La
paradoja de Banach-Tarski se enuncia así:
Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de
radio 1 y maciza, es posible dividirla en 8 partes tales que, aplicando
movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro,
podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:
De hecho, el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar
que con 4 es imposible.
Al leer esto, se puede pensar que nos están engañando, que en la
demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento
matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible.
Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente
rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo
de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si
atendemos a nuestra intuición.
Por un lado, si asumimos cierto el resultado, podemos pensar en realizarlo,
es decir, tomar una esfera material de
radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para, a partir de ellas,
formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza: no se puede
hacer en el mundo real ya que una de las piezas está formada sólo por un punto
y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.
Por otro lado, podríamos decir: es imposible porque el volumen final es el doble
del inicial, es decir, que si las esferas fueran materiales, nos estaríamos
saltando el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el
resultado no se puede comprobar en la realidad pero, de todas formas, el tema
del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que
los movimientos rígidos deben conservarlo. Para darse cuenta de que tal
problema no existe tenemos que recurrir a la llamada ‘teoría de la medida’. Esta
teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en nuestro
caso el volumen. La cuestión entonces es que las partes en las que dividimos la
esfera son conjuntos no-medibles (hay algunos, por ejemplo, los llamados conjuntos
de Vitali). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir, que no es
lo mismo. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos
apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente
es complicado entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia
de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando mi admirado (ironía)
‘axioma de elección’. El uso de este axioma imposibilita describir explícitamente
lo que se está analizando, de ahí su controversia…
La demostración del resultado que nos ocupa, está basada en las propiedades
de los giros del espacio y utiliza varias afirmaciones potentes, entre ellas una
de Hausdorff relativa a los giros y el axioma de elección. Es bastante
engorrosa para el lector poco iniciado e, incluso, para los que llevamos las
matemáticas en los genes y no merece la pena ponerla en esta entrada. Lo bueno
que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado
es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo, si no
que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera.
Otra conclusión a partir de este resultado es la siguiente: se puede tomar
una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito
de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas,
formar una esfera maciza del tamaño del Sol. Matemáticamente hablando, se puede.
