Ejemplo de Método de Integración de Feynman

    

   Richard Feynman fue uno de los más grandes físicos de nuestro tiempo, colaborador en el proyecto Manhattan y premio Nobel de Física, además de un personaje simgular, un genio en todos los sentidos. Una de sus múltiples virtudes fue el inconformismo con lo establecido, así que decidió que crearía un método propio para el cálculo de integrales. Una vez cayó en mis manos uno de sus libros sobre física teórica y me resultó de una complejidad pasmosa. La información sobre Feynman que existe en internet es amplia por lo que exhorto al lector a que indague en pos de satisfacer sus inquietudes. Aquí expongo un ejemplo del curioso método de resolución de integrales. La idea básica es añadir a la función a integrar, otra función que depende de otro parámetro para así simplificar la función inicial y poder conseguir una integral inmediata o que lleve rápidamente a una inmediata, todo ello sin utilizar la forma habitual que es, o bien un cambio de variable, o bien una transformación elemental (sin introducir nuevos parámetros), o bien usando integración por partes, o bien una combinación de alguna de estas técnicas elementales. Con una enseñanza adecuada, esta forma de integrar funciones se podría aprender en secundaria pero, tal y como está actualmente el nivel educativo, dicha forma de cálculo escapa hasta nivel universitario. Una lástima.

   Que un físico diga que la integral de una función es su antiderivada es sostenible pero un matemático debe poner mucho entrecomillado en dicha afirmación como yo hago aunque no traigo aquí esta cuestión. Sin perderme en más detalles, comentaré que, lamentablemente, la plataforma de blogger en la que escribo no posee herramientas específicas para escribir en lenguaje matemático por lo que siempre tengo que recurrir a otras aplicaciones, no sin dificultades, para poder explicar así la mayoria de entradas de este blog. Esta es una de las razones por las que no hago entradas de caracter más técnico. Por ello, esta vez he decidido escribir el ejemplo comentado anteriormente de mi puño y letra y añadirlo a continuación como una imagen insertada. No es lo habitual en este blog y no lo será, espero que sirva.

 

Pinceladas Sobre el Principio de Sustentación y el Teorema de Bernoulli

    Desde que el hombre tiene conciencia de que es hombre y ha elevado la vista observando a las aves volar, ha anhelado emularlas y poder así surcar los cielos y expandir sus capacidades más rápido aún de lo que lo ha conseguido a lo largo de la historia de la humanidad. Hoy en día el hombre vuela pero no de ese modo tan deseado, sino de forma artificial y gracias a haber adquirido unos conocimientos, a base de errar, qué duda cabe, desde aquel viaje de los hermanos Wright hasta conquistar el espacio y nuestro satélite natural. Cuando la fabricación de ingenios que permiten al hombre elevarse, dominar el vuelo y aterrizar, todo ello de forma segura, se consigue a comienzos del siglo XX da comienzo la era aeronáutica y, por ende, una nueva forma de vivir en el planeta y fuera de él.

   La base de la aeronáutica se cimenta en varios principios físicos y, en particular, en el entendimiento de la dinámica de fluidos (no olvidemos que el aire es un fluido) y sus propiedades. No me referiré en esta entrada a la forma de comportarse en vuelo de cualquier objeto artificial porque aquí entrarían tanto aviones como helicópteros, misiles o cohetes, cada clase de estas con sus características y sus formas de vuelo. Alguna entrada he dedicado en este blog a los cohetes, basta localizarla en el buscador en la columna de la derecha. Así, el vuelo de una aeronave (avión o cometa) se fundamenta en el Principio de Sustentación y en el Teorema de Bernoulli. Vamos a entrar de lleno en explicar brevemente estos conceptos sin entrar en detalles engorrosos que, como ya he explicado varias veces en diferentes entradas, no es el objetivo de este blog, sino la simplicidad y claridad de los conceptos dejando al lector curioso a que explore si desea adquirir más cuestiones técnicas.

La sustentación en los aviones (lift en inglés) se calcula con la siguiente fórmula: lift = ½ ρ · v² · S · C_L , siendo C_L el coeficiente de sustentación que depende del tipo de perfil y del ángulo de ataque, S es la superficie alar, ρ es la densidad del aire.

Para que un avión pueda volar, la sustentación debe ser igual o superior a su peso. A iguales valores de velocidad, tamaño, forma y posición del ala, el único valor que es independiente del avión en sí, es la densidad de la atmósfera. Y es que, a mayor densidad, mayor sustentación. Por otra parte, el Principio de Bernoulli promulga que cualquier líquido o gas que aumente su velocidad de movimiento, también verá disminuida su presión.

    En realidad, el principio de Bernoulli es una descripción de la ley de conservación de la energía, cuya definición nos dice que, en un fluido ideal, la energía permanece constante a lo largo de todo el recorrido del conducto cerrado. La ecuación de Bernoulli matemáticamente es   ½ (V² ρ) + P + ρgz = constante  siendo V = velocidad, ρ = densidad del fluido (líquido o gas), P = presión, g = aceleración de la gravedad,       z = altura en la dirección de la gravedad. Es decir, se tiene la expresión E cinética + E. presión + E. potencial = cte

No voy a entrar en la deducción de la fórmula anterior porque entraña un poco de complejidad y requiere conocimientos no triviales de física y matemáticas pero la expresión anterior proviene del caso particular de la Ecuación Fundamental de la Hidráulica en el que la única fuerza exterior es la de la gravedad, es decir, la del peso del fluido.

El motivo principal que hace que los aviones puedan volar son las fuerzas que actúan sobre ellos cuando están en el aire. Y son cuatro: dos en horizontal (la fuerza de empuje y su opuesta, la aplicada), y dos en vertical (el peso del avión que tira hacia abajo de la aeronave y, en contra de éste, la fuerza de sustentación que es la que consigue levantarla).

   Por todo ello, es principal prestar especial atención a la forma de las alas de los aviones o las cometas, en menor medida. Y es que la parte superior (llamada extradós) está más curvada que la inferior (llamada intradós), que es más recta. Esto hace que el aire que circula por encima del ala tenga más superficie, lo que consigue que viaje a más velocidad que el aire de la parte inferior. Y la principal consecuencia de este cambio de velocidad en el aire que circula sobre el ala de un avión y bajo ella está en que se crea una diferencia de presión.

Con la definición del principio de Bernoulli, donde la suma de las presiones debe ser constante, lo que ocurre con el aire en este caso, es que la menor presión de la parte superior del ala ejerce una fuerza bajo ella que la impulsa hacia arriba. Las aves voladoras utilizan este principio de forma natural, obviamente, y es la razón por la que los aviones quieren adoptar desde siempre la forma característica de los animales voladores.

    Y, ¿qué aplicaciones puede tener el principio de Bernoulli, aparte de al vuelo de aeronaves? En general, en mecánica de fluidos, se puede aplicar a cualquiera de ellos, ya sea líquido, viscoso o gas. Aquí dejo al lector varios ejemplos por si su curiosidad se ha de satisfacer urgentemente: tubo piezométrico, tubo de efecto Venturi, tubo Pitot, tubo de Prandtl (pitot + piezométrico), tubo de Pitot-Darcy, estos dos últimos usados en meteorología.

    Hasta aquí estos sucintos apuntes sobre el vuelo y el comportamiento de los fluidos del planeta que habitamos. Espero haber despertado interés y animo a investigar sobre un tema fascinante muy relacionado con una de mis pasiones recientes: la meteorología.

 

Un Contraejemplo Casi Sencillo de un Hecho Casi Evidente

 

 

   Es sabido que una función continua no necesariamente ha de ser derivable y como ejemplo se puede citar la función valor absoluto: para que una función sea derivable (en todo punto, se entiende, ya que en el caso de la función valor absoluto, estrictamente, es derivable en todo su dominio de definición salvo en el punto x = 0, aunque existen funciones que son continuas en todo punto de su dominio y no derivables en ningún punto pero para tomar como ejemplo son más complicadas de presentar) han de existir las derivadas por la izquierda y por la derecha, que en sí son límites laterales, y han de coincidir. La afirmación “toda función continua es derivable” estuvo en la mente de los matemáticos sin poder demostrarla hasta que Weierstrass echó por tierra esta idea `creando´ un contraejemplo con una función muy extraña para su época dado que es una función fractal, concepto no estudiado hasta más de un siglo después.

    También es sabido que toda función derivable es continua, por el simple hecho de la forma en la que se define la derivada de una función.

    La pregunta natural que surge de la anterior afirmación es, ¿la derivada de una función continua es también continua? Cabría pensar, por intuición, que la respuesta es afirmativa pero no es así, no siempre sucede ésto y tal es el motivo de escribir esta entrada. Mostraré una función que no cumple lo pedido y, aunque existen más funciones en tal situación, la prueba para esos otros ejemplos se complica por sus características de definición.

    Las funciones seno y coseno, esto es, Sin(x), Cos(x), ∀x∈ℝ, son derivables en todo su dominio de definición y sus derivadas son continuas. No voy a entrar en este echo por su complejidad: para probarlo se necesita la Regla de la Cadena y el Teorema de la Función Inversa. Pero la idea es afirmar que son sencillos ejemplos de funciones, trigonométricas, derivables cuya derivada es continua. ¿Por qué cito estas funciones? Porque el ejemplo de función que contradice que la derivada de una función continua también es continua se basa en una función trigonométrica, como sigue a continuación:

La función f : ℝ ―> ℝ definida por f(x) = x²Sin(1 / x) , ∀x∈ℝ^* , f(0) = 0 (siendo ℝ^* = ℝ – {0} ), es derivable en ℝ con derivada f ’ (x) = 2xSin(1 / x) – Cos(1 / x), ∀x∈ℝ^* , f ‘ (0) = 0.

Sea la sucesión {x_n} = {1 / n π}. Así, f ‘ (x_n) = (-1)ⁿ⁺¹ , ∀n∈ℕ , por ser las funciones seno y coseno periódicas, y {x_n} converge a 0. Se deduce rápidamente que f ‘ no tiene límite en cero por ser oscilante: f ‘ (x₁) = 1,               f ‘ (x₂) = -1, f ‘ (x₃) = 1,… y así f ‘ (x_n)  f ‘ (x_n+1), ∀n∈ℕ ⇒ ∄ lim f ‘ (x_n) cuando x → 0.

Si se toma la función g(x) = x, ∀x∈ℝ, las restricciones de f y g a ℝ* cumplen las hipótesis de la Primera Regla de L`Hôpital con I = ℝ y a = 0 (dichas condiciones son: I intervalo, a∈I, f, g funciones de I – {a} que cumplen que f, g son derivables en I – {a} con g ‘ (x)  0 y lim f(x) = lim g(x) = 0 cuando x → a) por lo que se puede construir el límite del cociente de funciones con garantías. Además, lim f(x) / g(x) = 0 cuando x → 0 pero        ∄ lim f ‘ / g ‘ cuando x → 0 por lo que la derivada de la función continua no es continua al no coincidir los límites laterales.

Conjuntos Finitos y Lo Otro

 

    En Matemáticas existen pocas definiciones negativas por cuanto una definición en este sentido entraña una negación de otro concepto o una negación de unas propiedades. Al escribir estas líneas sólo me vienen a la mente la definición de conexión topológica (un espacio topológico se dice conexo si NO existe dos subconjuntos suyos tales que, etc) y la que aquí traigo.

    Al hablar de conjuntos se dice que tienen el mismo número de elementos cuando existe una aplicación biyectiva de un conjunto sobre el otro, esto es, cada elemento de un conjunto “viaja”, de forma única, a un único elemento del otro conjunto. No voy a tratar aquí algunas estructuras especiales como son el núcleo del conjunto de partida (kernel) o el conjunto imagen en el conjunto de llegada, lo que da para otra interesante entrada.

La idea anterior, de manera formal, sigue aquí:

Un conjunto A se dice equipotente a otro conjunto B si existe una aplicación biyectiva de A sobre B y se escribe de la forma A~ B.

Se deduce claramente que A~A (propiedad reflexiva), si A~B⇒B~A (propiedad simétrica) y, si A~B y B~C⇒A~C (propiedad transitiva), para cualesquiera conjuntos A, B y C. Estas tres propiedades denominan a la relación `~´ como relación binaria de equivalencia (RBE). Un conjunto se dice numerable si está en biyección con el conjunto de los números naturales ℕ , es decir, existe una RBE.

Ahora vamos a llamar S(n) = {m∈ℕ : m ≤ n}. Este conjunto es el de todos los números naturales que son menores o iguales a un número natural dado. Así, es claro que S(n) tiene n elementos. Una propiedad importante de este conjunto es que si m y n son números naturales tales que S(m)~S(n) entonces m = n (esta afirmación se prueba por inducción).

    Y ahora viene lo más importante de esta entrada que da pie a un concepto que aparenta ser obvio pero que entraña una altísima complejidad:

Un conjunto A se dice finito si es vacío (A = Ø) o si existe un número natural n tal que A es equipotente a S(n). La propiedad anterior asegura que ese número natural n es único y define el número de elementos del conjunto A. Para que a nadie se le quede la duda, el número de elementos del conjunto vacío es 0 por convenio.

He aquí pues la bomba anunciada: un conjunto se dice infinito si no es finito. Un ejemplo sencillo es, por haberlo citado ya, afirmar que el conjunto de los números naturales ℕ es infinito. Es más, es el infinito más pequeño de entre los conjuntos infinitos, pero esa es otra explicación...

   La definición negativa de un concepto en el que se basa gran parte de la matemática no convence a algunos escépticos (me incluyo) por el hecho de que no es un concepto puro sino que se basa en uno que sí lo es (el de conjunto finito), lo que debe causar, en mi opinión personal, algo de rechazo. De forma similar, se podría razonar con el concepto de frío o calor: el frío como concepto no existe puesto que se define como la ausencia de calor: no existe nada en la naturaleza que produzca frío (salvo una máquina específica, humana claro, que se basa en calor…) sino que éste es la ausencia paulatina de calor.

  Recuerdo a un profesor de la universidad que en una sola frase dilapidó siglos de investigación y profundidad de ideas: “sólo existen tres tipos de conjuntos; los finitos, los infinitos y los infinitos numerables”. Cuando uno va tomando conciencia de lo que ha estudiado en la universidad acaba despreciando ese tipo de frases por ser vacías y casi dañinas para quien se las cree sin más.

   Los conjuntos infinitos son muy interesantes al igual que los números más allá del infinito, los llamados transfinitos, formando estructuras importantes y de gran interés que exhorto al lector a que tenga curiosidad a que investigue un poco.