Se suele identificar al cielo como un ente tangible al referirnos a él como "qué bonito está hoy el cielo", "cielo despejado", "las nubes están flotando en el cielo", etc. A la vez, el cielo es un ente inmaterial y difuso ya que no se sabe dónde comienza el cielo, cuánto espacio ocupa o qué es. Esto podría ser lo más parecido a identificar alguna forma de infinito en una acepción muy general. Mi opinión sobre el infinito es su no-existencia en cuanto a que no tiene un valor lógico en el universo en el que nos encontramos pero, aparte de mi vana opinión, el concepto de infinito matemático es muy interesante porque escapa a la comprensión verdadera de su significado y su concepto como sustantivo es muy difícil de entender. Cabe resaltar que la definición de infinito es todo aquello que no es finito, es decir, se basa en la definición rigurosa de otro sustantivo, en este caso, el concepto de finito. Ya he tratado este tema en otras entradas como Números Excepcionales I ,ó Un Poco de Infinito ó El Número de Graham . Mi Querido Jorge Luis Borges, a quien le gustaban mucho las matemáticas, lo describió como sólo él hubiera podido hacerlo. También se pueden encontrar en este blog algunas entradas sobre uno de mis escritores favoritos.
Aquí surge entonces el infinito como un número que es un no-número, es decir, es un número que no se puede expresar como una sucesión de cifras que termina en una cifra, de ahí que para designar un número como de infinitos factores se le asigne al final de la última cifra los puntos suspensivos "...". Pero, el infinito, ¿es único?, si hay varios, ¿son todos igual de "grandes"? Si hay varios, ¿cómo se ordenan?
La matemática está preparada para dar respuestas a todas esas preguntas. Así surge el primer infinito, el más "pequeño", llamado Aleph, más concretamente, "Aleph sub 0 ", que, simbólicamente, se denomina que es el cardinal del conjunto de los números naturales.
Es claro que en toda la historia de las matemáticas el concepto de infinito ha sido motivo de conflicto ya que se acepta que el número de puntos de un segmento es infinito al igual que la cantidad de números naturales pero que no son comparables los unos con los otros precisamente por la distinción entre esos infinitos. Al igual que se sabía que los números naturales forman un subconjunto de los números reales y, claramente, los dos conjuntos tienen infinitos elementos... George Cantor, en 1895, sentó las bases de una teoría rigurosa sobre estos números locos que traían de cabeza a los matemáticos. Así surge el concepto de cardinal, que es, a grosso modo, la cantidad de elementos de un conjunto, por lo que el cardinal de los números naturales es menor que el cardinal de los números reales o el cardinal de los elementos de un segmento.
Según Cantor, dos conjuntos A y B están relacionados únicamente si existe entre ellos una aplicación biyectiva (para conjuntos finitos, dos conjuntos están relacionados cuando tienen el mismo número de elementos). Esto significa que matemáticamente A y B son iguales, se relacionan a través de una relación binaria de equivalencia, RBE.
Así, es el primer número infinito que se corresponde con el cardinal de los números naturales, que posee unas propiedades muy curiosas ya que, cualquier operación básica con , se queda en :
n + =
n x =
+ =
x = , para cualquier n.
Para poder pasar al siguiente Aleph, , es necesario realizar la potencia: ^ =
Este nuevo Aleph es el cardinal de los números reales. De forma análoga, este Aleph tiene las mismas propiedades que su antecesor y para pasar al siguiente Aleph es necesaria la potenciación: ^ = Este nuevo Aleph es el cardinal de todas las funciones reales de variable real (probar esto requiere aceptar la Hipótesis del Continuo, lo cual se escapa de las pretensiones de esta entrada y de este blog, como ya he comentado en otras situaciones similares).
Es claro que, siguiendo el procedimiento anterior, se puede formar la sucesión de Alephs , , , ... , ... ¿Hasta dónde nos lleva esta sucesión de números infinitos? Evidentemente, hasta otros infinitos, como demostró Cantor: para cualquier sucesión de Alephs, siempre existe un número natural m de tal manera que , es el Aleph superior a cualquiera de la sucesión dada.
Hasta aquí un acercamiento al Aleph y sus curiosas propiedades, sin entrar en la Hipótesis del Continuo ni en conceptos muy abstractos y complicados que, por mi formación, pude disfrutar y exhorto al lector a ahondar en estas lecturas por lo sorprendentes y profundas sobre las matemáticas del más allá porque al final de lo tangible está el Aleph pero a partir de él se abre un nuevo mundo de números que no son números.
