En esta entrada intentaré dar a entender algunos conceptos curiosos sobre el número de elementos de un conjunto y sus nombres cuando no se puede controlar cuántos elementos posee ese conjunto, siempre de una manera informal, sin entrar en tediosos detalles ni formulaciones que requieren una fuerte base matemática. Todo se basa en el cuestionado Axioma de Elección, que ya usé en la entrada Mi Solución Particular al Rompecabezas Lógico Más Difícil que proviene de la entrada El Rompecabezas Lógico Más Difícil, las dos con gran aceptación dentro de mi pequeño blog.
En Teoría de Conjuntos, se dice que un conjunto A es AMORFO, si A es
infinito y todos sus subconjuntos son finitos o cofinitos (un conjunto es cofinito si su complemento es finito).
Un conjunto A se llama SUPERAMORFO, si A es infinito y, para todo k, todos los subconjuntos de A ^ k (se lee "A elevado a k", es decir, AxAxA...xA, k veces como producto cartesiano) son de primer orden definibles a partir de un número finito de parámetros en el lenguaje de igualdad (un primer orden es el lenguaje de símbolos usado habitualmente para relacionar conjuntos, nada de metalenguajes ni estructuras lógicas complejas que no vienen al caso). Es consistente con la axiomática de Zermelo-Frankel que existan conjuntos superamorfos, es decir, dentro de esa axiomática (la conocida por todos) no existe contradicción entre las distintas estructuras y los conjuntos superamorfos. Esto es difícil de explicar pero se basa en el denominado Teorema de Completitud de Gödel.
Un conjunto A se llama SUPERAMORFO, si A es infinito y, para todo k, todos los subconjuntos de A ^ k (se lee "A elevado a k", es decir, AxAxA...xA, k veces como producto cartesiano) son de primer orden definibles a partir de un número finito de parámetros en el lenguaje de igualdad (un primer orden es el lenguaje de símbolos usado habitualmente para relacionar conjuntos, nada de metalenguajes ni estructuras lógicas complejas que no vienen al caso). Es consistente con la axiomática de Zermelo-Frankel que existan conjuntos superamorfos, es decir, dentro de esa axiomática (la conocida por todos) no existe contradicción entre las distintas estructuras y los conjuntos superamorfos. Esto es difícil de explicar pero se basa en el denominado Teorema de Completitud de Gödel.
Lo curioso de lo explicado anteriormente es la nomenclatura utilizada para definir esos conceptos, con unos nombres que dan qué pensar, no solo a los conocedores de la temática, más incluso a cualquier lector sin base técnica.
Veamos otro concepto curioso, el concepto de inagotabilidad:
Un conjunto A se denomina INAGOTABLE si contiene más de un elemento y, para cualquier descomposición de la forma A = B U C, se tiene que A puede ser inyectado en B ó C (inyección, sobreyección o biyección son conceptos matemáticos que relacionan los elementos de distintos conjuntos, la inyección, en este caso, significa que dos elementos distintos del conjunto A van a parar (se transforman) siempre a (en) elementos distintos del conjunto B, idem con C).
Y aquí tenemos la clave de esta cuestión:
Un conjunto A se denomina INAGOTABLE si contiene más de un elemento y, para cualquier descomposición de la forma A = B U C, se tiene que A puede ser inyectado en B ó C (inyección, sobreyección o biyección son conceptos matemáticos que relacionan los elementos de distintos conjuntos, la inyección, en este caso, significa que dos elementos distintos del conjunto A van a parar (se transforman) siempre a (en) elementos distintos del conjunto B, idem con C).
Y aquí tenemos la clave de esta cuestión:
Si el (polémico) Axioma de Elección se cumple, entonces los conjuntos inagotables
son exactamente los conjuntos infinitos. Sin embargo, sin este terrorífico axioma, no es nada claro que
los superconjuntos de conjuntos inagotables sean también inagotables. Vamos a ver, brevemente,
que esta propiedad realmente caracteriza al Axioma de Elección:
Teorema:
Teorema:
Supongamos que cada conjunto que contiene un conjunto inagotable, es
en sí mismo inagotable. Entonces el axioma de elección se cumple.
Diremos que la propiedad "noción de infinitud" es cerrada bajo equivalencias y superconjuntos (cerrado es lo contrario de abierto en cuestiones topológicas que no debo entrar...) y, si se verifica para un conjunto no finito w, entonces se puede reformular lo anterior de la siguiente manera:
"Inagotabilidad" es una noción de infinitud sólo si el axioma de elección se da, o equivalentemente, sólo si coincide con el infinito verdadero.
Diremos que la propiedad "noción de infinitud" es cerrada bajo equivalencias y superconjuntos (cerrado es lo contrario de abierto en cuestiones topológicas que no debo entrar...) y, si se verifica para un conjunto no finito w, entonces se puede reformular lo anterior de la siguiente manera:
"Inagotabilidad" es una noción de infinitud sólo si el axioma de elección se da, o equivalentemente, sólo si coincide con el infinito verdadero.
Vamos a ver esto tan curioso:
Vamos a mostrar que cada conjunto puede estar bien-ordenado, lo cual es claro para conjuntos finitos, por lo que consideremos algún conjunto B infinito. Sea k el menor número ordinal tal que B no pueda ser mapeado en k (reformar los elementos de B a otros de k). Sea A la unión disjunta de k y B: A = B + k, es decir, A y k no tienen nada en común, su intersección es vacía.
Claramente w está incluido en k, por lo tanto, A contiene un conjunto inagotable y por lo tanto es inagotable. Así que tenemos B + k ≤ B ó B + k ≥ k. La primera alternativa implicaría k ≤ B, por lo tanto k ≤* B que es imposible por la definición de k, siendo ≤* otro orden.
Así pues, tenemos B + k ≤ k, así también B ≤ k. Por lo tanto B puede estar bien-ordenado.
Vamos a mostrar que cada conjunto puede estar bien-ordenado, lo cual es claro para conjuntos finitos, por lo que consideremos algún conjunto B infinito. Sea k el menor número ordinal tal que B no pueda ser mapeado en k (reformar los elementos de B a otros de k). Sea A la unión disjunta de k y B: A = B + k, es decir, A y k no tienen nada en común, su intersección es vacía.
Claramente w está incluido en k, por lo tanto, A contiene un conjunto inagotable y por lo tanto es inagotable. Así que tenemos B + k ≤ B ó B + k ≥ k. La primera alternativa implicaría k ≤ B, por lo tanto k ≤* B que es imposible por la definición de k, siendo ≤* otro orden.
Así pues, tenemos B + k ≤ k, así también B ≤ k. Por lo tanto B puede estar bien-ordenado.
Lo más interesante es tomar conciencia de los conceptos y las nociones que se pueden trasladar al lenguaje ordinario, con lo que se consigue acercar un poco cuestiones tan abstractas a gente no experimentada en este tema pero que poseen un fuerte espíritu crítico. Espero haberlo conseguido.
