Pero, ¿Qué es Una Igualdad?

   Los matemáticos, ingenieros, físicos y los técnicos en general, siempre estamos hablando de ecuaciones, lo cual implica hablar de igualdades y, en menor medida, de desigualdades (en este caso se habla de inecuaciones) pero cabe preguntarse cuál es el origen de estas similitudes entre proposiciones, es decir, qué es una igualdad y para ello hemos de preguntarle a la lógica proposicional, que es la base de todo avance científico y la base del lenguaje matemático.

   Con rigor, una igualdad " = " es una relación binaria que verifica las tres condiciones para ser una relación binaria de equivalencia, RBE, que son:

1) Reflexiva: para cualquier elemento x de un conjunto, se cumple x = x.

2) Simétrica: para todo par de elementos x e y de un conjunto ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$(simbólicamente representado por ∀x∀y), se cumple x = y -> y = x que se lee "si x es igual a y entonces y es igual a x".

3) Transitiva: para cualesquiera 3 elementos de un conjunto, x, y, z, se cumple (x = y -> (x = z -> y = z)) que se lee "si x es igual a y entonces se cumple, si x es igual a z entonces y es igual a z".

Esta RBE cumple 2 axiomas importantes:

1) Para cualquier elemento x, se cumple x = x.

2) Axioma de sustitutividad de los idénticos (enunciado por Leibniz): ∀x∀y [x = y -> P(x, x_1, x_{2, ...,} x_n ) <-> P(y, x_1, x_{2, ...,} x_n )] siendo P un predicado o proposición cualquiera o, dicho de otra manera, lo que se denomina la "identidad de los indiscernibles", esto es, ∀P[(P(x) <-> P(y)) -> x = y]. Esto significa que dos objetos que no pueden ser eliminados por ninguna propiedad deben considerarse idénticos.

   La igualdad puede considerarse como una doble implicación ( <=> ) siendo la implicación un conector proposicional de forma que, ∀P∀Q, siendo P y Q dos proposiciones, P -> Q se lee "P implica Q" ó "si P entonces Q". La definición rigurosa de la implicación viene dada por su Tabla de Verdad:

Si P verdadero y Q verdadero, entonces P -> Q verdadero

Si P falso y Q verdadero, entonces P -> Q verdadero

Si P verdadero y Q falso, entonces P -> Q falso

Si P falso y Q falso, entonces P -> Q verdadero

Esta tabla da pie a las paradojas, de las cuales he hablado ya largo y tendido en este blog en diferentes entradas, ya que éstas cumplen que una fórmula falsa implica toda fórmula y que una fórmula verdadera es implicada por toda fórmula. 

   El caso de las paradojas es el que se obtiene de la llamada implicación material. Simplemente comentar en estos renglones finales que también existe la implicación estricta y la implicación formal que quedan a la curiosidad del lector.

Hasta aquí unas breves reseñas sobre la esencia de la matemática en sí y de toda construcción lógica que pretenda satisfacer las cuestiones técnicas y avanzar en la ciencia. La igualdad en una ecuación es pura lógica.

Si Te Dicen Que Caí (y Cuadrilátero de Jeantaud)

 Si te dicen que caí, no caí aunque estuve cerca, y no me refiero a la novela de Marsé.

   Que los vehículos de cuatro ruedas giran en las curvas no es por arte de magia o por el simple hecho de girar un volante. Las ruedas directrices han de cumplir un requisito geométrico sin el cual simplemente el vehículo deslizaría al intentar dar un giro y no seguiría la trayectoria deseada por el conductor. Es curioso que el 99% de los conductores y un alto porcentaje de los mal llamados mecánicos actuales (mejor denominados "sustituye-piezas") desconozcan este sencillo ingenio matemático tan vital como evidente. El cuadrilátero de Jeantaud consigue el cambio de dirección de un vehículo mediante un sistema articulado que une las ruedas directrices permitiendo que giren según ángulos que cumplan la condición de giro correcto, es decir, que el vehículo se desplace en la dirección de las ruedas directrices sin deslizar. Debe su nombre al ingeniero francés Jeantaud quien lo construyó en 1878 basándose en una idea del alemán Ackermann de 1820. Este cuadrilátero se construye con la barra de unión por detrás del eje delantero. Si dicha barra se sitúa por delante del eje se denomina cuadrilátero Panhard.

   Con el fin descrito en el párrafo anterior, las prolongaciones de los ejes de rotación de las ruedas directrices deben encontrarse en un punto exterior al vehículo que es el centro de rotación de todo el vehículo. Se obtiene con la orientación de las ruedas directrices, con el eje delantero articulado en 3 partes, de las que las extremas pueden girar en torno a ejes verticales, como se muestra en el siguiente dibujo, debiendo cumplirse la ecuación ahí descrita:

   ¿Cómo se construye este mecanismo? El único requisito para la determinación de un cuadrilátero de Jeantaud que permita un giro lo más cercano posible a la condición correcta, es decir, con errores de giro mínimos, es que hay que configurarlo de forma que las prolongaciones de los brazos inclinados del cuadrilátero del eje delantero se encuentren en el punto medio del eje trasero (en el gráfico de arriba no coinciden y pido disculpas a los lectores pero fue realmente difícil hacer este dibujo aunque parezca sencillo...).

   Así pues, un artefacto geométrico simple y de fácil construcción posibilita que por las vías circulen vehículos de cuatro ruedas con la seguridad de que girarán cuando así se lo indique la voluntad de quien los gobierna.