Las Paralelas Ganan a las Perpendiculares

 

    Rectas paralelas y rectas perpendiculares. No es necesario tener ningún conocimiento matemático profundo para saber distinguir estos conceptos en el plano y su significado. Ahora bien, ¿existe alguna relación “interesante” entre todas las rectas paralelas, entre sí, y entre todas las rectas perpendiculares entre sí, que las diferencie con una objetividad, me atrevería a decir de calidad, y sea diferenciadora en cuanto a estructura matemática? La respuesta es afirmativa.

    Es intuitivo, desde el colegio, que dos rectas paralelas son aquellas que no se cortan en ningún punto (en los niveles bajos de la enseñanza se dice así) aunque, estrictamente, sí se cortan, en el infinito, ese lugar tan abstracto y complejo que mejor no pensar en él. Nos quedamos pues, con el concepto de que dos rectas son paralelas si no se cortan. Además, dichas rectas paralelas cumplen un axioma importante que afirma que por un punto del plano solo se puede trazar una recta paralela a una recta (este axioma no se cumple en el espacio) Sin embargo, se dice que dos rectas son perpendiculares si se cortan pero de un modo especial, de tal forma que esas rectas forman un ángulo recto, de 90º.

    Voy a mostrar en esta entrada que entre todas las rectas paralelas a una recta dada, existe una relación muy importante en las matemáticas pero que las rectas perpendiculares no poseen: la Relación Binaria de Equivalencia (RBE). Una RBE permite obtener las clases de equivalencia de un conjunto y formar el conjunto cociente, clave para estudiar grupos abstractos, pero no entraré aquí en este tema.

    Muy básicamente, una relación en lógica de conjuntos se dice que es Binaria si, dados dos elementos del conjunto producto-cartesiano, la relación entre ellos se cumple. Aunque es una definición muy amplia y dispersa, es la base para establecer estructuras de conjuntos hasta poder ordenarlos de forma absoluta a nivel matemático. Para el propósito de esta entrada, diré que es la base para crear la relación binaria que nos interesa; la de equivalencia.

    Por tanto, una relación binaria se dice que es de Equivalencia si cumple tres leyes lógicas básicas, que son: reflexiva, simétrica y transitiva. Así, la propiedad reflexiva se refiere a un único elemento del conjunto, la simétrica tiene en cuenta la relación entre dos elementos y la transitiva relaciona dos elementos con un tercero. Veámoslo para nuestro ejemplo particular enunciado, es decir, vamos a probar que el paralelismo de rectas en el plano es una RBE:

   Para ello, se puede definir el paralelismo de rectas en el plano de la siguiente forma: dos rectas del plano son paralelas si su intersección es nula o si las rectas coinciden. Su expresión matemática sería de la forma rr´ =  ó bien, r  r´. Como ejemplos prácticos, mencionar que dos rectas del plano son paralelas si tienen el mismo vector director pero su término independiente es distinto, como es el caso de la recta x + y - 1 = 0 y la recta x + y +3 = 0. La recta 2x - y + 5 = 0  y la recta -4x +2y - 10 = 0 son la misma puesto que la segunda recta es la primera multiplicando cada coeficiente por -2. Veamos las propiedades mencionadas antes:

- reflexiva: toda recta es paralela a ella misma, ya que r  r´.

- simétrica: si una recta es paralela a otra, la segunda es paralela a la primera, ya que si rr´ =   r´r =  ó bien, si r  r´  r´  r, por lo que la segunda es paralela a la primera.

- transitiva: si la recta r es paralela a la recta r´ y ésta es paralela a r´´, entonces r y r´´ son paralelas. Para probar esta propiedad, supongamos que r y r´´ no son paralelas. Entonces, se cortarán en algún punto P del plano, es decir, rr´´ =P. Así, por este punto se podrán trazar dos paralelas a r´, lo cual contradice la axiomática de las rectas paralelas del plano comentada al comienzo de estas líneas, que afirma que por un punto de un plano solo puede pasar una paralela a una recta dada.

    Así pues, el paralelismo de rectas en el plano cumple los requisitos de tener una RBE por lo que el conjunto de todas las rectas del plano queda compartimentado en clases de equivalencia.

    Veamos el caso más sencillo de las rectas perpendiculares del plano. Aquí, es evidente que ninguna recta es perpendicular a ella misma por la propia definición de perpendicularidad, por lo que la propiedad reflexiva no se cumple y así no se obtiene la RBE. Sí se verifica la propiedad simétrica de forma clara pero tampoco se verifica la propiedad transitiva, ya que dos rectas del plano que son perpendiculares a una tercera, sucede que entre ellas son paralelas y no perpendiculares.

   Se ha probado que la propiedad del plano “ser recta paralela a otra” es muy importante y tiene unas características muy interesantes, pero no así en lo que respecta a las rectas perpendiculares, que aparentan tener más dificultad o misterio que las paralelas.

Radar de Tramo, ¿Cómo Funciona?

 

   Un radar de tramo es capaz de medir la velocidad media de un vehículo entre dos puntos y saber si se ha superado el límite de velocidad establecido para ese tramo. Es útil en situaciones en las que no se puede instalar un radar fijo por problemas de visibilidad o cualquier otra circunstancia que entorpezca el desempeño habitual de los radares estandarizados de nuestras carreteras. Un ejemplo de situación de su uso sería para el cálculo de la velocidad de los vehículos en un túnel que, por sus características, impide la colocación de un radar fijo en su interior. Veamos un ejemplo práctico del funcionamiento de este tipo de dispositivos que, obviamente, hace (un buen) uso de las matemáticas, concretamente de un resultado muy importante.

 

   Dos coches patrulla equipados con radar móvil distan 5 kilómetros entre sí en una carretera cuyo límite de velocidad es de 70 km/h. Un camión pasa por delante del primero a una velocidad v = 55 km/h y, 4 minutos después pasa ante el segundo con una velocidad v = 50 km/h. Probar que el camión superó el límite de velocidad de ese tramo de carretera en algún punto entre los coches patrulla.

Consideremos T = 0 (horas) el instante en el que pasa a la altura del primer coche patrulla. Entonces, el camión pasa por el segundo coche cuando T = 4/60 = 1/15 = 0,066 horas.

Llamemos f(T) a la función que mide la distancia recorrida por el camión, en kilómetros, en relación al tiempo medido en horas. Así, f(0) = 0; f(0,066) = 5, puesto que al cabo de 4 minutos, el camión ha recorrido los 5 kilómetros que distan entre los dos coches patrulla.

La velocidad media es v_med = [f(0,066) – f(0)] / (0,066 – 0) = 75,75  76 km/h. Como la función de posición f es derivable (es una función lineal, continua, sin picos y acotada en el intervalo de tiempo considerado), el Teorema del Valor Medio (TVM) asegura que en algún punto entre los coches patrulla, el camión ha viajado a 76 km/h, por lo que ha superado el límite de velocidad establecido para ese tramo de vía.

TVM: Sea una función f continua en un intervalo [a, b], b>a, y derivable en (a, b). Entonces, existe un punto c ∈ (a, b) / f´(c) = [f(b) – f(a)] / (b – a). Este teorema afirma que existe al menos un punto c que cumple esas condiciones, pero no dice nada sobre si es único o no.

   Es necesario destacar que la función f que se ha usado se encuentra en forma implícita y no está planteada de forma explícita, es decir, no es de la forma f(x) = …, simplemente ha interesado saber sus valores en los puntos que interesaban para la resolución de este curioso problema.

 

Límites, Ley de Charles - Gay-Lussac, el Cero Absoluto

 

    En la escala Kelvin el cero absoluto es 0 K. Se han conseguido aproximaciones de 0,000000005 K en laboratorio pero no es posible alcanzar ese cero absoluto, según el tercer principio de la termodinámica que afirma que “se paraliza todo” a nivel microscópico. Entonces, ¿cómo se determina que 0 K es el límite inferior de la temperatura de la materia? Y, ¿cuál es el cero absoluto en la escala Celsius? Vamos a contestar aquí a estas preguntas de una forma sencilla.

El enunciado fundamental es la Ley de Charles que dice: “el volumen de un gas a presión constante crece linealmente con la temperatura”, que se expresa con V = RT, donde R es una constante.

En su experimento, Jacques Charles estableció los siguientes valores de 1 mol de Hidrógeno a presión constante de 1 atmósfera:

¿Cómo se relacionan la temperatura T y el volumen V? Mediante la expresión lineal V = 0,08213T + 22,4334. El valor que acompaña al parámetro T es la pendiente de la recta, cuya expresión es (V_i – V_j) / (T_i – T_j), y el término independiente proviene del valor de V cuando T = 0 ( V = 22,4334). Despejando, T = (V – 22,4334) / 0,08213 .

    Como el volumen del gas puede acercarse a 0 (pero nunca tomar valores negativos), se tiene así que la mínima temperatura posible es lim _{V → 0}⁺ (V – 22,4334) / 0,08213 = -273,14501 que se aproxima por comodidad a -273,15 C.

Más Cables, ¿Cuánto Miden?

 

    Un cable eléctrico que cuelga de dos torres distantes entre sí 200 metros, adopta la forma de una catenaria de ecuación y = (e^{x / 150} + e ^{-x / 150}) = cosh (x/150). Calcular la longitud del cable considerado.

Este es un pequeño problema que se le puede plantear al avezado observador y con el que trabajan habitualmente los ingenieros y plantea otra curiosidad sobre los cables y estructuras colgantes, como ya planteé en la entrada “Cables. Su Punto de Equilibrio”.

Es necesario el conocimiento básico de un par de cuestiones que, sin ir más lejos, son objeto del temario de matemáticas de secundaria (si no lo son, deberían serlo). Para ello, voy a definir dos conceptos que serán los utilizados para la correcta resolución de la cuestión arriba enunciada.

Definición 1: Si la gráfica de y = f(x) en el intervalo [a, b] es una curva suave, se define la longitud de arco de la curva en el intervalo como 

 

Esta definición proviene de aplicar el Teorema del Valor Medio (TVM) a la aproximación de la longitud de una gráfica por medio de segmentos rectos usando particiones.

Definición 2: Una catenaria es la forma que adopta un cable flexible uniforme suspendido de dos soportes de la misma altura (aunque no es necesario) como un hilo telefónico, una cadena, etc. En un entorno pequeño de su extremo inferior se asemeja a una sección de una parábola o una elipse. Se fórmula es         y = a cosh (x/a), siendo cosh el coseno hiperbólico de ecuación cosh x = (e^x + e ^-x)/2, y a el extremo inferior de la curva.

Con las herramientas anteriores, vamos a calcular, sin más que ir sustituyendo los datos, la longitud del cable pedida:

Teniendo en cuenta que la distancia entre las torres es de 200 metros, nuestro intervalo [a, b] es [-100, 100]. Esos son los límites de integración de la longitud de arco

y´ = ½ (e ^{x / 150} – e^{-x / 150})  hay que integrar entre los límites -100 y 100 la expresión                             ½ ( e ^{x / 150} – e^{-x / 150})²  s = (1) = 75 [ e ^{x / 150} – e^{-x / 150}] evaluada en los límites de integración  s = 150 (e ^⅔ – e ^-2/3)  (aproximado) 215 metros.

En (1) se ha usado ∫f´(x) e^f(x) dx = e^f(x) + c. En este caso, f(x) = x/150  f´(x) = 1/150

Desintegración Radiactiva: Ecuación Diferencial

 

    En la entrada “una ecuación diferencial importante” comenté el método de datación por Carbono-14, que es el método más habitual para estimar la fecha de estructuras geológicas o arquitectónicas. Ahora trataré, brevemente, la desintegración radiactiva, que también hace uso de una ecuación diferencial.

    Supongamos que en un accidente nuclear grave como el de Chernobyl o Fukushima, o una explosión nuclear, se liberan 10 gramos de Pu-239, un isótopo del Plutonio. Podría surgir la siguiente duda: ¿cuánto tiempo hará falta para que sólo quede 1 gramo en la naturaleza o una cantidad x?

Sea y la masa del Plutonio en gramos. Se sabe que el ritmo de desintegración sigue la ecuación diferencial de variables separadas y´ = ky  dy /dx = ky cuya solución es y = ce^kt, sin más que integrar de forma directa, con t en años.

Como en el instante inicial se liberan 10 gramos, es decir, t = 0  y = 10 (condiciones iniciales)  10 = ce^{k 0}  10 = ce⁰  c = 10.

Se sabe que el periodo de semidesintegración del isótopo Pu-239 (esto es, para y = 5, puesto que semidesintegración equivale a la mitad) es de 24360 años. [Nota: el periodo de semidesintegración del isótopo de Uranio U-238, es de 4468000000 años, ahí queda el dato]. Tenemos así, 5 = 10e^24360k  (resolviendo la sencilla ecuación exponencial tomando logaritmos en ambos miembros y despejando)  k  (aproximado) 0,0000284 por lo que y  10 e ^{-0,0000284 t}.

La ecuación diferencial anterior es la herramienta para saber cuánto quedará en la naturaleza de una cantidad x en gramos de un residuo radiactivo del Plutonio. En nuestro caso particular, basta sustituir y = 1, la cantidad pedida, y calcular el tiempo t en años, es decir, resolver  1 = 10 e ^{-0,0000284 t}: 

Ln(1/10) = Ln(e ^{-0,0000284 t})  t = -Ln(0,1) / 0,0000284 = 80923,072 años  80923 años.

   Con este sencillo ejemplo se pone de manifiesto la importancia de conocer el mecanismo de desintegración de las sustancias radiactivas de forma natural, para poder así evaluar el tiempo que permanecen éstas expuestas en la naturaleza, como en el caso de los accidentes nucleares, o para conocer los tiempos de almacenamiento de los combustibles radiactivos usados en las centrales nucleares y saber, por tanto, cuándo desciende su peligrosidad para los seres vivos.