miércoles, 29 de julio de 2020

Un "Sencillo" Dibujo

   El teorema de la Curva de Jordan es importante, es bello, y es entendible incluso si no se poseen conocimientos matemáticos profundos. Dice así: "toda curva de Jordan C del plano (esto es, un subconjunto del plano homeomorfo (matemáticamente igual) al círculo), lo divide en, exactamente, dos componentes conexas, una acotada y la otra no acotada, cuya frontera común es la curva C."
   La clave principal de la demostración de este teorema, la cual es larga y técnica salvo si se usan las teorías de homología y homotopía, es el siguiente resultado que, si se dibuja, hasta un niño de corta edad lo puede entender sin dificultades. El enunciado riguroso es el siguiente:
"Sea X = [a,b] x [c,d] y sean g, h : [-1,1] -> X aplicaciones continuas. Sean p1 : X -> [a,b] y p2 : X-> [c,d] las proyecciones a los factores y supongamos que p1(g(-1)) = a, p1(g(1)) = b, p2(h(-1)) = c, p2(h(1)) = d. Entonces g([-1,1]) y h([-1,1]) tienen elementos en común {*}, al menos uno (es decir, su intersección es no vacía)." Intuitivamente es claro: en un rectángulo del plano, toda línea que va desde el borde superior hasta el borde inferior de forma continua, siempre corta a toda línea continua que va desde el borde izquierdo al borde derecho. Se puede ilustrar con el siguiente "sencillo" dibujo:

Así visto, parece muy sencillo probar pero esta simplicidad geométrica requiere complejidad analítica y algunos conocimientos avanzados. pongámosla en la pantalla:
   Supongamos, por el contrario, que g([-1,1]) y h([-1,1]) no tienen elementos en común, esto es, que su intersección es vacía. Se define N(s,t) = Sup{|p1(g(s)) - p1(h(t))|, |p2(g(s)) - p2(h(t))|}, para todos s y t en [-1,1]. N(s,t) no es cero para todos s y t en [-1,1] porque si para algún punto (s,t) de [-1,1] x [-1,1], fuera N(s,t) = 0, como está definido como el supremo de dos cantidades positivas (por estar ambas en valor absoluto), entonces ambas han de ser cero, luego |p1(g(s)) - p1(h(t))| = |p2(g(s)) - p2(h(t))| = 0, y por tanto, g(s) = h(t), lo cual se está suponiendo que no ocurre. Hay que tener en cuenta que N es una función continua por ser el máximo de dos funciones continuas.
   Se define F : [-1,1] x [-1,1] -> [-1,1] x [-1,1] como F(s,t) = ( [p1(h(t))-p1(g(s))]/N(s,t) , [p2(g(s))-p2(h(t))]/N(s,t) ), para todos s y t en el intervalo [-1,1]. La función F así definida es continua por ser cada componente cocientes de funciones continuas y, por la construcción de N, una de las componentes de F vale +1 ó -1, es decir, F([-1,1] x [-1,1]) está incluido en el conjunto Frontera del producto cartesiano de los intervalos, es decir, incluido en Fr([-1,1] x [-1,1]).
   Como [-1,1] x [-1,1] es homeomorfo a la bola cerrada de centro 0 y radio 1 y el homeomorfismo lleva Fr([-1,1] x [-1,1]) en S1, por el teorema del punto fijo de Brouwer (este es uno de los muchos teoremas de punto fijo), existe (s,t) en [-1,1] x [-1,1] tal que F(s,t) = (s,t), pero como F(s,t) está en Fr([-1,1] x [-1,1]), debe ser |s| =1 ó |t| = 1, es decir, 4 casos: s = 1, s = -1, t = 1, t = -1. Se hará a continuación uno de ellos y los demás son similares.
   Si s = 1, F(1,t) = (1,t) por lo que 1 = [p1(h(t))-p1(g(1))]/N(1,t) = [p1(h(t))-b]/N(1,t), pero p1(h(t)) es menor o igual a b, luego la diferencia es negativa y así [p1(h(t))-b]/N(1,t) es menor o igual que 0, lo que es una contradicción. Análogamente se hacen los otros 3 casos, con lo que se llega a contradecir la hipótesis inicial, por lo que se cumple lo enunciado en {*}.

Un curioso y simple dibujo que entraña complejidad y técnica para niños y no tan niños.

viernes, 19 de junio de 2020

El Método Axiomático (Bourbaki)

   Releyendo libros, he encontrado un interesante artículo que comparto en las líneas que siguen. Su autoría se debe a Nicolás Bourbaki que, curiosamente, no es una persona sino el pseudónimo bajo el cual se encuentra un grupo de matemáticos franceses (grupo misterioso, ya que nunca han dado a conocer ni todos sus miembros ni su número exacto), creado a principios del siglo XX para tratar de dar un enfoque nuevo a las bases de las matemáticas. Dicho artículo proviene de su "Teoría de Conjuntos" publicado en el año 1954 y se titula "El método axiomático". Espero se disfrute.
   ""Desde los griegos, quien dice matemáticas dice demostración; algunos ponen en duda incluso, que, fuera de las matemáticas, se encuentren demostraciones en el sentido preciso y riguroso que esta palabra ha recibido de los griegos y que se entiende que se le da aquí. Hay motivos para decir que en ese sentido no ha variado, pues lo que era una demostración para Euclides, lo es siempre para nosotros; y, en las épocas en que la noción amenazó con perderse y, por eso, las matemáticas estuvieron en peligro, se han buscado los modelos en los griegos. Pero, a esta indudable herencia se han añadido, desde hace un siglo, importantes conquistas.
   En efecto, el análisis del mecanismo de las demostraciones en unos textos matemáticos muy escogidos ha permitido deducir su estructura, desde el doble punto de vista del vocabulario y de la síntesis. De este modo, se llega a la conclusión de que un texto matemático bastante explícito podría ser expresado en un lenguaje convencional que sólo llevaría un pequeño número de <palabras> invariables, unidas por una sintaxis que consistiría en un pequeño número de reglas inviolables: semejante texto se llama formalizado. Por ejemplo, la descripción de una partida de ajedrez por medio de la notación usual o una tabla de algoritmos, son textos formalizados; las fórmulas del cálculo algebraico ordinario lo serían también si estuvieran completamente codificadas las reglas que gobiernan el empleo de los paréntesis y hubiera una estrecha conformación a ellos cuando, de hecho, algunas de esas reglas apenas se aprenden más que con el uso y el uso autoriza a hacer algunas derogaciones.
   La verificación de un texto formalizado solo exige una atención, en cierto modo mecánica, siendo las únicas causas posibles de error debidas a la longitud o la composición del texto: por eso, un matemático suele tener confianza en un compañero que le transmita un cálculo algebraico, ya que, por poco que sepa de ese cálculo, no es demasiado largo y está hecho con cuidado. Por el contrario, en un texto no formalizado se está expuesto a las faltas de razonamiento que corren el riesgo de entrañar, por ejemplo, el uso abusivo de la intuición, o el razonamiento por analogía... El método axiomático no es, propiamente hablando, otra cosa que el arte de redactar textos cuya formalización es fácil de conseguir. Eso no es una invención nueva, pero su empleo sistemático como instrumento de descubrimiento es uno de los rasgos originales de las matemáticas contemporáneas.""

miércoles, 22 de abril de 2020

Paradoja de los Viajes Espaciales

   La Teoría de la Relatividad Restringida que Einstein estableció en 1905, posee dos principios fundamentales:
1) Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. Este postulado generaliza el principio de relatividad de Galileo, el cual era válido solo para experimentos mecánicos.
2) La velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente luminosa. Este es un axioma CLAVE para entender toda la física moderna. Einstein trató de salvar el hecho de que si fuera posible que un observador se moviera con la velocidad de la luz, la velocidad relativa de ésta sería cero.
En sus propias palabras:
""Si yo persigo un haz de luz con velocidad C [velocidad de la luz en el vacío], debería observarlo como un campo electromagnético oscilatorio en reposo.Sin embargo, no ocurre tal cosa sobre la base de la experiencia o de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell [ecuaciones que describen todos los fenómenos electromagnéticos]. Desde el principio, me pareció intuitivamente claro que, desde el punto de vista del observador, todo ocurriría según las mismas leyes de un observador que estuviera en reposo sobre la Tierra. Pues, de otro modo, ¿cómo sabría el primer observador, es decir, cómo podría determinar que se encuentra en estado de movimiento uniforme?"".
   Analizando con detalle este principio, se puede afirmar que un observador acercándose o alejándose de una fuente luminosa, mide la misma velocidad para la luz que un observador en reposo con respecto a dicha fuente. Así, la noción clásica del tiempo absoluto queda desterrada.
   Por tanto, todos los fenómenos físicos que dependen del tiempo son relativos, como por ejemplo, la velocidad de las reacciones químicas, el movimiento de los electrones en sus átomos,... y los viajes espaciales: un observador A, situado en una nave espacial, será más joven que un observador B situado en la Tierra. La ciencia-ficción se ha nutrido durante décadas de este fenómeno, comprobado experimentalmente, por cierto.
   La Paradoja es la siguiente: "al observador B situado en la Tierra, le parece que el observador A, situado en la nave espacial, vive a un ritmo más lento que el suyo, pero al observador A le parece que el observador B es el que vive a un ritmo más pausado".
   ¿Tiene solución esta paradoja o se cumple siempre? Afortunadamente se puede resolver: supongamos que la nave en la que viaja el observador A, lo hace con una trayectoria rectilínea. Para poder comparar cuál de los dos observadores ha envejecido más, es claro que ambos deben reunirse, lo que crea una situación diferente, ya que si A sale desde la Tierra, parte del reposo acelarando hasta alcanzar una velocidad y después decelerar para volver al estado de reposo en la Tierra. Además, debe dar una vuelta en su camino rectilíneo, que supone una nueva aceleración debida al cambio en el sentido de la velocidad. Como el observador A acelera en su viaje, no se mueve con un movimiento uniforme y, por tanto, no puede aplicar la Teoría de la Relatividad Restringida, cosa que sí puede hacer el observador B que está situado en la Tierra, en reposo, por lo que las predicciones correctas las realiza el observador B y no el A, y así, se cumple la primera parte de la paradoja pero no la segunda.

viernes, 17 de abril de 2020

Sonido, Luz, Ondas, Huygens

   Huygens (1629 - 1695) es uno de los mayores científicos de la historia, sin lugar a dudas. En esta entrada traigo un fragmento de una publicación suya en la que explica el llamado "Principio de Huygens" referido a la naturaleza de la luz, trabajo posterior a sus aportaciones al estudio del sonido como onda.
   A título informativo y sin que sirva de precedente, la legislación española actual regula la contaminación acústica en la Ley 7/2007 llamada GICA, Gestión Integrada de la Calidad Ambiental, desarrollando el Decreto 326/2003 de Contaminación Acústica, así como la Ley 37/2003 del Ruido.


   En la polarización, cuando un rayo de luz incide sobre ciertos cuerpos transparentes, entre ellos el cristal de Islandia, se desdobla en dos rayos de tal manera que si sobre un papel dibujamos un punto y lo observamos a través de estos cristales, vemos dos puntos: uno en la posición normal y otro muy cerca de esta posición. Cuando el cristal se hace girar en el plano del papel de la imagen normal, queda fija pero la segunda imagen gira en torno a ella. Huygens no consiguió explicar este fenómeno.
   La teoría ondulatoria quedó aún más reforzada por Foucault en 1850: ideó un ingenioso procedimiento para medir la velocidad de la luz en distancias muy cortas (experimento Fizeau-Foucault). Así pudo conocer que, como preveía Hyugens, la luz viaja más despacio en el agua que en el aire con lo cual desechó la interpretación de la refracción dentro de la teoría corpuscular.

   Newton era favorable a una teoría corpuscular mientras que Huygens y Hooke optaban por una teoría ondulatoria con la cual interpretaban el hecho de que dos haces luminosos se cruzan sin perturbarse, algo difícil de entender dentro de la teoría mecánica-corpuscular. Huygens desarrolló en profundidad una teoría ondulatoria de la luz pero, suponiendo que, como las ondas acústicas, eran ondas longitudinales, mientras que Hooke defendía que estas ondas eran transversales.

   Lord Kelvin citaba: "nunca estoy satisfecho hasta que consigo el modelo mecánico de una cosa. Si puedo construir un modelo mecánico, entiendo el fenómeno", lo cual era el sentir de la comunidad científica de la época.
   Aquí dejo el texto literal, que es una delicia leer, sobre el comportamiento de esa gran desconocida y esquiva como lo fue la luz. Espero sea disfrutado.

   Fragmento del estudio "Traité de la Lumiére", Francia 1678, publicado en Países Bajos en 1690:
""Además, cuando se considera la gran velocidad a la que la luz se propaga hacia todos lados y que, cuando procede de diferentes lugares incluso completamente opuestos, los rayos se atraviesan sin impedimento, se comprende bien que cuando vemos un objeto luminoso, no puede ser por el transporte de una materia que llega desde el objeto hasta nosotros como una bala o una flecha que atraviesa el aire, pues asegurar esto, repugnaría demasiado a estas dos cualidades de la luz y, sobre todo, a la última [nota mía: se refiere a la dualidad onda-corpúsculo de la luz]. Debe propagarse entonces de otra manera y lo que nos puede llevar a comprenderlo es el conocimiento que tenemos de la propagación del sonido en el aire
   Sabemos que, por medio del aire, que es un cuerpo invisible e impalpable, el sonido se propaga a partir del lugar donde se ha producido, por un movimiento que pasa, sucesivamente, de una parte del aire a otra y que la propagación de este movimiento se hace con igual velocidad en todas direcciones, debiéndose formar como superficies esféricas que crecen siempre y que acaban por alcanzar nuestro oído.
   Ahora, si se examina cuál puede ser la materia en la que se propaga el movimiento que procede del objeto luminoso, a la que yo llamo éter, se ve que no es la misma que sirve para la propagación del sonido. Pues se encuentra que esta última es precisamente el aire que sentimos y que respiramos, el cual, eliminado de cualquier lugar, todavía deja la materia que sirve para la propagación de la luz. Esto se prueba encerrando un cuerpo sonoro en un vaso de vidrio del que se elimina el aire con la máquina que nos proporcionó M. Boyle y con la cual ha realizado muchos bellos experimentos. Pero haciendo este del que hablo, debe tenerse cuidado en colocar el cuerpo que suena sobre el algodón o sobre plumas de manera que no pueda comunicar vibraciones al vaso de vidrio que lo encierra o a la máquina, una precaución que, hasta ahora, había sido descuidada. Entonces, después de haber vaciado todo el aire, no se escucha el sonido del metal cuando es golpeado. Se ve aquí no solo que nuestro aire, que no penetra en absoluto en el vaso, es la materia en la que se propaga el sonido, si no también que no es el aire si no otra materia en la que se propaga la luz, pues eliminando el aire del vaso, la luz no deja de atravesarlo como antes... Cada pequeña región de un cuerpo luminoso, como el Sol, una vela o un carbón encendido, genera sus propias ondas de las cuales esta región es el centro [nota mía: el conocido como Principio de Hyugens].
   Pero lo que puede parecer completamente extraño y aún increíble, es que las ondulaciones por movimientos y corpúsculos tan pequeños pueden extenderse a distancias tan inmensas como, por ejemplo, desde el Sol o desde las estrellas hasta nosotros. Pues la fuerza de estas ondas debe debilitarse a medida que se separan de su origen, de manera que la acción de cada una de ellas en particular, resultará, sin duda, incapaz de hacerse sentir a nuestra vista. Pero dejaremos de asombrarnos considerando que a una gran distancia del cuerpo luminoso, una infinidad de ondas, cada una trazada desde puntos diferentes de este cuerpo, se unen de manera que realmente componen solo una onda que, por consiguiente, debe tener bastante fuerza para hacerse sentir. Así, este número infinito de ondas que nacen en el mismo instante de todos los puntos de una estrella fija tan grande como el Sol, no son prácticamente más que una onda, la cual puede tener bastante fuerza para impresionar nuestros ojos. Por otra parte, de cada punto luminoso pueden venir muchos miles de ondas luminosas en el menor tiempo imaginable, por la frecuente percusión de corpúsculos, que inciden en el éter en estos puntos, lo que contribuye todavía a hacer la acción más sensible. Hay todavía que considerar en la emanación de estas ondas que cada partícula de la materia en la cual se propaga una onda no debe comunicar su movimiento solamente a una partícula próxima que esté en línea recta trazada desde el punto luminoso, si no que lo comunica también necesariamente a todas las otras que la tocan y que se oponen a su movimiento. De manera que, es necesario que alrededor de cada partícula se forme una onda de la cual esta partícula sea el centro."".




viernes, 27 de marzo de 2020

¡Piensa Google, Piensa!


   Es bien sabido que Google es el motor de búsqueda más usado de internet en más de 100 idiomas con multitud de algoritmos internos que han ido incrementando su grado de complejidad desde la creación del buscador (a mediados de los años 90), de tal manera que, al principio, había que ser muy específico en la forma en la que el usuario le "preguntaba" para obtener resultados fiables. Prácticamente sólo se podían buscar sinónimos o frases cortas parecidas a las de la búsqueda y el buscador (éste y otros, puesto que todos los motores de búsqueda en esos tiempos eran muy rudimentarios) devolvía las páginas web donde estaban los textos que incluían esas frases, algo muy sencillo y poco práctico. Actualmente, al motor de búsqueda se le pueden hacer incluso preguntas y nos devuelve una gran cantidad de páginas webs relacionadas con nuestra cuestión e incluso, una búsqueda de esa búsqueda supone ya un gran acierto sobre lo que desea encontrar el usuario. Además, hoy en día, se le puede pedir a Google que realice ciertos cálculos matemáticos y traducciones entre idiomas. Aunque, por experiencia propia, he de decir que esto último debe profundizarse porque las traducciones suelen no acertar, salvo del idioma inglés a otro o viceversa, pero estoy seguro que en poco tiempo Google sabrá corregir este fallo y ampliar su grandiosidad con ésta y más opciones.
   Hasta aquí todo correcto y aséptico pero a mí me gusta retorcer las cosas, quienes lean este blog lo saben bien, por lo que planteo en esta entrada una cuestión sencilla a priori pero que (creo) encierra algo de dificultad, si no bastante. Cualquier usuario de internet y, por tanto, más o menos usuario de alguna característica de Google, pensará que en este maravilloso motor de búsqueda está todo lo habido y por haber: desde todas las recetas culinarias posibles, pasando por la historia de la humanidad, o todas las predicciones futuras, hasta la gran mayoría de idiomas del mundo en todos sus formatos, desde el chino, el inglés, el cirílico, el árabe, el español, las lenguas muertas, los geroglíficos, etc, etc, es decir, prácticamente todo lo que se sabe y lo que se sabrá, teniendo en cuenta que cada día se añaden millones de páginas web con todo tipo de información donde este buscador busca y rebusca (sin entrar en la Deep Web, ese es otro tema).
   La pregunta que planteo es la siguiente: ¿existe alguna palabra con significado (en idioma español, aunque se podría plantear la pregunta para otros idiomas) que NO aparezca en Google? En caso afirmativo, ¿es única o existe más de una?, y ¿cuál es o cuáles son esas palabras? Estas cuestiones no son baladíes, ya que no se pueden plantear en el motor de búsqueda por la propia naturaleza de lo que se pretende. En condiciones normales, solemos preguntarle a Google por una duda o una información y nos devuelve una serie de enlaces a páginas web relacionadas con nuestra cuestión y ahí elegimos un camino, más o menos complejo, según la complejidad de nuestra duda, hasta llegar a resolvernos la cuestión u obtener la información buscada pero, en este caso, no se puede realizar ese proceso porque buscamos algo que no está en Google, es decir, algo a lo que no puede acceder el motor de búsqueda en internet.
   Dejo al lector o lectora la cuestión abierta (yo no sé la respuesta aunque le doy vueltas) para que piense y no deje de pensar, que de eso se trata en este blog, de no conformarse con lo que se nos dice, y no dejar de tener espíritu crítico con lo que nos rodea.

martes, 17 de marzo de 2020

Matemáticas Recreativas: Tres Problemas No Resueltos


   Las matemáticas recreativas son, básicamente, juegos de lógica, cálculo, figuras o incluso lingüísticos, con alguna dificultad, en los que haya que aplicar algún tipo de estrategia para resolverlos o concluir con alguna solución o soluciones. Pueden ser tan conocidos como el sudoku (se usan números), el tres en raya (se usan figuras), el origami (se usa una simple hoja de papel), o el cubo de Rubik. Pueden también ser tan sencillos como crear figuras a partir de otras (ideal para que los niños se familiaricen con los triángulos, cubos, pentágonos,...) o realizar ciertas operaciones matemáticas sencillas con ciertas reglas para inferir algunos resultados (ideal para el cálculo mental sencillo y la capacidad de abstracción).
   O bien, pueden ser tan complejos como el ajedrez (bien estudiado en Teoría de Juegos), el Cram o el fantástico "juego de los filósofos" (personalmente, he intentado jugarlo pero no he podido por su enorme complejidad). Sin mencionar el ajedrez a cuatro o el ajedrez 3D, e idem para el juego de los filósofos, que añaden más complejidad aún.
   Me centro brevemente en estos 3 juegos porque no han sido resueltos en su totalidad, es decir, no se sabe cuál es, dada una posición cualquiera, la estrategia óptima que conduce a la victoria. Esto se debe a que la llamada "matriz de pagos" correspondiente al ajedrez y al juego de los filósofos es tan grande que no se puede diagonalizar ni con la potencia de los procesadores actuales. No entraré en lo que son estos conceptos por ser complicados y abstractos pero se refieren a la Teoría de Juegos, mencionada anteriormente. En el caso del Cram, la dificultad radica en la construcción de la base del juego, el tablero en sí. Son juegos de solo dos jugadores o rivales y se juega por turnos alternos sin posibilidad de no jugar (saltar un turno). Estos 3 juegos son denominados "de suma cero", es decir, lo que un jugador gana lo pierde el otro y, de los 3, en el Cram y en el ajedrez existe el empate (un jugador pierde/gana la mitad de la puntuación, al igual que su oponente). El Cram y el ajedrez son simétricos pero el juego de los filósofos no.


   El Cram tiene como base un tablero de n x m casillas, en las que se van colocando figuras de 2 x 1 de un color cada jugador, por turnos alternos, de forma vertical u horizontal sobre casillas libres hasta que gana el jugador que consigue poner una figura en el tablero de forma que no se pueda poner otra. Reglas muy sencillas para un juego matemático recreativo muy sencillo, ¿verdad? No tan sencillo...
   A diferencia del ajedrez o el juego de los filósofos en los que, incluso antes de comenzar a jugar, ya hay una elevada (o elevadísima) complejidad, el Cram puede comenzar con un tablero de 2 x 2 en el que, obviamente, gana el jugador que no comienza el juego, ya que el primer jugador ocupa casillas 2 x1 ó 1 x 2 (figura colocada de forma horizontal o vertical, respectivamente), con lo que el segundo jugador solo puede ocupar las casillas 2 x 1 ó 1 x 2 respectivamente, completando el tablero y ganando.  Este era el caso más simple. La estrategia ganadora es muy sencilla en tableros de casillas formadas por números par × par  y par × impar. En el caso de un tablero par x par el segundo jugador gana realizando la jugada simétrica del primero, es decir, ante cualquier jugada que hace el primer jugador, el segundo jugador tiene una jugada que corresponde de manera simétrica al otro lado del eje horizontal y del eje vertical (el segundo jugador traspone las jugadas del primer jugador). Si el segundo jugador es quien dirige esta estrategia, el segundo jugador siempre va a hacer la última jugada completando así el tablero y ganando el juego. En el caso de un tablero par × impar, el primer jugador gana también por jugada simétrica. El primer jugador pone la primera figura en las dos casillas centrales del tablero y el segundo jugador puede hacer cualquiera jugada, respondiendo el primer jugador con una jugada simétrica, lo que asegura la victoria para el primer jugador.
   Se pueden ir viendo las estrategias sobre tableros reales en los casos de 3 x3, 5 x 5 y en los casos de tableros de la forma 1 x n. Según sea el número n, se puede dar la solución en algunos casos donde n es impar, pero, y aquí está la respuesta a la pregunta anterior de juego matemático recreativo muy sencillo, en el caso general para tableros con casillas impar  ×  impar, todavía no se ha resuelto.
  Este último párrafo no voy a explicarlo por su complejidad y entiendo la frustración del lector/lectora de esta entrada, si ha llegado hasta aquí. Probar lo expuesto en esas 5 líneas requiere conocimientos de Teoría de Juegos y Teoría de Juegos Combinatorios, que escapan a este blog. Es fundamental entender el Teorema de Sprague-Grundy y sus consecuencias para comprender que hasta en lo más sencillo, a priori, como es el Cram, se encierra una enorme complejidad. Invito a leer al autor Conway (y otros, por supuesto) para indagar en las razones del párrafo precedente y así poder comprender un juego tan sencillo en apariencia.
   Hasta aquí un breve acercamiento a 3 juegos matemáticos recreativos no muy conocidos, salvo el ajedrez, que invitan a razonar y abstraerse de la cotidianeidad del mundo en el que vivimos.