Uso y Abuso del Lenguaje: Paradoja de Berry

   Ya van varias entradas sobre paradojas lógico-matemáticas y mi interés radica en que la vida en sí y, por tanto, la forma más habitual de comunicación, el lenguaje hablado o escrito, contiene graves inexactitudes que derivan en esas contradicciones que chocan a simple vista. La clave está en ser críticos y fijarnos en lo que subyace en cada paradoja: un intento de engaño abusando del lenguaje formal, entendiendo éste como el lenguaje formal llamado `de primer nivel o  nivel 1´, como se puede apreciar en la entrada inmediatamente anterior a ésta que escribo. Todas las paradojas o, la inmensa mayoría, se reducen a la paradoja madre, la paradoja de Russell, ya comentada en otras entradas. Dicha contradicción formal no tiene sentido en el lenguaje usado habitualmente para comunicarnos pero sí es resoluble en una lógica formal de orden superior.
   Por poner un ejemplo sencillo, la frase de nuestro lenguaje (o cualquier otro de traducción) "¿qué hay al norte del Polo Norte?" no tiene sentido (ni siquiera es una contradicción) ya que el punto más al norte que existe es el Polo Norte pero nuestro lenguaje nos permite construirla con exactitud semántica, sintáctica y gramática. Lo mismo sucede si nos referimos al Polo Sur, no así este u oeste. Los lenguajes de orden superior solventan este grave inconveniente poniendo reglas para, obviamente, impedir ese tipo de construcciones. Cualquier lenguaje de programación es un lenguaje de orden superior porque un algoritmo no permite construir sentencias como la anterior sin provocer un error que se deba depurar. Y la forma en la que un algoritmo depura una entrada es eliminándola.
   La paradoja de Berry que trato aquí, abusa del lenguaje en el sentido explicado más arriba. Su enunciado coloquial es: la siguiente frase es una contradicción en sí misma, "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras". Evidentemente, implícitamente está la idea de encontrar ese número de forma explícita. Así, quedarían excluidos los números enteros específicos de la forma "dos decenas", "mil millones de millones", "dos elevado a ciento veintitres", etc. Una cosa es clara: el conjunto de esos números enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es un conjunto finito, lo cual es un hecho muy significativo e importante puesto que no hablamos así de cardinalidad. Así pues, este conjunto finito no puede contener a todos los enteros positivos por lo que existe algún entero positivo que es el menor de los enteros que no está contenido en ese conjunto. ¿Cuál es explícitamente? Imposible saber cuál es. La razón es que la frase "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras" ya está definiendo a ese número pero esa frase solo tiene 14 palabras. Choque de trenes.
   Este tipo de frases encarnan las llamadas falacias 'Vicious Circle' (del círculo vicioso) y son frases que se refieren a ellas mismas y se resuelven como indiqué más arriba, evitando construirlas.
Formalmente, la paradoja de Berry es de la siguiente forma:

1) Sea A el conjunto de todas las palabras del idioma español (se puede extrapolar a cualquier otro idioma formado por palabras).

2) Sea X el conjunto de todas las posibles frases de A.
3) Definimos Y - |Y| = |X| donde, para todo y de Y, como número natural, entonces y < |X|, siendo |.| el número de elementos del conjunto. Así, Y es un conjunto de números enteros positivos.
4) Sea f : X <--> Y una aplicación biyectiva entre frases de X y números enteros positivos de Y.

La idea está en construir explícitamente esa función f, pero la paradoja afirma que existe un elemento de X tal que su imagen por f, es decir, f(x) no está en el conjunto Y, lo cual se contradice con el hecho de que f es una biyección (todo elemento del conjunto final es imagen de algún elemento del conjunto inicial y la imagen de todo el conjunto inicial es todo el conjunto final, es decir, es una aplicación uno-a-uno sin dejar elementos sin de ambos conjuntos sin relacionarse).
   No voy a entrar en cuestiones más serias de explicaciones puras porque entran en juego ciertos conceptos que, entiendo, aburren y esa no es la idea de este blog ni de esta entrada (comlpejidad de Kolmogorov, isomorfismo computable,...). Simplemente he querido mostrar, una vez más, que nuestro lenguaje (el formal de tipo 1, no me refiero al idioma) es susceptible de ciertas sutilezas que permiten construir frases como la paradoja de Berry u otras analogías que merecen la pena ser explicadas para no caer en esos círculos viciosos del uso y el abuso de la comunicación.

Paradoja del Chocolate Infinito y Paradoja de las Patatas

   Volviendo al tema de las paradojas que dejé aparcado hace un tiempo con las entradas Paradojas , Paradoja de Banach-Tarski, Paradoja de la Ecuación de Drake, me referiré en esta entrada a dos resultados muy curiosos, como son la ´paradoja del chocolate infinito´  y la `paradoja de las patatas´, ambas referidas, obviamente, en lenguaje coloquial y que no entran rigurosamente en el conjunto de las paradojas propiamente dichas ya que, este conjunto, contiene elementos que no se pueden resolver con la lógica formal del lenguaje formal, valga la redundancia, por lo que requieren elevarse al nivel del meta-lenguaje. En ese conjunto de paradojas estarían, por citar algunos ejemplos, la paradoja de Russell, las paradojas de Zenón, o la paradoja del examen sorpresa., tal y como relato en las entradas arriba mencionadas.

   Las supuestas paradojas de la entrada actual (supuestas porque no son tales) son engaños matemáticos que nos hacen ver que no todo es tan intuitivo como aparenta y que, cualquier cuestión, merece ser analizada con detalle.

-Paradoja del chocolate:

   Este resultado es, matemáticamente, la `paradoja del cuadrado perdido´ y se refiere a un caso especial de la división en exactamente 4 piezas de un triángulo rectángulo. El detalle de las 4 piezas es crucial para conseguir el efecto esperado (un espacio en blanco al reordenar las piezas o, si tratamos con chocolate, un cuadrado “gratis” de chocolate nacido de la nada, de ahí la frase `chocolate infinto´): si dividiéramos el triángulo en 3 piezas, al reordenarlas probablemente no conseguiríamos un triángulo rectángulo; si lo dividimos en solo 2 piezas es absurdo reordenarlas para intentar conseguir algún hueco en blanco; si lo dividiéramos en más de 4 piezas no sería tan evidente conseguir un espacio en blanco si no que “bailarían” las piezas no encajando bien entre sí, por lo que la división del triángulo en exactamente 4 piezas es la ideal para conseguir el efecto buscado. La idea que subyace de esta contradicción es que no tratamos con un TRIÁNGULO si no con un CUADRILÁTERO (figura con 4 lados, aunque aquí son muy sutiles y a simple vista casi no se distinguen de los tres lados de un triángulo).

 

   (1)

(2)

   El ‘triángulo’ 1 tiene, entre las piezas roja y azul, un punto de inflexión en las coordenadas (8,3), no es una línea recta continua, al igual que ocurre en el ‘triángulo’2, esta vez en la coordenada (5,2). Ahí está la clave de la supuesta paradoja cuya hipótesis es que partimos de un triángulo (el 1) cuando en realidad no lo es ya que los puntos (0,0), (8,3) y (13,5) no están alineados, no pertenecen a una misma recta, por eso falla el razonamiento o tesis y se llega a que obtenemos un cuadro en blanco en la figura 2 entre las coordenadas 7 y 8 del eje de abcisas. Esta nueva figura pasa por los puntos (0,0), (5,2) y (13,5) que tampoco están alineados. Por tanto, la clave está en la hipótesis y en las áreas de cada una de las piezas de colores. Cada una de las piezas son de la siguiente forma:

La roja y la azul son triángulos rectángulos de base 8 y altura 3, y base 5 y altura 2, respectivamente, por lo que sus área son (8x3)/2 = 12 y (5x2)/2 = 5.

La figura verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de base 2 y altura 1, por lo que su área es (5x2) – (2x1) = 8, y la figura amarilla es también un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de base 3 y altura 1, y así su área es (5x2) – (3x1) = 7.

Así pues, el área total de estas figuras es la suma de sus áreas: 12 + 5 + 8 + 7 = 32

   Pero si cogemos todo el ‘triángulo’ de la figura 1 en un solo bloque, su área es (13x5)/2 = 32.5. Como el área de ese cuadrado es 1x1 = 1 y 32.5 – 32 = 0.5, ¿dónde está lo que falta para completar el área igual a 1? Está en el casi inapreciable pico que se forma desde el punto (0,0) hasta el (5,2) y desde éste hasta el (13,5). Esa pequeña diferencia entre el cuadrilátero de la figura 2 y el irreal triángulo que se ve, es ese 0.5 que falta (haciendo cálculos) para completar el área de ese cuadrado que falta. La superficie de la figura 1 es de 32 cuadrados y la de la figura 2 es de 33 cuadrados.

   Extrapolando este resultado obtenemos la `paradoja del chocolate infinito´ que tanto ha circulado por internet con una salvedad: en los vídeos del chocolate, la tableta ya aparece cortada desde el principio, siempre a conveniencia de quien realiza el vídeo, nunca aparece una tableta entera que se corta con cuchillo en vivo y se mueven las piezas, ahí está el engaño.

-Paradoja de las patatas:

   Es una paradoja más sencilla que la anterior pero que engaña a nuestra intuición. Se enuncia así: tenemos 100 kg de patatas con un peso de 99% agua, las deshidratamos hasta conseguir un peso de 98% de agua, ¿cuánto pesan ahora?, ¿99 kg?

La intuición nos lleva automáticamente a dar como correcta esa respuesta, 99 kg, pero nada más lejos de la realidad puesto que el peso que conseguimos es solo de 50 kg. 

   La clave aquí está en las proporciones porque el 98% agua significa que el 2% es sólido que corresponde a 1 kg (el sólido inicial era de 1 kg al ser el 1% de los 100 kg de patatas y no se ve afectado por la deshidratación del producto, siempre es 1 kg) y, si x es el nuevo peso de las patatas, entonces 0.02x = 1  =>  x = 50 kg, esto es, 1 kg de sólido y 49 kg de agua.

   Las contradicciones del lenguaje de la vida cotidiana nos ofrecen estos pequeños juegos matemáticos que sirven para ilustrar la eficacia de saber aprovechar los conocimientos abstractos matemáticos en cuestiones reales de nuestro día a día.