Se conoce como "Problema de los Tres Cuerpos" a la descripción del movimiento de tres puntos materiales de modo que dos cualesquiera de ellos se atraen con una fuerza que involucra la constante gravitatoria de Newton G = 6.67 x 10-11. Tratar este problema sin el uso de la formulación adecuada muestra una complejidad que no suponía hasta que he comenzado a esbozar estas líneas. Ya he comentado en multitud de ocasiones en este blog que su intención no es tener el rigor inherente a las expresiones matemáticas sino el rigor explicativo lo más general posible para que su comprensión por cualquier lector sea la adecuada, eso sí, teniendo unas nociones básicas imprescindibles sobre matemática y física. Aún con esta problemática intentaré explicar este interesante Problema de los Tres Cuerpos de la forma más sencilla posible.
Las claves del Problema de los Tres Cuerpos son: cómo es el centro de masas del sistema, definir las 6 integrales del centro de gravedad o del momento lineal (llamadas integrales primeras), las integrales de las áreas o del momento angular y la integral de las fuerzas vivas o de la energía. Por tanto, se tienen 10 integrales por lo que el problema tiene orden 8.
Evidentemente, la formulación de los conceptos anteriores requiere profundos conocimientos matemáticos y de cálculo que obviamente estoy omitiendo por lo explicado en el párrafo anterior.
El sistema inercial se mueve a través del tiempo pero esta variable se puede eliminar sin pérdida de generalidad y, con otros mecanismos complejos, se puede reducir el orden hasta un valor de 4. Aún así, el problema es extremadamente complicado pero se puede hacer una hipótesis que vuelve la cuestión más asequible que consiste en suponer que una de las masas es tan pequeña que no ejerce influencia sobre el movimiento de las otras dos masas pero estando atraída por esos movimientos de manera usual. Así, los movimientos de estas dos masas son los del Problema de los Dos Cuerpos, que se consideran conocidos en su totalidad. Este es el llamado Problema de los Tres Cuerpos Restringido.
Supongamos pues dos cuerpos con sus masas que se mueven alrededor de su centro de masas en órbitas circulares bajo la influencia de su atracción gravitaroria y consideremos un tercer cuerpo que se mueve en el plano de los anteriores de forma tal que, estando sujeto a las atracciones de las leyes gravitarorias de los otros dos cuerpos, no perturba el libre movimiento de tales cuerpos. La descripción del movimiento de este tercer cuerpo es el que da nombre a esta entrada. Los dos primeros cuerpos se denominan "primarios" y el tercer cuerpo "infinitesimal". Es evidente que se trata de un planteamiento teórico puesto que este tercer cuerpo, en la realidad física, siempre ejerce una acción gravitatoria sobre los dos cuerpos primarios, sin embargo, cuando la masa del cuerpo infinitesimal es muy pequeña en comparación con las masas de los cuerpos primarios, la aproximación a dicha realidad física es muy elevada. Como claro ejemplo de ello, tómense como cuerpos primarios unos planetas y como cuerpo infinitesimal algún satélite de alguno de ellos.
La simplificación del Problema de los Tres Cuerpos al Problema de los Dos Cuerpos no es en vano puesto que está motivado por problemas reales de nuestro sistema solar, de lo cual se dio cuenta en primera instancia Leonard Euler: el (casi) movimiento circular de los planetas alrededor del Sol y sus pequeñas masas. Se puede considerar el mejor ejemplo al respecto, el sistema Sol-Tierra-Luna:
La relación aproximada de sus masas es mSol / 300000 = mTierra / 1 = mLuna / 0.01 y las distancias relativas cumplen, aproximadamente, dST / dTL = 390; dST = dSL. El efecto gravitarorio de la luna sobre la Tierra es 0.005 veces el del Sol. Teniendo en cuenta que la excentricidad de la órbita terrestre es 0.017 (su órbita es "muy" redonda"), lo que da pie a afirmar que el Problema Restringido resuelve el movimiento de la luna respecto de los cuerpos primarios Tierra y Sol. Notar que también existe el Problema de los Tres Cuerpos Restringido Elíptico para órbitas no tan "redondas", es decir, para órbitas con forma de elipse pero su formulación es parecida a la de las órbitas con excentricidades pequeñas.
El Problema de los Tres Cuerpos Restringido también puede ser aplicado a un satélite artificial sobre los cuerpos primarios Tierra y Luna. Asímismo, Júpiter se mueve alrededor del Sol con una excentricidad mucho más pequeña que la de la Tierra (por lo que su órbita es mucho más "redonda"), y si se considera el sistema de cuerpos primarios Júpiter-Sol, se puede conocer el movimiento de cualquiera de sus satélites principales (Ío, Europa, Ganímedes o Calisto) o cualquier otro satélite natural u objeto interestelar que lo circunde, como se verá más abajo.
Parece ahora sencillo plantear la formulación matemática del más sencillo de todos los problemas orbitales gravitacionales que se puedan presentar: pues no, incluso en este caso en el que tan solo se involucran dos cuerpos. Ecuaciones diferenciales, integrales y otras consideraciones abundan por doquier en el sencillo Problema de los Tres Cuerpos Restringido, cuestiones que escapan a este blog y que requieren conocimientos avanzados de matemática. Exhorto al lector interesado a que investigue ya que es interesante. Incluso en el caso de dos cuerpos existe una complejidad añadida en la que tampoco voy a entrar por su complejidad pero que recibe el nombre de "regularización".
Una cuestión importante, como anuncié con anterioridad, tiene que ver con la descripción anterior de la singularidad de Júpiter y su gran masa (318 veces la de la Tierra): ¿qué sucede cuando un cometa pasa cerca del gran planeta? Aquí se puede aplicar el Problema de los Tres Cuerpos Restringido tratando al cometa como el cuerpo infinitesimal y como cuerpos primarios Júpiter y el Sol y poder así identificar un cometa comparando sus elementos orbitales en apariciones diferentes: a este método se le denomina "criterio de Tisserand" que es clave para el estudio de estos objetos interestelares tan especiales.
Hasta aquí una pequeña aproximación a un problema complejo en su formulación y fascinante en sus resultados, tal es así que el Problema de los Tres Cuerpos es un caso particular del Problema de los n Cuerpos, que no tiene solución y aquel, el de los Tres Cuerpos, tan solo es soluble en casos particulares siendo el Restringido o de los Dos Cuerpos el resoluble para cualquier par de cuerpos.
