(I) Paradojas

   Una paradoja es como un engaño del lenguaje, algo que no encaja entre la mente y la forma de relatar el razonamiento. La lógica y la intuición se ponen a prueba con estas "rarezas".

Hay tres categorías principales de Paradojas:
Las basadas ​​en razonamientos ocasionalmente inteligentes aunque falaces.
Las intuitivamente extrañas e increíbles, pero basadas en razonamientos lógicos puros.
Las que surgen en relación con las teorías de conjuntos y otras colecciones.

Dos falsas "paradojas"

-Un ejemplo de este tipo es la prueba que demuestra que 0 = 1, o alguna otra declaración sin sentido que implique igualdades entre objetos matemáticos distintos. Si la prueba es examinada de cerca, un intento de dividir por cero es siempre la causa de la "paradoja".

 -Otro ejemplo más geométrico es la prueba de que cada triángulo es isósceles (dos lados iguales y el otro desigual). La demostración supone que la línea que divide un ángulo del triángulo y la bisectriz perpendicular del lado opuesto se encontrará dentro del triángulo.

Algunas no-Paradojas (declaraciones contra-intuitivas)

-El ejemplo principal de una paradoja aparente, pero basada en la lógica, es debido a Banach y Tarski, que trato en la entrada de este enlace.

 -Algunas de las paradojas de Zenón, paradójicas desde su punto de vista, resultan ser declaraciones sobre la relación entre el infinito y nuestras intuiciones finitas. Por ejemplo, en la paradoja de la tortuga y la liebre, donde la tortuga tiene una ventaja en una carrera, sostiene que la liebre nunca puede atrapar a la tortuga, porque cada vez que la liebre corta la distancia entre ellos, la tortuga se ha movido, por lo tanto la liebre nunca puede alcanzar a la tortuga. Por supuesto, esta es la suma de la serie infinita   1/2 + 1/4 + 1/8 ... que converge a la unidad (= 1 cuando la suma es infinita) o, alternativamente, puede verse como un número infinito de pasos que pueden ser tomados en un tiempo finito.

Algunas paradojas 'genuinas'

-Probablemente el más conocido de todos los problemas con clases infinitas (o colecciones o agregados, ...) es el debido a Bertrand Russell.

La paradoja de Russell se basa en que es posible construir una Clase de todas las Clases. Claramente se puede dividir en dos subclases:
    A) Las clases que no sean miembros de ellas mismas.
    B) Las clases que sean miembros de ellas mismas.

Luego se pregunta en qué clase (A) debería ser asignada. Si se coloca en la clase (A), entonces (A) sería un miembro de sí mismo pero la clase (A) está específicamente reservada para las clases que no son miembros de sí mismos. Sin embargo, si colocamos la clase (A) en (B) encontramos que lo contrario es cierto: (A) no es un miembro de sí mismo pero la clase (B) está específicamente reservada para las clases que son miembros de sí mismas.

Así que tenemos el problema de que hay clases que no podemos decir si se contienen o no. Esta es una verdadera paradoja lógica. Una forma de evitarlo es especificar que solo trataremos con conjuntos, ya que estos tienen la propiedad de que nunca son miembros de sí mismos. Los no conjuntos (clases apropiadas) son de utilidad estrictamente limitada para otros fines que no sean descriptivos.

Por supuesto se podría argumentar que una clase adecuada es simplemente "demasiado grande" para ser tratada de una manera lógica o que el uso de la palabra "todos" en la frase "Clase de todas las clases" es defectuoso en el sentido de que es difícil atribuirle un significado definido: nos engaña.

-Otro uso de la palabra "todos" que ocurre en conexión con conjuntos infinitos, nos da la paradoja de Burali-Forti:

Un ordinal es un tipo especial de conjunto (rigurosamente, Un conjunto S es un ordinal si y solo si S está totalmente ordenado con respecto a la inclusión de conjuntos (es decir, la relación subconjunto) y todo elemento de S es también un subconjunto de S). Así que la clase de todos los ordinales, Ω, debe existir y será un ordinal mismo, obviamente el más grande de todos los ordinales. Sin embargo, como Ω es un ordinal, podemos formar el ordinal Ω + 1. Puesto que Ω + 1> Ω, debemos concluir que Ω no es la clase de todos los ordinales.
El problema principal surge porque estamos intentando tratar las clases apropiadas como conjuntos. Los conjuntos tienen la propiedad de que nunca son miembros de sí mismos. Esto excluye la consideración de una clase de "todos" los conjuntos con una propiedad particular.

-Me gusta relatar a mis alumnos la denominada "paradoja del examen sorpresa": el profesor dice un día a los alumnos, quela semana que viene tendrán un examen sorpresa y deberían estudiar. Sucede que, dicho examen no podrá ser el lunes porque entonces no sería una sorpresa y todos los alumnos estudiarían el fin de semana anterior. Por tanto, se elimina el lunes de la lista de los días posibles del examen sorpresa. Pero, una vez eliminado, el martes tampoco podría ser el día del examen sorpresa porque estaría en las mismas condiciones en las que se encontraba el lunes en el razonamiento anterior, por lo que el martes también se elimina como posible día del examen sorpresa. Seguimos el mismo razonamiento para el miércoles y el jueves. Solo queda el viernes pero ese día no puede ser el examen sorpresa porque, si no es el examen de lunes a jueves, está claro que el viernes, por ser el último día, ya no sería sorpresa y todos los alumnos estudiarían a conciencia el jueves, por tanto el viernes también es eliminado como posible día del examen sorpresa, por lo que no es posible que el profesor ponga un examen sorpresa y los alumnos no estudian. Curiosamente, al llegar la semana siguiente, un día cualquiera de la semana el profesor dice "guardad todo, sacad un folio y copiad las preguntas del examen sorpresa que os prometí"...

¿Es correcto el razonamiento anterior? ¿qué ha fallado?