El teorema de la Curva de Jordan es importante, es bello, y es entendible incluso si no se poseen conocimientos matemáticos profundos. Dice así: "toda curva de Jordan C del plano (esto es, un subconjunto del plano homeomorfo (matemáticamente igual) al círculo), lo divide en, exactamente, dos componentes conexas, una acotada y la otra no acotada, cuya frontera común es la curva C."
La clave principal de la demostración de este teorema, la cual es larga y técnica salvo si se usan las teorías de homología y homotopía, es el siguiente resultado que, si se dibuja, hasta un niño de corta edad lo puede entender sin dificultades. El enunciado riguroso es el siguiente:
"Sea X = [a,b] x [c,d] y sean g, h : [-1,1] -> X aplicaciones continuas. Sean p1 : X -> [a,b] y p2 : X-> [c,d] las proyecciones a los factores y supongamos que p1(g(-1)) = a, p1(g(1)) = b, p2(h(-1)) = c, p2(h(1)) = d. Entonces g([-1,1]) y h([-1,1]) tienen elementos en común {*}, al menos uno (es decir, su intersección es no vacía)." Intuitivamente es claro: en un rectángulo del plano, toda línea que va desde el borde superior hasta el borde inferior de forma continua, siempre corta a toda línea continua que va desde el borde izquierdo al borde derecho. Se puede ilustrar con el siguiente "sencillo" dibujo:
Así visto, parece muy sencillo probar pero esta simplicidad geométrica requiere complejidad analítica y algunos conocimientos avanzados. pongámosla en la pantalla:
Supongamos, por el contrario, que g([-1,1]) y h([-1,1]) no tienen elementos en común, esto es, que su intersección es vacía. Se define N(s,t) = Sup{|p1(g(s)) - p1(h(t))|, |p2(g(s)) - p2(h(t))|}, para todos s y t en [-1,1]. N(s,t) no es cero para todos s y t en [-1,1] porque si para algún punto (s,t) de [-1,1] x [-1,1], fuera N(s,t) = 0, como está definido como el supremo de dos cantidades positivas (por estar ambas en valor absoluto), entonces ambas han de ser cero, luego |p1(g(s)) - p1(h(t))| = |p2(g(s)) - p2(h(t))| = 0, y por tanto, g(s) = h(t), lo cual se está suponiendo que no ocurre. Hay que tener en cuenta que N es una función continua por ser el máximo de dos funciones continuas.
Se define F : [-1,1] x [-1,1] -> [-1,1] x [-1,1] como F(s,t) = ( [p1(h(t))-p1(g(s))]/N(s,t) , [p2(g(s))-p2(h(t))]/N(s,t) ), para todos s y t en el intervalo [-1,1]. La función F así definida es continua por ser cada componente cocientes de funciones continuas y, por la construcción de N, una de las componentes de F vale +1 ó -1, es decir, F([-1,1] x [-1,1]) está incluido en el conjunto Frontera del producto cartesiano de los intervalos, es decir, incluido en Fr([-1,1] x [-1,1]).
Como [-1,1] x [-1,1] es homeomorfo a la bola cerrada de centro 0 y radio 1 y el homeomorfismo lleva Fr([-1,1] x [-1,1]) en S1, por el teorema del punto fijo de Brouwer (este es uno de los muchos teoremas de punto fijo), existe (s,t) en [-1,1] x [-1,1] tal que F(s,t) = (s,t), pero como F(s,t) está en Fr([-1,1] x [-1,1]), debe ser |s| =1 ó |t| = 1, es decir, 4 casos: s = 1, s = -1, t = 1, t = -1. Se hará a continuación uno de ellos y los demás son similares.
Si s = 1, F(1,t) = (1,t) por lo que 1 = [p1(h(t))-p1(g(1))]/N(1,t) = [p1(h(t))-b]/N(1,t), pero p1(h(t)) es menor o igual a b, luego la diferencia es negativa y así [p1(h(t))-b]/N(1,t) es menor o igual que 0, lo que es una contradicción. Análogamente se hacen los otros 3 casos, con lo que se llega a contradecir la hipótesis inicial, por lo que se cumple lo enunciado en {*}.
Un curioso y simple dibujo que entraña complejidad y técnica para niños y no tan niños.
miércoles, 29 de julio de 2020
viernes, 19 de junio de 2020
El Método Axiomático (Bourbaki)
Releyendo libros, he encontrado un interesante artículo que comparto en las líneas que siguen. Su autoría se debe a Nicolás Bourbaki que, curiosamente, no es una persona sino el pseudónimo bajo el cual se encuentra un grupo de matemáticos franceses (grupo misterioso, ya que nunca han dado a conocer ni todos sus miembros ni su número exacto), creado a principios del siglo XX para tratar de dar un enfoque nuevo a las bases de las matemáticas. Dicho artículo proviene de su "Teoría de Conjuntos" publicado en el año 1954 y se titula "El método axiomático". Espero se disfrute.
""Desde los griegos, quien dice matemáticas dice demostración; algunos ponen en duda incluso, que, fuera de las matemáticas, se encuentren demostraciones en el sentido preciso y riguroso que esta palabra ha recibido de los griegos y que se entiende que se le da aquí. Hay motivos para decir que en ese sentido no ha variado, pues lo que era una demostración para Euclides, lo es siempre para nosotros; y, en las épocas en que la noción amenazó con perderse y, por eso, las matemáticas estuvieron en peligro, se han buscado los modelos en los griegos. Pero, a esta indudable herencia se han añadido, desde hace un siglo, importantes conquistas.
En efecto, el análisis del mecanismo de las demostraciones en unos textos matemáticos muy escogidos ha permitido deducir su estructura, desde el doble punto de vista del vocabulario y de la síntesis. De este modo, se llega a la conclusión de que un texto matemático bastante explícito podría ser expresado en un lenguaje convencional que sólo llevaría un pequeño número de <palabras> invariables, unidas por una sintaxis que consistiría en un pequeño número de reglas inviolables: semejante texto se llama formalizado. Por ejemplo, la descripción de una partida de ajedrez por medio de la notación usual o una tabla de algoritmos, son textos formalizados; las fórmulas del cálculo algebraico ordinario lo serían también si estuvieran completamente codificadas las reglas que gobiernan el empleo de los paréntesis y hubiera una estrecha conformación a ellos cuando, de hecho, algunas de esas reglas apenas se aprenden más que con el uso y el uso autoriza a hacer algunas derogaciones.
La verificación de un texto formalizado solo exige una atención, en cierto modo mecánica, siendo las únicas causas posibles de error debidas a la longitud o la composición del texto: por eso, un matemático suele tener confianza en un compañero que le transmita un cálculo algebraico, ya que, por poco que sepa de ese cálculo, no es demasiado largo y está hecho con cuidado. Por el contrario, en un texto no formalizado se está expuesto a las faltas de razonamiento que corren el riesgo de entrañar, por ejemplo, el uso abusivo de la intuición, o el razonamiento por analogía... El método axiomático no es, propiamente hablando, otra cosa que el arte de redactar textos cuya formalización es fácil de conseguir. Eso no es una invención nueva, pero su empleo sistemático como instrumento de descubrimiento es uno de los rasgos originales de las matemáticas contemporáneas.""
""Desde los griegos, quien dice matemáticas dice demostración; algunos ponen en duda incluso, que, fuera de las matemáticas, se encuentren demostraciones en el sentido preciso y riguroso que esta palabra ha recibido de los griegos y que se entiende que se le da aquí. Hay motivos para decir que en ese sentido no ha variado, pues lo que era una demostración para Euclides, lo es siempre para nosotros; y, en las épocas en que la noción amenazó con perderse y, por eso, las matemáticas estuvieron en peligro, se han buscado los modelos en los griegos. Pero, a esta indudable herencia se han añadido, desde hace un siglo, importantes conquistas.
En efecto, el análisis del mecanismo de las demostraciones en unos textos matemáticos muy escogidos ha permitido deducir su estructura, desde el doble punto de vista del vocabulario y de la síntesis. De este modo, se llega a la conclusión de que un texto matemático bastante explícito podría ser expresado en un lenguaje convencional que sólo llevaría un pequeño número de <palabras> invariables, unidas por una sintaxis que consistiría en un pequeño número de reglas inviolables: semejante texto se llama formalizado. Por ejemplo, la descripción de una partida de ajedrez por medio de la notación usual o una tabla de algoritmos, son textos formalizados; las fórmulas del cálculo algebraico ordinario lo serían también si estuvieran completamente codificadas las reglas que gobiernan el empleo de los paréntesis y hubiera una estrecha conformación a ellos cuando, de hecho, algunas de esas reglas apenas se aprenden más que con el uso y el uso autoriza a hacer algunas derogaciones.
La verificación de un texto formalizado solo exige una atención, en cierto modo mecánica, siendo las únicas causas posibles de error debidas a la longitud o la composición del texto: por eso, un matemático suele tener confianza en un compañero que le transmita un cálculo algebraico, ya que, por poco que sepa de ese cálculo, no es demasiado largo y está hecho con cuidado. Por el contrario, en un texto no formalizado se está expuesto a las faltas de razonamiento que corren el riesgo de entrañar, por ejemplo, el uso abusivo de la intuición, o el razonamiento por analogía... El método axiomático no es, propiamente hablando, otra cosa que el arte de redactar textos cuya formalización es fácil de conseguir. Eso no es una invención nueva, pero su empleo sistemático como instrumento de descubrimiento es uno de los rasgos originales de las matemáticas contemporáneas.""
miércoles, 22 de abril de 2020
Paradoja de los Viajes Espaciales
La Teoría de la Relatividad Restringida que Einstein estableció en 1905, posee dos principios fundamentales:
1) Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. Este postulado generaliza el principio de relatividad de Galileo, el cual era válido solo para experimentos mecánicos.
2) La velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente luminosa. Este es un axioma CLAVE para entender toda la física moderna. Einstein trató de salvar el hecho de que si fuera posible que un observador se moviera con la velocidad de la luz, la velocidad relativa de ésta sería cero.
En sus propias palabras:
""Si yo persigo un haz de luz con velocidad C [velocidad de la luz en el vacío], debería observarlo como un campo electromagnético oscilatorio en reposo.Sin embargo, no ocurre tal cosa sobre la base de la experiencia o de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell [ecuaciones que describen todos los fenómenos electromagnéticos]. Desde el principio, me pareció intuitivamente claro que, desde el punto de vista del observador, todo ocurriría según las mismas leyes de un observador que estuviera en reposo sobre la Tierra. Pues, de otro modo, ¿cómo sabría el primer observador, es decir, cómo podría determinar que se encuentra en estado de movimiento uniforme?"".
Analizando con detalle este principio, se puede afirmar que un observador acercándose o alejándose de una fuente luminosa, mide la misma velocidad para la luz que un observador en reposo con respecto a dicha fuente. Así, la noción clásica del tiempo absoluto queda desterrada.
Por tanto, todos los fenómenos físicos que dependen del tiempo son relativos, como por ejemplo, la velocidad de las reacciones químicas, el movimiento de los electrones en sus átomos,... y los viajes espaciales: un observador A, situado en una nave espacial, será más joven que un observador B situado en la Tierra. La ciencia-ficción se ha nutrido durante décadas de este fenómeno, comprobado experimentalmente, por cierto.
La Paradoja es la siguiente: "al observador B situado en la Tierra, le parece que el observador A, situado en la nave espacial, vive a un ritmo más lento que el suyo, pero al observador A le parece que el observador B es el que vive a un ritmo más pausado".
¿Tiene solución esta paradoja o se cumple siempre? Afortunadamente se puede resolver: supongamos que la nave en la que viaja el observador A, lo hace con una trayectoria rectilínea. Para poder comparar cuál de los dos observadores ha envejecido más, es claro que ambos deben reunirse, lo que crea una situación diferente, ya que si A sale desde la Tierra, parte del reposo acelarando hasta alcanzar una velocidad y después decelerar para volver al estado de reposo en la Tierra. Además, debe dar una vuelta en su camino rectilíneo, que supone una nueva aceleración debida al cambio en el sentido de la velocidad. Como el observador A acelera en su viaje, no se mueve con un movimiento uniforme y, por tanto, no puede aplicar la Teoría de la Relatividad Restringida, cosa que sí puede hacer el observador B que está situado en la Tierra, en reposo, por lo que las predicciones correctas las realiza el observador B y no el A, y así, se cumple la primera parte de la paradoja pero no la segunda.
1) Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. Este postulado generaliza el principio de relatividad de Galileo, el cual era válido solo para experimentos mecánicos.
2) La velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente luminosa. Este es un axioma CLAVE para entender toda la física moderna. Einstein trató de salvar el hecho de que si fuera posible que un observador se moviera con la velocidad de la luz, la velocidad relativa de ésta sería cero.
En sus propias palabras:
""Si yo persigo un haz de luz con velocidad C [velocidad de la luz en el vacío], debería observarlo como un campo electromagnético oscilatorio en reposo.Sin embargo, no ocurre tal cosa sobre la base de la experiencia o de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell [ecuaciones que describen todos los fenómenos electromagnéticos]. Desde el principio, me pareció intuitivamente claro que, desde el punto de vista del observador, todo ocurriría según las mismas leyes de un observador que estuviera en reposo sobre la Tierra. Pues, de otro modo, ¿cómo sabría el primer observador, es decir, cómo podría determinar que se encuentra en estado de movimiento uniforme?"".
Analizando con detalle este principio, se puede afirmar que un observador acercándose o alejándose de una fuente luminosa, mide la misma velocidad para la luz que un observador en reposo con respecto a dicha fuente. Así, la noción clásica del tiempo absoluto queda desterrada.
Por tanto, todos los fenómenos físicos que dependen del tiempo son relativos, como por ejemplo, la velocidad de las reacciones químicas, el movimiento de los electrones en sus átomos,... y los viajes espaciales: un observador A, situado en una nave espacial, será más joven que un observador B situado en la Tierra. La ciencia-ficción se ha nutrido durante décadas de este fenómeno, comprobado experimentalmente, por cierto.
La Paradoja es la siguiente: "al observador B situado en la Tierra, le parece que el observador A, situado en la nave espacial, vive a un ritmo más lento que el suyo, pero al observador A le parece que el observador B es el que vive a un ritmo más pausado".
¿Tiene solución esta paradoja o se cumple siempre? Afortunadamente se puede resolver: supongamos que la nave en la que viaja el observador A, lo hace con una trayectoria rectilínea. Para poder comparar cuál de los dos observadores ha envejecido más, es claro que ambos deben reunirse, lo que crea una situación diferente, ya que si A sale desde la Tierra, parte del reposo acelarando hasta alcanzar una velocidad y después decelerar para volver al estado de reposo en la Tierra. Además, debe dar una vuelta en su camino rectilíneo, que supone una nueva aceleración debida al cambio en el sentido de la velocidad. Como el observador A acelera en su viaje, no se mueve con un movimiento uniforme y, por tanto, no puede aplicar la Teoría de la Relatividad Restringida, cosa que sí puede hacer el observador B que está situado en la Tierra, en reposo, por lo que las predicciones correctas las realiza el observador B y no el A, y así, se cumple la primera parte de la paradoja pero no la segunda.
viernes, 17 de abril de 2020
Sonido, Luz, Ondas, Huygens
Huygens (1629 - 1695) es uno de los mayores científicos de la historia, sin lugar a dudas. En esta entrada traigo un fragmento de una publicación suya en la que explica el llamado "Principio de Huygens" referido a la naturaleza de la luz, trabajo posterior a sus aportaciones al estudio del sonido como onda.
A título informativo y sin que sirva de precedente, la legislación española actual regula la contaminación acústica en la Ley 7/2007 llamada GICA, Gestión Integrada de la Calidad Ambiental, desarrollando el Decreto 326/2003 de Contaminación Acústica, así como la Ley 37/2003 del Ruido.
A título informativo y sin que sirva de precedente, la legislación española actual regula la contaminación acústica en la Ley 7/2007 llamada GICA, Gestión Integrada de la Calidad Ambiental, desarrollando el Decreto 326/2003 de Contaminación Acústica, así como la Ley 37/2003 del Ruido.
En la polarización, cuando un rayo de luz incide sobre
ciertos cuerpos transparentes, entre ellos el cristal de Islandia, se desdobla
en dos rayos de tal manera que si sobre un papel dibujamos un punto y lo
observamos a través de estos cristales, vemos dos puntos: uno en la posición
normal y otro muy cerca de esta posición. Cuando el cristal se hace girar en el
plano del papel de la imagen normal, queda fija pero la segunda imagen gira en torno
a ella. Huygens no consiguió explicar este fenómeno.
La teoría ondulatoria quedó aún más reforzada por Foucault
en 1850: ideó un ingenioso procedimiento para medir la velocidad de la luz en distancias muy
cortas (experimento Fizeau-Foucault). Así pudo conocer que, como preveía
Hyugens, la luz viaja más despacio en el agua que en el aire con lo cual
desechó la interpretación de la refracción dentro de la teoría corpuscular.
Newton era favorable a una teoría corpuscular mientras que
Huygens y Hooke optaban por una teoría ondulatoria con la cual interpretaban el
hecho de que dos haces luminosos se cruzan sin perturbarse, algo difícil de
entender dentro de la teoría mecánica-corpuscular. Huygens desarrolló en
profundidad una teoría ondulatoria de la luz pero, suponiendo que, como las
ondas acústicas, eran ondas longitudinales, mientras que Hooke defendía que
estas ondas eran transversales.
Lord Kelvin citaba: "nunca estoy satisfecho hasta que consigo
el modelo mecánico de una cosa. Si puedo construir un modelo mecánico, entiendo
el fenómeno", lo cual era el sentir de la comunidad científica de la época.
Aquí dejo el texto literal, que es una delicia leer, sobre el comportamiento de esa gran desconocida y esquiva como lo fue la luz. Espero sea disfrutado.
Fragmento del estudio "Traité de la Lumiére", Francia 1678, publicado en Países Bajos en
1690:
""Además, cuando se considera la gran velocidad a
la que la luz se propaga hacia todos lados y que, cuando procede de diferentes
lugares incluso completamente opuestos, los rayos se atraviesan sin
impedimento, se comprende bien que cuando vemos un objeto luminoso, no puede
ser por el transporte de una materia que llega desde el objeto hasta nosotros
como una bala o una flecha que atraviesa el aire, pues asegurar esto,
repugnaría demasiado a estas dos cualidades de la luz y, sobre todo, a la
última [nota mía: se refiere a la dualidad onda-corpúsculo de la luz]. Debe
propagarse entonces de otra manera y lo que nos puede llevar a comprenderlo es
el conocimiento que tenemos de la propagación del sonido en el aire
Sabemos que, por
medio del aire, que es un cuerpo invisible e impalpable, el sonido se propaga a
partir del lugar donde se ha producido, por un movimiento que pasa,
sucesivamente, de una parte del aire a otra y que la propagación de este
movimiento se hace con igual velocidad en todas direcciones, debiéndose formar
como superficies esféricas que crecen siempre y que acaban por alcanzar nuestro
oído.
Ahora, si se
examina cuál puede ser la materia en la que se propaga el movimiento que
procede del objeto luminoso, a la que yo llamo éter, se ve que no es la misma
que sirve para la propagación del sonido. Pues se encuentra que esta última es
precisamente el aire que sentimos y que respiramos, el cual, eliminado de
cualquier lugar, todavía deja la materia que sirve para la propagación de la
luz. Esto se prueba encerrando un cuerpo sonoro en un vaso de vidrio del que se
elimina el aire con la máquina que nos proporcionó M. Boyle y con la cual ha
realizado muchos bellos experimentos. Pero haciendo este del que hablo, debe
tenerse cuidado en colocar el cuerpo que suena sobre el algodón o sobre plumas
de manera que no pueda comunicar vibraciones al vaso de vidrio que lo encierra
o a la máquina, una precaución que, hasta ahora, había sido descuidada.
Entonces, después de haber vaciado todo el aire, no se escucha el sonido del
metal cuando es golpeado. Se ve aquí no solo que nuestro aire, que no penetra
en absoluto en el vaso, es la materia en la que se propaga el sonido, si no
también que no es el aire si no otra materia en la que se propaga la luz, pues
eliminando el aire del vaso, la luz no deja de atravesarlo como antes... Cada
pequeña región de un cuerpo luminoso, como el Sol, una vela o un carbón
encendido, genera sus propias ondas de las cuales esta región es el centro
[nota mía: el conocido como Principio de Hyugens].
Pero lo que puede
parecer completamente extraño y aún increíble, es que las ondulaciones por
movimientos y corpúsculos tan pequeños pueden extenderse a distancias tan
inmensas como, por ejemplo, desde el Sol o desde las estrellas hasta nosotros.
Pues la fuerza de estas ondas debe debilitarse a medida que se separan de su
origen, de manera que la acción de cada una de ellas en particular, resultará,
sin duda, incapaz de hacerse sentir a nuestra vista. Pero dejaremos de
asombrarnos considerando que a una gran distancia del cuerpo luminoso, una
infinidad de ondas, cada una trazada desde puntos diferentes de este cuerpo, se
unen de manera que realmente componen solo una onda que, por consiguiente, debe
tener bastante fuerza para hacerse sentir. Así, este número infinito de ondas
que nacen en el mismo instante de todos los puntos de una estrella fija tan
grande como el Sol, no son prácticamente más que una onda, la cual puede tener
bastante fuerza para impresionar nuestros ojos. Por otra parte, de cada punto
luminoso pueden venir muchos miles de ondas luminosas en el menor tiempo
imaginable, por la frecuente percusión de corpúsculos, que inciden en el éter
en estos puntos, lo que contribuye todavía a hacer la acción más sensible. Hay
todavía que considerar en la emanación de estas ondas que cada partícula de la
materia en la cual se propaga una onda no debe comunicar su movimiento
solamente a una partícula próxima que esté en línea recta trazada desde el
punto luminoso, si no que lo comunica también necesariamente a todas las otras
que la tocan y que se oponen a su movimiento. De manera que, es necesario que
alrededor de cada partícula se forme una onda de la cual esta partícula sea el
centro."".
viernes, 27 de marzo de 2020
¡Piensa Google, Piensa!
Es bien sabido que
Google es el motor de búsqueda más usado de internet en más de 100 idiomas con
multitud de algoritmos internos que han ido incrementando su grado de
complejidad desde la creación del buscador (a mediados de los años 90), de tal manera
que, al principio, había que ser muy específico en la forma en la que el
usuario le "preguntaba" para obtener resultados fiables. Prácticamente
sólo se podían buscar sinónimos o frases cortas parecidas a las de la búsqueda y el buscador (éste y otros, puesto que todos los motores de búsqueda en esos tiempos eran muy rudimentarios) devolvía las páginas web donde estaban los
textos que incluían esas frases, algo muy sencillo y poco práctico. Actualmente, al motor
de búsqueda se le pueden hacer incluso preguntas y nos devuelve una gran cantidad de
páginas webs relacionadas con nuestra cuestión e incluso, una búsqueda de esa
búsqueda supone ya un gran acierto sobre lo que desea encontrar el usuario. Además, hoy en día, se le puede pedir a Google que realice ciertos cálculos matemáticos
y traducciones entre idiomas. Aunque, por experiencia propia, he de decir que esto
último debe profundizarse porque las traducciones suelen no acertar, salvo del
idioma inglés a otro o viceversa, pero estoy seguro que en poco tiempo Google
sabrá corregir este fallo y ampliar su grandiosidad con ésta y más opciones.
Hasta aquí todo
correcto y aséptico pero a mí me gusta retorcer las cosas, quienes lean este
blog lo saben bien, por lo que planteo en esta entrada una cuestión sencilla a
priori pero que (creo) encierra algo de dificultad, si no bastante. Cualquier
usuario de internet y, por tanto, más o menos usuario de alguna característica
de Google, pensará que en este maravilloso motor de búsqueda está todo lo
habido y por haber: desde todas las recetas culinarias posibles, pasando por la
historia de la humanidad, o todas las predicciones futuras, hasta la gran
mayoría de idiomas del mundo en todos sus formatos, desde el chino, el inglés,
el cirílico, el árabe, el español, las lenguas muertas, los geroglíficos, etc,
etc, es decir, prácticamente todo lo que se sabe y lo que se sabrá, teniendo en
cuenta que cada día se añaden millones de páginas web con todo tipo de
información donde este buscador busca y rebusca (sin entrar en la Deep Web, ese
es otro tema).
La pregunta que
planteo es la siguiente: ¿existe alguna palabra con significado (en idioma
español, aunque se podría plantear la pregunta para otros idiomas) que NO
aparezca en Google? En caso afirmativo, ¿es única o existe más de una?, y ¿cuál
es o cuáles son esas palabras? Estas cuestiones no son baladíes, ya que no se
pueden plantear en el motor de búsqueda por la propia naturaleza de lo que
se pretende. En condiciones normales, solemos preguntarle a Google por una duda
o una información y nos devuelve una serie de enlaces a páginas web
relacionadas con nuestra cuestión y ahí elegimos un camino, más o menos
complejo, según la complejidad de nuestra duda, hasta llegar a resolvernos la
cuestión u obtener la información buscada pero, en este caso, no se puede
realizar ese proceso porque buscamos algo que no está en Google, es decir, algo a lo que no puede acceder el motor de búsqueda en internet.
Dejo al lector o
lectora la cuestión abierta (yo no sé la respuesta aunque le doy vueltas) para
que piense y no deje de pensar, que de eso se trata en este blog, de no
conformarse con lo que se nos dice, y no dejar de tener espíritu crítico con lo
que nos rodea.
martes, 17 de marzo de 2020
Matemáticas Recreativas: Tres Problemas No Resueltos
Las matemáticas
recreativas son, básicamente, juegos de lógica, cálculo, figuras o incluso
lingüísticos, con alguna dificultad, en
los que haya que aplicar algún tipo de estrategia para resolverlos o concluir
con alguna solución o soluciones. Pueden ser tan conocidos como el sudoku (se
usan números), el tres en raya (se usan figuras), el origami (se usa una simple
hoja de papel), o el cubo de Rubik. Pueden también ser tan sencillos como crear
figuras a partir de otras (ideal para que los niños se familiaricen con los
triángulos, cubos, pentágonos,...) o realizar ciertas operaciones matemáticas
sencillas con ciertas reglas para inferir algunos resultados (ideal para el
cálculo mental sencillo y la capacidad de abstracción).
O bien, pueden ser
tan complejos como el ajedrez (bien estudiado en Teoría de Juegos), el Cram o
el fantástico "juego de los filósofos" (personalmente, he intentado
jugarlo pero no he podido por su enorme complejidad). Sin mencionar el ajedrez
a cuatro o el ajedrez 3D, e idem para el juego de los filósofos, que añaden más
complejidad aún.
Me centro brevemente
en estos 3 juegos porque no han sido resueltos en su totalidad, es decir, no se
sabe cuál es, dada una posición cualquiera, la estrategia óptima que conduce a
la victoria. Esto se debe a que la llamada "matriz de pagos" correspondiente
al ajedrez y al juego de los filósofos es tan grande que no se puede
diagonalizar ni con la potencia de los procesadores actuales. No entraré en lo
que son estos conceptos por ser complicados y abstractos pero se refieren a la
Teoría de Juegos, mencionada anteriormente. En el caso del Cram, la dificultad
radica en la construcción de la base del juego, el tablero en sí. Son juegos de solo dos jugadores o rivales y
se juega por turnos alternos sin posibilidad de no jugar (saltar un turno). Estos
3 juegos son denominados "de suma cero", es decir, lo que un jugador
gana lo pierde el otro y, de los 3, en el Cram y en el ajedrez existe el empate
(un jugador pierde/gana la mitad de la puntuación, al igual que su oponente).
El Cram y el ajedrez son simétricos pero el juego de los filósofos no.
El Cram tiene como
base un tablero de n x m casillas, en
las que se van colocando figuras de 2 x 1
de un color cada jugador, por turnos alternos, de forma vertical u horizontal
sobre casillas libres hasta que gana el jugador que consigue poner una figura
en el tablero de forma que no se pueda poner otra. Reglas muy sencillas para un
juego matemático recreativo muy sencillo, ¿verdad? No tan sencillo...
A diferencia del
ajedrez o el juego de los filósofos en los que, incluso antes de comenzar a
jugar, ya hay una elevada (o elevadísima) complejidad, el Cram puede comenzar
con un tablero de 2 x 2 en el que,
obviamente, gana el jugador que no comienza el juego, ya que el primer jugador
ocupa casillas 2 x1 ó 1 x 2 (figura colocada de forma
horizontal o vertical, respectivamente), con lo que el segundo jugador solo
puede ocupar las casillas 2 x 1 ó 1 x 2 respectivamente, completando el
tablero y ganando. Este era el caso más
simple. La estrategia ganadora es muy sencilla en tableros de
casillas formadas por números par × par y par × impar. En el caso de un tablero par
x par el segundo jugador gana realizando
la jugada simétrica del primero, es decir, ante cualquier jugada que hace el
primer jugador, el segundo jugador tiene una jugada que corresponde de manera simétrica
al otro lado del eje horizontal y del eje vertical (el segundo jugador traspone las jugadas del
primer jugador). Si el segundo jugador es quien dirige esta estrategia, el
segundo jugador siempre va a hacer la última jugada completando así el tablero y
ganando el juego. En el caso de un tablero par × impar, el primer jugador
gana también por jugada simétrica. El primer jugador pone la primera figura en
las dos casillas centrales del tablero y el segundo jugador puede hacer
cualquiera jugada, respondiendo el primer jugador con una jugada simétrica, lo
que asegura la victoria para el primer jugador.
Se pueden ir viendo
las estrategias sobre tableros reales en los casos de 3 x3, 5 x 5 y en los
casos de tableros de la forma 1 x n. Según
sea el número n, se puede dar la
solución en algunos casos donde n es impar, pero, y aquí está la
respuesta a la pregunta anterior de juego matemático recreativo muy sencillo,
en el caso general para tableros con casillas impar × impar,
todavía no se ha resuelto.
Este último párrafo
no voy a explicarlo por su complejidad y entiendo la frustración del
lector/lectora de esta entrada, si ha llegado hasta aquí. Probar lo expuesto en
esas 5 líneas requiere conocimientos de Teoría de Juegos y Teoría de Juegos
Combinatorios, que escapan a este blog. Es fundamental entender el Teorema de
Sprague-Grundy y sus consecuencias para comprender que hasta en lo más
sencillo, a priori, como es el Cram, se encierra una enorme complejidad. Invito
a leer al autor Conway (y otros, por supuesto) para indagar en las razones del
párrafo precedente y así poder comprender un juego tan sencillo en apariencia.
Hasta aquí un breve acercamiento a 3 juegos matemáticos
recreativos no muy conocidos, salvo el ajedrez, que invitan a razonar y
abstraerse de la cotidianeidad del mundo en el que vivimos.
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