Cuando uno era un niño y cursaba la excelencia de la EGB, hace ya algún tiempo, se aprendía a pensar, a hablar, a escribir, a leer... correctamente. Nótese que, con sutileza, la frase anterior afirma que hoy en día no sucede así. Uno de esos conceptos que se explicaban, uno de tantos, que llamaba la atención era lo que traigo a esta entrada, la prueba del Nueve.
Ésta es una técnica sencilla que permite comprobar si existe algún error al sumar, restar, multiplicar o dividir pero con una salvedad importante: no es una técnica exacta, es decir, no es infalible. Así, ¿qué grado de exactitud (error) tiene? Al tratar con el número nueve como "tope", como ahora explicaré, el error cometido es del orden de 1 / 9, esto es, el 11% de las veces que se usa, falla. Sucede lo mismo con otro tipo de técnicas análogas como la prueba del Siete, la prueba del Seis, etc... en cuyos casos los errores vienen dados por las relaciones 1 /7 = 0.14 = 14%, 1 / 6 = 0.16 = 16%, etc..., y sucesivamente, teniendo en cuenta que el menor error cometido es en el uso de 9, siendo éste, como mostré con anterioridad, del orden del 11%. ¿Cuándo se debe aplicar la prueba del Nueve? Es claro que para operaciones con números pequeños no merece el esfuerzo pero para números muy grandes nos aproxima a lo que se busca. Con `números grandes´ me refiero a, por ejemplo, la siguiente situación: En una ciudad hay varios edificios de varias plantas con varias casas que tienen todas las habitaciones llenas de estanterías llenas de libros llenos de cifras. Todas estas cifras constituyen un único número. Ahora imaginemos otra ciudad con varios edificios con varias plantas con varias casas y todas ellas con varias habitaciones llenas de estanterías que están llenas de libros que están llenos de cifras. Y todas estas cifras forman un único número. ¿Cuál sería el resultado de multiplicarlos o sumarlos o restarlos o dividirlos? y, en caso de que se pudiera afrontar con éxito tamaña empresa sin el uso de computadoras, ¿nos habríamos equivocado? Parece obvio que en esta situación el uso de alguna técnica nos podría ayudar a saber si se ha cometido algún error.
Este método es una aplicación de la definición de "congruencia" módulo un entero, esto es, para dos números enteros cualesquiera a y b, se dice que "a es congruente módulo n (número natural) con b, y se escribe a ≡ b (mod n) cuando tienen el mismo resto al dividirlos entre n, es decir, b - a es múltiplo de n.
La prueba del Nueve afirma que si a es un número entero cualquiera y S(a) representa la suma de sus cifras, entonces a ≡ S(a) (mod 9), es decir, a y S(a) tienen el mismo resto al dividir por 9. Insisto en que esta prueba se puede realizar con cualquier entero entre 1 y 9 pero teniendo en cuenta que el 9 es el que ofrece menor error, como se comentó más arriba. Aclarar que la suma de las cifras de un número se obtiene como en los ejemplos: a = 531, S(a) = 5 + 3 + 1 = 9 ó a = 6945, S(a) = 6 + 9 + 4 + 5 = 24 = 2 + 4 = 6.
Supongamos una suma de tres números enteros a, b y c, de la forma a + b = c. Si denominamos r(a), r(b) y r(c) los restos respectivos de las divisiones de S(a), S(b) y S(c) entre 9, entonces debe verificarse que r(c) = r(r(a) + r(b)). Para una resta del tipo a - b = c se ha de verificar r(a) = r(r(c) + r(b)). Para una multiplicación del tipo ab = c, se ha de cumplir que r(c) = r(r(a) x r(b)) y para una división del tipo a = bq + d se ha de cumplir que r(a) = r(r(b) x r(q) + r(d)).
Algunos ejemplos podrían ser:
a x b = c; 18 x 12 =216; r(a) = 0; r(b) = 3; r(c) = 0
¿r(216) = r(r(18) x r(12))? 0 = r(0 x 3) = 0 SÍ
a = b x q + d: 182 = 12 x 15 + 2; r(a) = 2; r(b) = 3; r(q) = 6; r(2) = 2
¿r(182) = r(r(12) x r(15) +r(2)?, ¿2 = r(3 x 6 + 2)? 2 = 2 SÍ
¿Cuándo falla la prueba? cuando se involucran las cifras 0 ó 9 como en los números 9, 99, 999, ... o bien 90, 900, ... y en otros casos como explico aquí abajo.
Un ejemplo de error podría ser la multiplicación 17 x 13 = 221 pero la prueba también da como buenos los resultados 230, 239, 248. Veámoslo para el 230:
Si 17 x 13 = 230 (sabemos que no es así, la multiplicación correcta arroja 221):
r(a) = 8; r(b) = 4; r(c) = 5
¿r(230) = r(r(17) x r(13))? 5 = r(8 x 4) = r(32) = 5 SÍ
Para el resultado correcto c = 221: r(c) = 5
¿r(221) = r(r(17) x r(13))? 5 = 5 SÍ
Se puede comprobar fácilmente para los restantes casos con unos sencillos cálculos y practicar con los números que contienen el 9 y el 0.
Se ha puesto de manifiesto en esta entrada que existe un método, no infalible aunque sí aproximable, para discernir, en cierto grado (teniendo en cuenta el error que se puede cometer), si una operación aritmética se ha llevado a cabo con éxito, sobre todo para las operaciones con números grandes. Lo curioso es que, en aquellos tiempos maravillosos del colegio, el profesor no decía que la prueba fallaba el 11% de las veces pero, éramos felices en aquella inocente ignorancia.
