martes, 18 de abril de 2017

(III) Otro Resultado Interesante



   Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de catetos 2 y 4. El área del cuadrado es lado x lado, 2x2 = 4, y la del triángulo es (base x altura)/2 = (2x4)/2  = 4, es decir, tienen áreas iguales. Entonces nos podemos plantear la pregunta: ¿existe alguna forma de cortar el triángulo en un número finito de piezas de tal forma que puedan reordenarse para forma el cuadrado? La respuesta, en la que no entraré aquí para no aburrir al lector, es sí.

A raíz de lo anterior, se deduce: ¿se podrá hacer siempre esto?, es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que un cierto “despiece” de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Y aquí viene el resultado que nos despeja la duda:

Teorema de Bolyai-Gerwien
   Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono. Es decir, la duda anterior se resuelve positivamente. Vamos a probarlo (no es complicado hacerlo sin tecnicismos):
Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se pueden reordenar para formar rectángulos. Estos rectángulos, a su vez, pueden colocarse para formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.
Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono (invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar de uno de los polígonos al otro y listo.
   Este teorema fue planteado por Bolyai sobre 1790, y demostrado por Wallace en 1807. En 1835 Bolyai también encontró una prueba sin saber nada de la de Wallace (la globalización de nuestro mundo llegó después...).
   Lo visto anteriormente es para dos dimensiones (en el plano) pero, ¿qué ocurre en tres dimensiones? Parece natural preguntarse si en 3 dimensiones también se verifica, pero la respuesta es no. En general, no se puede diseccionar un poliedro en poliedros más pequeños tales que se puedan reordenar para conseguir cualquier otro poliedro. Tanto es así, que éste fue el tercer problema de la lista de Hilbert del año 1900, el cual fue resuelto por Max Dehn, un alumno del propio Hilbert, en el mismo año 1900. Algunos de esos problemas de la lista siguen sin resolverse hoy día.
   ¿Se puede pasar de un círculo a otro polígono?, es decir, ¿se podría cortar un círculo en una cantidad finita de piezas que pudieran ser reordenadas para formar un polígono, (por ejemplo, un cuadrado) de la misma área que el círculo inicial?. La respuesta es no: ya sabemos que la cuadratura del círculo es imposible con regla y compás, pero ¿y si quitamos esa dura restricción?, esto es, ¿podría pasarse del círculo al cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es sí, es decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero no podemos reproducirlo físicamente y no se puede por la misma razón que nos impide reproducir físicamente lo que describo en la entrada (II) La Paradoja de Banach-Tasrki, porque las piezas en las que hay que dividir el círculo son no medibles, tal y como comenté allí.
Interesante y fácil de entender, ¿verdad?