Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de
catetos 2 y 4. El área del cuadrado es lado x lado, 2x2 = 4, y la del triángulo es (base x altura)/2 = (2x4)/2
= 4, es decir, tienen áreas iguales.
Entonces nos podemos plantear la pregunta: ¿existe alguna forma de cortar el
triángulo en un número finito de piezas de tal forma que puedan reordenarse
para forma el cuadrado? La respuesta, en la que no entraré aquí para no
aburrir al lector, es sí.
A raíz de lo anterior, se deduce: ¿se podrá hacer siempre esto?, es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que un cierto “despiece” de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Y aquí viene el resultado que nos despeja la duda:
A raíz de lo anterior, se deduce: ¿se podrá hacer siempre esto?, es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que un cierto “despiece” de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Y aquí viene el resultado que nos despeja la duda:
Teorema de Bolyai-Gerwien
Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de
ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas
puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono. Es decir, la duda
anterior se resuelve positivamente. Vamos a probarlo (no es complicado hacerlo sin tecnicismos):
Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se pueden reordenar
para formar rectángulos. Estos rectángulos, a su vez, pueden colocarse para
formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que
formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.
Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de
ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono
(invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar
de uno de los polígonos al otro y listo.
Este teorema fue planteado por Bolyai sobre 1790, y demostrado por
Wallace en 1807. En 1835 Bolyai también encontró una prueba sin saber nada de
la de Wallace (la globalización de nuestro mundo llegó después...).
Lo visto anteriormente es para
dos dimensiones (en el plano) pero, ¿qué ocurre en tres dimensiones? Parece
natural preguntarse si en 3 dimensiones también se verifica, pero la respuesta
es no. En general, no se puede diseccionar un poliedro en poliedros más
pequeños tales que se puedan reordenar para conseguir cualquier otro poliedro. Tanto
es así, que éste fue el tercer problema de la lista de Hilbert del año 1900, el
cual fue resuelto por Max Dehn, un alumno del propio Hilbert, en el mismo año
1900. Algunos de esos problemas de la lista siguen sin resolverse hoy día.
¿Se puede pasar de un círculo a
otro polígono?, es decir, ¿se podría cortar un círculo en una cantidad finita de piezas
que pudieran ser reordenadas para formar un polígono, (por ejemplo, un cuadrado)
de la misma área que el círculo inicial?. La respuesta es no: ya sabemos que la
cuadratura del círculo es imposible con regla y compás, pero ¿y
si quitamos esa dura restricción?, esto es, ¿podría pasarse del círculo al
cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es sí, es
decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se
pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero
no podemos reproducirlo físicamente y no se puede por la misma razón que nos
impide reproducir físicamente lo que describo en la entrada (II) La Paradoja de Banach-Tasrki, porque las piezas en
las que hay que dividir el círculo son no medibles, tal y como comenté allí.
Interesante y fácil de entender, ¿verdad?
