Los matemáticos, ingenieros, físicos y los técnicos en general, siempre estamos hablando de ecuaciones, lo cual implica hablar de igualdades y, en menor medida, de desigualdades (en este caso se habla de inecuaciones) pero cabe preguntarse cuál es el origen de estas similitudes entre proposiciones, es decir, qué es una igualdad y para ello hemos de preguntarle a la lógica proposicional, que es la base de todo avance científico y la base del lenguaje matemático.
Con rigor, una igualdad " = " es una relación binaria que verifica las tres condiciones para ser una relación binaria de equivalencia, RBE, que son:
1) Reflexiva: para cualquier elemento x de un conjunto, se cumple x = x.
2) Simétrica: para todo par de elementos x e y de un conjunto (simbólicamente representado por ∀x∀y), se cumple x = y -> y = x que se lee "si x es igual a y entonces y es igual a x".
3) Transitiva: para cualesquiera 3 elementos de un conjunto, x, y, z, se cumple (x = y -> (x = z -> y = z)) que se lee "si x es igual a y entonces se cumple, si x es igual a z entonces y es igual a z".
Esta RBE cumple 2 axiomas importantes:
1) Para cualquier elemento x, se cumple x = x.
2) Axioma de sustitutividad de los idénticos (enunciado por Leibniz): ∀x∀y [x = y -> P(x, x1, x2, ..., xn ) <-> P(y, x1, x2, ..., xn )] siendo P un predicado o proposición cualquiera o, dicho de otra manera, lo que se denomina la "identidad de los indiscernibles", esto es, ∀P[(P(x) <-> P(y)) -> x = y]. Esto significa que dos objetos que no pueden ser eliminados por ninguna propiedad deben considerarse idénticos.
La igualdad puede considerarse como una doble implicación ( <=> ) siendo la implicación un conector proposicional de forma que, ∀P∀Q, siendo P y Q dos proposiciones, P -> Q se lee "P implica Q" ó "si P entonces Q". La definición rigurosa de la implicación viene dada por su Tabla de Verdad:
Si P verdadero y Q verdadero, entonces P -> Q verdadero
Si P falso y Q verdadero, entonces P -> Q verdadero
Si P verdadero y Q falso, entonces P -> Q falso
Si P falso y Q falso, entonces P -> Q verdadero
Esta tabla da pie a las paradojas, de las cuales he hablado ya largo y tendido en este blog en diferentes entradas, ya que éstas cumplen que una fórmula falsa implica toda fórmula y que una fórmula verdadera es implicada por toda fórmula.
El caso de las paradojas es el que se obtiene de la llamada implicación material. Simplemente comentar en estos renglones finales que también existe la implicación estricta y la implicación formal que quedan a la curiosidad del lector.
Hasta aquí unas breves reseñas sobre la esencia de la matemática en sí y de toda construcción lógica que pretenda satisfacer las cuestiones técnicas y avanzar en la ciencia. La igualdad en una ecuación es pura lógica.
