de no tener valor. Como definición sencilla, se podría decir que se caracteriza por siempre ser representado como cualquier número más su opuesto (aditivo, x + (- x) = 0). Apareció por primera vez en el siglo III AC y tuvo un nacimiento convulso aunque con anterioridad, los Mayas ya lo conocían y lo usaban de una forma curiosa como describo en el enlace Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya. Cualquier número real dividido entre cero nos da lo que tan poco me gusta: el no-número, infinito.
Infinito (el innombrable no-número): De entrada, hay que resaltar que infinito no es un número al uso, es un ente matemático que no existe, es inventado, creado para representar algo a lo que no se puede llegar, algo inaccesible, algo intangible. Se define formalmente como lo que no es finito, una definición negativa que niega un concepto puro como es lo finito, por lo que el concepto de infinito ni siquiera se puede definir con rigor (no así, por ejemplo, la definición de conjunto conexo, que sí es una definición rigurosa pese a ser una definición negativa: se dice que un conjunto es conexo si no existen dos subconjuntos suyos no vacíos tales que...). En la naturaleza y en el universo no existe tal y como se define, no es posible su existencia. Ni siquiera en la pregunta ¿es el universo infinito? El ser humano nunca podrá responder a semejante dilema porque debería suceder que el hombre exista una infinitud de tiempo. La existencia matemática del infinito es debida al hereje e infame Axioma de Elección en la axiomática ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). Traté este punto en la entrada Un Poco de Infinito
Pi: En mi opinión personal, es el número más importante de la ciencia y tiene unas propiedades muy curiosas y excepcionales, tal y como expliqué en la primera entrada de este blog, Si Dios Existe Se Llama Pi, que recomiendo revisar, por tanto, no añadiré más aquí. Cabe destacar que es la constante con mayor importancia de la geometría. Existe una relación muy íntima entre el número π y el siguiente de esta lista, el número e.
e: es la constante de mayor importancia del cálculo y el análisis matemático. Se relaciona íntimamente con el número π mediante la fórmula $$\pi^{4} + \pi^{5} \approx e^{6}$$ con un error < 0.000005%. Es un número relativamente reciente que data del siglo XVII, a pesar de su enorme importancia. Considero que es un número raro porque no destaca con respecto a otros números fuera del cálculo diferencial o la probabilidad, ramas de la ciencia que desconocían los clásicos o los científicos hasta hace 4 siglos. Como características más importantes destacan que es un número irracional, es decir, no es el cociente de dos números enteros (probado a mediados del siglo XVIII) y que es un número trascendente, es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, al igual que el número π. La gran importancia de este último resultado, probado recientemente (finales del siglo XIX) radica en que el número e fue el primer número que se demostró su trascendencia sin haberlo construido especialmente para dicha demostración, lo cual le confiere una gran rareza, a mi modo de ver. Se puede representar de muchas formas pero siempre involucrando límites infinitos o series infinitas, por desgracia.
Existen algunas cuestiones sin solución, hasta ahora, que involucran al número π y al número e como el hecho de no saber si e^e (e elevado a él mismo) es o no trascendente, π + e ó π x e son números racionales.
i Unidad imaginaria: representa la raíz cuadrada de -1 y es el número que da pie a los números Complejos como una extensión de los números Reales (la raíz cuadrada de los números negativos no existe en los números reales). Creo que es realmente raro precisamente por la frase anterior: la construcción de la raíz cuadrada de un número real es un proceso engorroso pero de máxima fuerza, es decir, todos y cada uno de los pasos seguidos se realizan con simples sumas, restas y multiplicaciones de números reales pero que, cuando se tratan con números reales negativos, ofrecen... contradicciones que hacen que esa construcción de la raíz cuadrada de un número negativo no de ningún resultado satisfactorio, es decir, que no se obtenga ningún número real ya que produce un error. Es la constante más importante del análisis complejo y del álgebra. Añadiendo i al cuerpo de los números Reales se obtiene el cuerpo de los números complejos que es el cuerpo algebráicamente cerrado más pequño (algebráicamente cerrado significa que los polinomios con coeficientes en ese cuerpo tienen todas sus raíces en ese cuerpo). Se destaparon sus virtudes y desarrollo a partir del siglo XVI. Tiene una gran importancia en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en electrónica y en mecánica cuántica. Los físicos siempre andan a la gresca con los matemáticos y la constante i está involucrada en estas riñas: ellos prefieren referirse a la unidad imaginaria compleja con la letra j, ya que la letra i la utilizan para la intensidad de corriente. Cosas de los físicos.
Las constantes anteriores están relacionadas por la fórmula más importante y bella de las matemáticas: la fórmula de Euler $$e^{i\pi} +1 = 0 \,\,\,\, \textrm{donde} \,\,\, i=\sqrt[]{-1}$$
142857: este sencillo número natural es muy curioso y lo considero excepcional por las siguientes características:
142857 x 3 = 428571, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 puesto al final
142857 x 2 = 285714, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 y el 4 al final
142857 x 6 = 857142, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con 1, 4, 2 al final
142857 x 4 = 571428, idem pero con 1, 4, 2, 8 puestos al final
142857 x 5 = 714285, idem pero con 1, 4, 2, 8 y 5 puestos al final
Pero aún hay más:
142857 x 7 = 999999, y 142857 x 8 = 1142856 donde el 7 del final se ha transformado en 1 + 6 y el 1 se ha puesto al inicio y el 6 al final.
Solo se libra de estas curiosidades el producto 142857 x 9, para acabar con las multiplicaciones por los números de menos de 2 cifras, cuyo resultado es 1285713, que nada tiene que ver con los productos anteriores.
Y si nos fijamos en el 7, resulta que su inverso multiplicativo, 1 / 7 = 0,1428571428... posee el número 142857 en sus primeras cifras decimales
Constante de Conway: es un número que relaciona los números con el lenguaje humano. Es la constante de la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión conocida como "desintegración audioactiva" en la que cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Que este mecanismo tan curioso y excepcional desemboque en una constante indica su extremada rareza. Dicha constante es 1,303577269, independientemente del término inicial de la sucesión salvo el 22. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:
Por ejemplo, si x0 = 1 (se lee, 'un uno'), los siguientes términos serán
x1 = 11 (dos unos -> 21)
x2 = 21 (un dos y un uno -> 1211)
x3 = 1211 (un uno, un dos y dos unos -> 111221)
x4 = 111221 (tres unos, dos doses, un uno -> 312211)
y sucesivamente
Con x0 = 22 no funciona porque se lee 'dos doses', por lo que x1 = 22 y se repite el proceso invariablemente con los mismos números.
Esta sucesión es divergente y la diferencia entre cada dos posiciones, sean las que sean, converge al número mencionado anteriormente (salvo que el término inicial sea el 22, como ya he comentado). Como curiosidad (¡¡por si no fuera bastante curioso lo anterior!!), la constante de Conway es la única solución real positiva de una ecuación de grado 71, que no escribiré por ser larga y poco agraciada. Para rizar el rizo, el método de construcción de la sucesión anterior está íntimamente ligado a la tabla periódica de los elementos químicos tomando como base el hidrógeno, al que se le asigna la sucesión constante anterior que comienza con x0 = 22. Por todo lo expuesto, la rareza de la constante de Conway es absolutamente extrema.
Gugol: es el número 10^100, 10 elevado a la potencia 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. También tiene nombre el número 10^gugol, 10 elevado un Gugol, llamado Gugolplex, es decir, un 1 seguido de un Gugol de ceros. Esos números nacieron de la mente de un niño. El Gugol no tiene importancia matemática más allá de ilustrar un número excepcionalmente grande (ni el número de átomos de hidrógeno en el universo llega a esa cifra) y el concepto de infinitud (expuesto anteriormente). Sin el uso de ordenadores, es un número que no se puede manejar pero tiene nombre propio y eso le confiere una bella rareza y excepcionalidad. El nombre de la empresa Google está basado en el Gugol y viene a representar la monstruosa cantidad de información a la que se puede acceder desde su buscador, en comparación con la enormidad que representa el número 10^100.
125,5 GeV (masa del bosón de Higgs): Es el único número de esta serie que posee unidades (Giga electrón-Voltios) y la existencia del bosón de Higgs se teorizó hace más de 4 décadas y, actualmente en el CERN, se ha podido demostrar que existe realmente pero su masa no ha sido fácil de cifrar. De hecho, el valor 125,5 es el valor medio de un intervalo en el que se sabe que se encuentra con una fiabilidad del 95%, es decir, con un error del 5%. Su excepcionalidad recae en el hecho de no ser directamente construible (la masa del bosón) ya que se fue acotando poco a poco y descartando otros valores, todo ello con gran complejidad debido al hecho de que el bosón de Higgs es tremendamente esquivo y de una vida media exageradamente corta (del orden de 10^(-22) segundos). Existe amplísima información en internet sobre este ente tan importante para la ciencia, por lo que no explicaré aquí más cosas sobre él.
73: Este número es mi año de nacimiento pero, aparte de esta anécdota, tiene unas propiedades curiosas y raras, por lo que lo incluyo en esta lista, como por ejemplo que es el primo número 21, que es el resultado de 7x3, y 73 leído al reves, 37, es el primo número 12 (que es 21 al revés). En el sistema binario 73 es 1001001 capicúo, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, y en el sistema de base 8, 73 es 111, también capicúo. Además, en código morse es --... ...--, capicúo, que se utilizaba para sustituir la forma coloquial 'atentamente' al final de los telegramas. Además, 37+12=49=7^2 y 7^3=343 capicúo.
