Es bien sabido que
las ecuaciones de segundo grado con coeficientes racionales son muy sencillas
de resolver simplemente aplicando una fórmula que, a los alumnos y alumnas de
secundaria, les cuesta horrores aprender o, en sus casos más simples, reduciendo
esta ecuación cuadrática a alguna lineal por la ausencia de alguno de sus
coeficientes. La famosa fórmula involucra una raíz cuadrada (bueno dos, la
positiva y la negativa) que nos da dos soluciones, una o ninguna (por el
teorema Fundamental de Álgebra) en términos reales, pero si añadimos que las
soluciones pueden ser números complejos, esa “ninguna” es aceptada.
Por experiencia
propia, es raro que algún alumno o alumna sienta curiosidad por saber de dónde
sale esa fórmula tan extraña que nos proporciona de una forma directa y elegante
las soluciones reales de una ecuación de segundo grado y, ni que decir tiene,
que ni remotamente se podría encontrar a algún estudiante que se plantee si
existen fórmulas para ecuaciones con mayores grados. Si existiera alguno (yo no
lo he encontrado aún), yo le diría que sí, existen fórmulas para las ecuaciones
de tercer grado y de cuarto grado que, lógicamente, involucran raíces de orden
3 y 4 respectivamente pero, de quinto grado en adelante, incluido el grado 5,
no existen dichas fórmulas, lo cual resulta curioso cuanto menos. Es el llamado
Teorema de Abel-Ruffini o el título de esta entrada.
Ello no quiere
decir que no se puedan calcular las soluciones de dichas ecuaciones, las cuales
se pueden aproximar por métodos numéricos, ya sean implícitos o explícitos, de
uno o varios pasos, como los Newton-Raphson, Runge-Kutta, Bisección, etc…
En el siglo XIX, un
jovenzuelo de nombre Galois dio con la clave de esta imposibilidad. Galois
murió a los escasos 20 años, lo cual indica el potencial matemático que se
perdió si no se hubiera batido en duelo con un oficial del ejército francés.
El resultado
fundamental de la Teoría de Galois dice que un polinomio se puede resolver por
radicales sí y solamente sí su grupo de Galois es resoluble (se construye a
partir de grupos conmutativos [esto es, axb = bxa] usando extensiones de
grupos). Es un resultado muy poderoso e importante a pesar de su cortísimo
enunciado. Su demostración requiere algunos conocimientos que sobrepasan este
blog, el cual no trata de liar al lector si no darle algunas pinceladas sin
perder el interés ni el fondo de lo tratado. Esa ha sido mi política hasta
ahora, salvo casos muy excepcionales, y así seguirá siendo, por lo que trataré
de explicar este tema lo más llanamente posible.
Imaginemos un
polinomio de segundo grado con coeficientes racionales. Podría suceder que
algunas de sus raíces verificaran ciertas ecuaciones algebraicas (aparte del
polinomio del que son raíces, claro). Si podemos quedarnos con las transformaciones
de esas raíces con la propiedad de que cualquier ecuación algebraica
satisfecha por ellas también son satisfechas por sus transformaciones,
entonces podremos ir vislumbrando alguna propiedad interesante. El conjunto de
esas transformaciones o permutaciones (podría ser permutar una raíz con otra en
una suma, o cambiarlas en una multiplicación, etc…) tiene la propiedad de
“grupo” y se llama Grupo de Galois (el grupo de permutaciones de orden n, Sn, es
muy importante en álgebra abstracta) del polinomio inicial.
Sin entrar en esos
detalles escabrosos que comentaba antes, se puede concluir que las ecuaciones
de segundo grado tienen asociado un grupo de Galois con, a lo sumo
(importante), dos elementos 2! = 2.1 = 2: la identidad (es una transformación
que lo deja todo igual, siempre está en cualquier grupo) y la trasposición que
intercambia una raíz por la otra. Este grupo es matemáticamente igual, es
decir, es isomorfo al grupo Z2 formado por las clases de equivalencia del 0 y
el 1. Aquí cabe resaltar que todos los grupos cíclicos de orden finito n son
isomorfos a Zn y los de orden infinito son isomorfos a Z, es lo que se llama teorema de Estructura de Grupos Cíclicos.
Algo parecido se
puede hacer para los polinomios de grado 3, de los que se pueden obtener 3! =
3.2.1 = 6 permutaciones como máximo, de las que habría que descartar las que su
transformación es la misma, que son 3 (sin más que coger un ejemplo e ir
buscando).
Para los polinomios
de grado 4 sucede lo mismo: obtendríamos 4! = 4.3.2.1 = 24 transformaciones de
las raíces que cumplirían ciertas ecuaciones algebraicas pero de las que se
repiten exactamente 20, por lo que hay 4 permutaciones distintas de las raíces.
Todo esto se
explica algebraicamente diciendo que los grupos de permutaciones S2, S3 y S4
son resolubles, es decir, como comenté antes, son grupos que se construyen a
partir de grupos conmutativos de forma sencilla pero que requiere profundizar
en la teoría, algo que no haré aquí como también comenté.
La idea de esta
entrada se reduce, viendo todo lo explicado hasta ahora, a saber si S5 es
resoluble o no, pero un subgrupo suyo es A5, el llamado “grupo alternado de
orden 5” cuyos elementos son las permutaciones pares, que tiene la
particularidad de que no es conmutativo (existen cadenas de permutaciones que
varían el resultado si se altera su orden) y S5 es una extensión natural de A5,
por lo que S5 no es resoluble. A partir del orden 5 es más fácil aún encontrar
cadenas de permutaciones de los S6, S7,… que no sean conmutativas, por lo que
los polinomios asociados según el resultado de Galois no se pueden resolver
usando una fórmula que involucre raíces.
Bien, creo haber
conseguido explicar de forma más o menos sencilla algo complejo y que se nos
presenta cada día en secundaria a la hora de sacar las raíces de polinomios,
por si a algún alumno o alumna se le ocurre preguntar.
