domingo, 26 de junio de 2016

Reedición El Número de Graham

  Blogger a veces se comporta irresponsablemente y `olvida´ ciertas reglas de programación que impiden ver ecuaciones, ya que, por defecto, no tiene un editor de dichas ecuaciones. Repasando las entradas técnicas, he constatado que El Número de Graham aparecía solo con el código LaTeX, un tedioso y enrrevesado lenguaje de programación científico no apto para quien no lo haya probado, a pesar de que, el día de su publicación, todo salió bien y se podía ver tal y como debe ser.
  He corregido el fallo añadiendo el correspondiente script en su lugar y ya es posible ver esa curiosa entrada en todo su esplendor. Gracias a EduBlog por solventar estos pequeños problemas.

sábado, 25 de junio de 2016

Teorema de Papel

  Recurrir a Wikipedia no es malo siempre y cuando uno sepa de lo que está hablado/escribiendo y el contexto en el que se desarrollan las temáticas que pretende exponer.
  "Era sabido, hasta hace muy poco tiempo, que el límite de dobleces que se le pueden dar a un papel era de 8, es decir, no se podía doblar un papel, hacia los lados que fueran, más de 8 veces, pliegue sobre pliegue. En el año 2002, una estudiante de secundaria (aún lo era cuando hizo lo que sigue), Britany Gallivan, demostró que un único trozo de papel de unos 1200 metros de longitud puede ser doblado por la mitad 12 veces de forma empírica, es decir, cogió el papel y lo dobló. También consiguió doblar una lámina cuadrada de oro por la mitad 12 veces".
  Hata aquí todo correcto en Wikipedia salvo la falta de información más precisa (¿cómo lo dobló?, ¿dónde?, ¿quién lo ratificó?, y la lámina de oro, ¿qué área ocupaba?, ¿quién se la `prestó´?, etc). Lo que no me convence es que consiguiera, como asegura Wikipedia, demostrar matemáticamente este extremo ni deducir una ecuación para calcular la anchura del papel W necesaria para doblar una hoja de grosor t un número dado de veces n. Para estos cálculos se requieren conocimientos matemáticos que no se consiguen salvo en cursos medios - avanzados de una carrera técnica.
  Así pues, ante la flagrante falta de información y enlaces de Wikipedia referentes a este tema, le voy a plantear a mi querido lector/a dicha prueba de forma analítica, para que no queden dudas sobre esta curiosa propiedad del papel.
  Dedico esta entrada a los niños, para acercarles las matemáticas aunque solo sean los resultados, tal y como quise plasmar en entradas como Magia con los Números, Pinta y Colorea o Si Dios Existe, Se Llama Pi.



Para una sola dirección de plegado, la longitud exacta mínima requerida L es:

donde t es el espesor del material que se quiere doblar y n es el número de pliegues deseados.
A su vez, una cota superior de la anchura del papel que se necesita para direcciones alternas de plegado, W, es:



La idea fundamental de este experimento es que cada vez que se dobla el papel se "pierde" un poco de papel debido al doblez, lo demás permanece recto. La fórmula nos da la pérdida total después de n pliegues que es equivalente a la longitud mínima para hacer esos n pliegues. Conviene hacer una prueba real con un papel, ¡no es complicado!
En el primer pliegue o doblez se forma (se pierde) un semicírculo de radio t  que tiene un perímetro de πt. El resultado es una pieza de dos capas de papel con un espesor total de 2t.

En el segundo doblez se pierde un semicírculo de radio t y un semicírculo de radio 2t, el del pliegue anterior, por lo que la longitud perdida es πt+2πt=3 πt. Tenemos, entonces, una pieza de cuatro capas de papel después de dos pliegues y una longitud total perdida de  πt+(πt+2πt).
En el tercer doblez se pierde un semicírculo de radio t, un semicírculo de radio 2t, un semicírculo de radio 3t y un semicírculo de radio 4t, por lo que la longitud perdida es πt+2πt+3πt+4πt=10 πt.
Llevamos, por tanto, una longitud total perdida de πt+(πt+2πt)+(πt+2πt+3πt+4πt)=15 πt.

A partir de aquí se puede decucir la longitud total perdida después de n dobleces:
 πt+(πt+2πt)+(πt+2πt+3πt+4πt)+...+(πt+2πt+3πt+4πt+...+ πt2^(n-1)) = πt(1+(1+2)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+4+...+2^(n-1))).
Hemos obtenido una sucesión aritmética por lo que, usando ahora la fórmula de la suma de esta sucesión (la mitad del número de términos por el primero más el último), se obtiene la serie aritmética (πt/2)((1*2)+(2*3)+(4*5)+(8*9)+...+((2^(n-1))*(2^(n-1))+1))) donde el n-ésimo término es (2^(n-1))*(2^(n-1))+1))=2^(2n-2)+2^(n-1).

Ahora tenemos una serie geométrica (productos), por lo que reordenando y usando, esta vez, la fórmula para la suma en una serie geométrica (largo pero fácil, no merece la pena escribirlo) llegamos al resultado buscado.
  Fijándonos con atención en el proceso de construcción, se puede decir que el pliegue i-ésimo empieza con 2^(i-1) capas y el pliegue o doblez de la capa j-ésima utiliza jπt unidades de papel. Así pues, la longitud total L de papel utilizado para el doblez i-ésimo viene dada por la suma de la serie aritmética construida antes:


Para buscar la longitud para un número dado de n pliegues, tenemos que sumar este resultado con i desde 1 hasta n:

  Es interesante el resultado y nada evidente en su resolución y construcción, por lo que la duda sobre la autoría íntegra de una estudiante de secundaria sin haber tenido ayuda técnica es palpable, sin quitar méritos, por supuesto.
  De todas formas, ya sabemos que podemos doblar un papel hasta 12 veces, ¡manos a la obra!
 

domingo, 19 de junio de 2016

La Salvaje 2016: Maratón de Montaña No Tan Light

  Me remito a la entrada de la edición de 2015, aquí, para describir la edición de la Salvaje de este año, esta vez muy salvaje.
  He de añadir la novedad, lógicamente, que faltó en la edición de 2015 como comenté en la entrada referida anteriormente, la llamada `cuesta del Mahimón´, que consiste en una infernal rampa de 2,5k con el 20% de desnivel que comienza, ni más ni menos, cuando ya van 33k de recorrido, y no un recorrido precisamente llano como describo antes.
  Esta novedad tan "interesante", propició que los participantes retrasaran en unos 20 minutos - 30 minutos su llegada a meta con respecto a la edición de 2015 pero, he dedir, que cubrí la distancia total en exactamente el mismo tiempo que sin el Mahimón, 4h15, lo cual supone un gran logro para mí teniendo en cuenta que en esa subida se pierde un tiempo vital.
  La organización, fiel al calificativo de "magnífica" añadió un avituallamiento extra precisamente en la cima de esa trágica subida porque, los 7k - 8k finales se antojan complicados a pesar de ser en bajada, debido al esfuerzo que requiere, no solo el Mahimón, sino también todas las subidas anteriores y la carga de kilómetros afrontados por los corredores y corredoras con voluntad y decisión desde la salida de la prueba.
  La anécdota personal fue que, al llegar a la meta, hablé con el organizador principal, Javier Chacón, y le comenté, entre risas, que para posteriores ediciones el Mahimón había que quitarlo por la dureza y exigencia de afrontarlo a esa altura de carrera a lo que me contestó, también entre risas pero con seriedad "el Mahimón se queda ya para siempre". Así que, ya sabemos lo que nos espera en futuras ediciones.