Geodesia, Líneas Geodésicas y Algunos Resultados

    ¿Qué es la geodesia? La palabra Geodesia expresa división de la Tierra y trata de proporcionar una estructura geométrica precisa para el apoyo de los levantamientos topográficos. Actualmente, se puede definir como la ciencia que resuelve los problemas relacionados con la figura y dimensiones de la Tierra.

   ¿Qué problemas científicos pueden aclararse con la geodesia? Existen varios:

-Determinación del tipo de superficie matemática que represente suficientemente bien la figura de la Tierra en su totalidad. Se considera como un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, denominado elipsoide terrestre.

-El estudio de la verdadera figura de la Tierra y su campo de gravedad, es decir, su superficie física y la gravedad que actúa sobre ella.

-En menor medida o derivados de los anteriores, se podrían citar la medición de la aceleración de la gravedad, las determinaciones astronómicas de las latitudes y las longitudes terrestres, las observaciones de los satélites artificiales, la elaboración y desarrollo de métodos e instrumentos para la ejecución de mediciones y observaciones de alta precisión, métodos topográficos para el estudio detallado de la forma de la superficie terrestre, etc.

   Se pueden definir ahora, unas líneas muy importantes en el estudio de la Geodesia, esto es, en el estudio del planeta Tierra y, por ende, extrapolable a cualquier otro planeta u objeto de forma esférica.

De forma rigurosa y sin entrar en detalles que pueden desviar la atención del espíritu de esta entrada y del blog en general, como ya comenté en otras entradas de corte técnico, se dice que una curva parametrizada no constante Y: I -> S (superficie) es geodésica en un punto t de I si el campo de sus vectores tangentes Y '(t) es paralelo a lo largo de Y en t, es decir, DY '(t) /dt = 0.

Para poder identificar geométricamente algunas geodésicas, el siguiente resultado es especialmente útil:

Una curva regular C incluida en la superficie S (con curvatura no nula) es una geodésica sí y sólo sí, su normal principal en cada punto p de C es paralela a la normal a S en p.

Para ejemplificar lo anterior, se puede afirmar que los círculos máximos de la esfera son geodésicas. De hecho, los círculos máximos C se obtienen al intersecar la esfera con un plano que pase por el centro de la esfera. ¿Por qué? la normal principal en un punto p de C está en la intersección de la recta que conecta p con el centro de la esfera porque C es un círculo de centro el centro de la esfera y así la normal se halla en esta misma dirección. Con este resultado, se afirma que sólo los meridianos y el ecuador (los círculos máximos) son geodésicas.

Se llama curvatura geodésica al valor de la derivada covariante Da '(s) /ds, donde s es la longitud de arco de la parametrización de C. Con esta definición, las geodésicas que sean curvas regulares son las que tienen curvatura geodésica nula.

Y, ¿qué sucede con los otros círculos que no son máximos que pueden surcar la superficie de una esfera? Estos círculos no máximos se llaman líneas loxodrómicas y, rigurosamente, son las líneas que cortan bajo ángulo constante, un haz de planos. Su expresión es (cotgA)(J + q) = Ln tg(v/2 + Pi/4), con variables (J, v), q constante, cotgA constante. Se puede decir que esta línea loxodrómica es la línea que unen dos puntos cualesquiera de la superficie de la esfera cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo.

   Para acabar esta breve entrada sobre resultados interesantes, y muy importante en el estudio de las triangulaciones en la superficie de una esfera o en la Tierra, se deben considerar las aplicaciones del Teorema de Gauss-Bonnet que, de forma muy sencilla, dice que la cantidad evaluable (el número) de la curvatura gausiana en una variedad compacta bidimensional M más la cantidad evaluable de la curvatura geodésica en el borde de esa variedad, es decir, el valor de la curvatura total en una superficie bidimensional, equivale a 2 * Pi * X(M), siendo X(M) la Característica de Euler de M (es un invariante topológico que describe la estructura de un espacio topológico, como ejemplo, X de un figura tridimensional es la conocida fórmula X = V - A + C, con V vértices, A aristas y C caras).

¿Cómo se puede aplicar el resultado anterior? Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano (2 dimensiones) es Pi pero en una esfera (3 dimensiones) esa suma es Pi + curvatura del triángulo. Por tanto, la trigonometría esférica no es la misma que la trigonometría en el plano, con unas fórmulas mucho más engorrosas que la habitual y sencilla que se aprende en edades tempranas.

   Hasta aquí estos breves apuntes que espero que sirvan para despertar el interés sobre cómo se comportan las líneas y círculos que rasgan la superficie de nuestro planeta, resultados tan usados en la planificación aérea de las líneas de aviones mundiales así como por los satélites que pueblan nuestros cielos y las telecomunicaciones del futuro.

Curvatura de Una Recta: Otra "Sencilla" Prueba

    Tal y como comenté en la entrada Un "Sencillo" Dibujo , no siempre es fácilmente demostrable lo que parece tan evidente a la vista, ya que lo riguroso requiere conceptos profundos como se vió allí y se verá, con menos profundidad, aquí.

   ¿Una recta tiene curvatura?, ¿y un plano?, ¿y una esfera? El concepto de curvatura es interesante para las superficies (diferenciables) de 3 dimensiones, y esta vez traigo unos sencillos ejemplos sobre cómo calcular la curvatura de superficies tan cotidianas como las rectas, las superficies planas o las esferas, estas últimas tan interesantes y con tantas propiedades, todo ello sin entrar en abstracciones como Formas Fundamentales, parametrizaciones o tensores.

   Aunque las geodésicas son un parte fundamental de estos conceptos, tampoco voy a entrar en explicaciones técnicas para no aburrir, se trata de considerar cuestiones aparentemente sencillas, a priori, y muy intuitivas como las planteadas al principio, pero haciendo una entrada amena y fácil de leer. Así, de forma lógica aunque poco matemática, es obvio que una recta en el espacio euclídeo (esto es, lo que vemos) no se curva porque es “recta”, evidentemente, (bueno, en realidad sí se curva si se considera como una geodésica pero no voy a rizar el rizo) y un plano tampoco se curva porque es una superficie recta plana, por tanto, se les podría asignar un número a ese grado de curvatura, es decir, se dice que tienen curvatura cero. La curvatura referida en esta entrada es la curvatura gaussiana, ya que fue Gauss el que profundizó en la temática de la geometría diferencial. Existen pues, curvaturas positivas, negativas o nulas dependiendo de ciertas cuestiones y formas en las que no entraré, repito, para no aburrir. Simplemente, se debe saber que la curvatura de una superficie tiene signo o puede ser nula. ¿Y la esfera? La esfera tiene una curvatura que depende de su radio R y ésta es K = 1/R^2.. La forma de calcularla es parametrizarla y aplicar una serie de fórmulas que, repito, no haré para no embarrar esta entrada.

   Un resultado con una importancia radical se debe a Gauss, claro, y es el llamado Teorema Egregium que dice que la curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo isometrías locales. Esto quiere decir que la curvatura de una superficie no depende de la forma en que ésta se encuentra en el espacio tridimensional. Este resultado tiene diversas aplicaciones, destacando la de cartografiar terrenos ya que una esfera como la Tierra no puede “aplastarse” o proyectarse sobre un plano (un mapa terrestre) sin distorsionar distancias, lo que técnicamente sería decir que no existe una isometría entre la esfera y el plano (hemos comentado que el plano tiene curvatura nula, como una recta, pero la esfera tiene siempre curvatura distinta de cero y el Teorema Egregium garantiza que la curvatura es un invariante).

Veamos el ejemplo de la recta, que tiene curvatura K = 0, el cual se puede extender al caso del plano:

- Una primera forma intuitiva sería considerar la recta como un círculo de radio infinito, es decir, abrimos un círculo y desplegamos sus extremos y como la curvatura de la esfera depende de su radio R, la cual es K = 1/R², si el radio es infnito, se obtiene así que K = 0. Esta sería la idea intuitiva fácil de ver.

- La forma más rigurosa es considerar una recta en el plano y = ax + b (fácilmente extrapolable a la recta en el espacio pero así se facilitan los cálculos y la visión del resultado buscado). La fórmula de la curvatura es

Por tanto, haciendo cálculos, f '(x) = a;  f ''(x) = 0; y así, K = 0 por tener el numerador nulo.

   Esta sencilla demostración se puede ampliar al plano considerándolo como una infinidad de rectas paralelas, con lo que también tiene curvatura nula, sin entrar en detalles, tan solo viendo este experimento de forma lo más intuitiva posible. Espero haber aclarado esta "sencilla" cuestión.

Método de Bisección: Bolzano a lo Bestia

   El método de bisección para la resolución numérica de ecuaciones me parece el más intuitivo, sencillo y fácil de aplicar de entre los denominados métodos iterativos convergentes, es decir, métodos que generan una sucesión de números que se pretende que converja a la solución exacta, entre los que se incluyen el método de la secante, de Newton-Raphson, etc. En su contra, el método que voy a tratar, destaca su lenta capacidad de convergencia, esto es, requiere un número de pasos elevado para alcanzar una solución aproximada, frente a otros métodos más rápidos pero más complejos.

   El Teorema de Bolzano se estudia en secundaria por su sencillez y eficacia en esos niveles ya que tan solo requiere un par de condiciones en la hipótesis para asegurar la tesis. Dice lo siguiente: consideremos una función f continua definida en un intervalo [a, b] de tal manera que f(a)f(b)<0. Esto equivale a decir que la función cambia de signo en el intervalo [a, b], más claro todavía, signof(a) ha de ser distinto de signof(b), cualesquiera que sean a y b. Entonces, se asegura que la función f se anula en algún punto del interior de [a, b], es decir, existe un punto c con la condición a < c <b tal que f(c) = 0.

   Como detalle del método de bisección hay que decir que garantiza al menos una solución en el intervalo tratado pero no asegura nada sobre la existencia de más de un cero en dicho intervalo. El método es tan sencillo como aplicar el Teorema de Bolzano reiteradamente en el intervalo [a, b]. Establece pues, que una primera aproximación a la solución exacta, llamémosla "s", es el punto medio del intervalo x₁ = (a + b)/2. Si evaluamos la función f en este punto nos encontramos con tres posibilidades:

1) que f(x₁) = 0 (¡solución exacta! ocurrirá muy pocas veces…) con lo que s = x₁.

2) f(a)f(x₁) < 0, en cuyo caso, aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, la solución se encontrará en el intervalo en el que f cambia de signo, esto es, en [a, x₁].

3) f(x₁)f(b) < 0, lo que asegura, aplicando Bolzano, que la solución estará en [x₁, b].

 En cualquiera de los dos últimos casos, llamamos [a₂, b₂] al intervalo que contiene la solución (se puede considerar [a, b] = [a₁, b₁]) y se repite el procedimiento, con lo que x₂ = (a₂ + b₂)/2 sería la nueva aproximación a la solución s y se volverían a ofrecer las tres posibilidades anteriores.

El error absoluto cometido en este proceso iterativo viene dado por |x_n – s| es menor o igual al cociente (b_n – a_n)/2 = (b_n-1 – a_n-1)/2² = … = (b₂ – a₂)/2^n-1 = (b – a)/2ⁿ.

Con esta acotación se puede determinar fácilmente el número mínimo de iteraciones del método que es necesario realizar para asegurar que el error absoluto cometido sea menor que una cierta cantidad positiva prefijada e, ya que para que |x_n – s| < e, es suficiente exigir que (b – a)/2ⁿ < e, lo cual se da siempre que n > Ln ((b – a)/e) – Ln(2), siendo Ln el logaritmo neperiano.

De lo anterior se deduce que, fijado un error, se ha de despejar n, que es el número de iteraciones que habrá que calcular. Una vez en este punto, se evalúa f(x_n) y obtenemos así un valor tan próximo a cero como el error que hemos prefijado.

Existe muchos métodos de aproximación de soluciones de una ecuación: implícitos, explícitos, Runge-Kutta, Sturm, etc, con diversa complejidad pero, el más sencillo y eficaz (aunque lento) es el que he expuesto en estas líneas. Espero que el lector lo aplique con objetividad, a mí me ayudó mucho.

Validación de Experimentos

    Se experimenta día a día con tecnología, medicamentos (hoy más que nunca), arquitectura, materiales y un largo etcétera pero ¿cómo se valida un experimento?, ¿cómo se asegura su objetividad al repetirlo? La validación de un experimento se realiza mediante la aplicación de lo que se denomina coeficiente de validez, a través de la correlación entre dos series de resultados: el del experimento y el de la prueba de comprobación. Así, un alto coeficiente de correlación en la validez de un experimento nos permitirá predecir un tipo de conducta partiendo únicamente de la aplicación del experimento. La correlación R es la correspondencia más o menos importante entre dos valores basada en un conjunto de cálculos de aplicación estadística.

Se estima la siguiente tabulación para los distintos valores de R (la correlación se evalúa entre 0 y 1):

-menos de 0.69 => R es baja o dudosa

-de 0.69 a 0.74 => R es moderada o débil

-de 0.75 a 0.84 => R es aceptable o buena

-de 0.85 a 0.94 => R es alta o muy buena

-de 0.95 a 0.99 => R es excelente

Una correlación R = 1 es perfecta y significa que las dos variables medidas se corresponden de forma absoluta en sus valores y variaciones.

   Se pueden distinguir distintos tipos de validez:

1) De contenido o lógica: se expresa cuando el experimento representa el mejor criterio para evaluar la capacidad en estudio y se basa en el análisis de los casos que integran la prueba, su grado de dificultad, su estabilidad para medir lo pretendido y la relación con el objeto de la evaluación.

2) Predictiva: está en relación con el grado de probabilidad que presenta un experimento para predecir cuál será un resultado futuro de un individuo en relación a una determinada conducta o capacidad. Como norma general, este tipo de comprobación requiere mucho tiempo ya que es necesaria una amplia serie de medidas.

3) Empírica o referida a los criterios: puede realizarse poniendo en correlación los valores del experimento con los de otro experimento conocido ya validado (denominado prueba paralela) o poniendo en correlación los valores del experimento con un criterio exterior, como una competencia.

4) Factorial: se utiliza para la comparación entre experimentos. Si la correlación es alta (según la tabla anterior, entre 0.85 y 1), ambos experimentos tienen una alta correspondencia y si la correlación es baja o nula (menos de 0.69) cada experimento mide un aspecto diferente.

   Por tanto, ha de buscarse una prueba de evaluación objetiva que no dependa de la persona u objeto que realiza el experimento y esta objetividad debe prevalecer en la construcción, aplicación, explicación, descripción e instrucciones de la realización del experimento. También ha de verse reflejada en que los grados de valoración del rendimiento obtenidos en las pruebas dependen de si la prueba en sí misma es objetiva o cuándo incide más la interpretación.

   Lo más conveniente para corroborar la objetividad de un experimento es realizarlo con, al menos, dos equipos de evaluadores diferentes y en intervalos de tiempo reducidos aunque, dependiendo de la naturaleza del experimento, se puede dilatar más o menos el tiempo. Si se consigue un coeficiente de correlación que muestre una R cercana al 1 entonces los resultados obtenidos serán análogos obteniendo así un alto grado de objetividad del experimento.

   Los criterios de calidad principales para la realización de un experimento (validez y objetividad) vienen acompañados de una serie de criterios secundarios, aunque no por ello carecen de importancia:

a) Normalización: consiste en transformar el valor del experimento a una ubicación con relación a una norma estadística. Se llega así a la realización de escalas de medidas que se elaboran a través de estudios estadísticos con el objetivo de la confección de las normas. La idea es obtener un elevado número de elementos que realicen el experimento para así poder, a través de la estadística (en concreto, de los teoremas de Lindenberg-Levy, la Ley Débil de los Grandes Números y la Ley Fuerte de los Grandes Números), "normalizar" los resultados obtenidos, esto es, que se distribuyan según la Distribución Normal con media y desviación típica conocidas.

b) Estandarización: para que sea válida la comparación de resultados recogidos sobre diferentes grupos objeto de estudio o sobre el mismo grupo objeto de estudio pero en períodos diferentes, es necesario estandarizar las técnicas de administración del experimento. Una pequeña variación en las reglas de realización de una prueba pueden alterar el resultado y su valoración posterior.

c) Economización: se considera un experimento económico aquel que sea realizable en poco tiempo, que precise poco material y maquinaria y que pueda ser interpretado fácilmente sin muchos cálculos.

d) Utilidad: se considera útil un experimento que analice una conducta o capacidad para cuyo conocimiento existe una necesidad práctica y un auténtico interés de conocimiento.

e) Probabilidad: el experimento debe ser realizado con éxito por un porcentaje elevado de personas u objetos que estén capacitados para su desempeño.

   El rigor debe superar a la opinión cuando de experimentar se trata, y espero que sirva esta entrada para clarificar cómo se ha de regular la realización (seria) de un experimento.

Euler y las Ecuaciones Diferenciales

Nadie duda que Leonhard Euler es uno de los científicos más grande de todos los tiempos, adelantado a su época y con una curiosidad tan grande como su prodigiosa mente. Por citar un par de aportaciones, fue el descubridor del grandioso número “e” o el `creador´ de la fórmula más bonita de las matemáticas, la Identidad de Euler:

Traigo hoy aquí una contribución a un campo de la ciencia aplicada, en este caso, un método sencillo para aproximar la solución de una ecuación diferencial (¡tan solo sabiendo la definición de lo que es una ecuación diferencial!).

Con este mecanismo se puede hallar, en el segmento [x₀, b], la solución aproximada de la ecuación y’ = f(x, y) con la condición inicial y(x₀) = y₀. Consiste en sustituir por una unión de segmentos rectos la curva integral buscada de la ecuación diferencial que pasa por el punto M₀(x₀, y₀).

Se divide el segmento [x₀, b] en n partes, no necesariamente iguales, por los puntos x₀ < x₁ < … < x_n = b.

Se traza, por el punto inicial M₀(x₀, y₀) de la curva integral, una recta M₀M de coeficiente angular f(x₀, y₀) hasta el punto M₁(x₁, y₁) de intersección con la recta x = x₁. La ordenada del punto M₁ se determina por la fórmula  y₁ = y₀ + f(x₀, y₀) (x₁ – x₀).

Se traza, por el punto M₁(x₁, y₁) una recta M₁M₂ de coeficiente angular f(x₁, y₁) hasta el punto M₂(x₂, y₂) de intersección con la recta x = x₂. La ordenada del punto M₂ se determina por la fórmula y₂ = y₁ + f(x₁, y₁) (x₂ – x₁).

Siguiendo este proceso, se determina el punto M₃(x₃, y₃) y sucesivos. Así pues, la ordenada del punto M_n(x_n, y_n) se determina por la fórmula y_n = y_n-1 + f(x_n-1, y_n-1) (x_n – x_n-1).

Los valores aproximados de la solución de la ecuación dada en los puntos x₁, x₂, … ,x_n son y₁, y₂, … ,y_n.

Haciendo la construcción gráfica se obtiene una “quebrada”, denominada precisamente quebrada de Euler, que representa aproximadamente la curva integral que pasa por el punto M₀(x₀, y₀).

Para simplificar los cálculos, se suele dividir el segmento inicial [x₀, b] en partes iguales y se recurre al paso h = x_h – x_h-1. La magnitud de esta h se denomina intervalo de variación del argumento.

Así, cumpliendo ciertas condiciones respecto a la función f(x, y) (revisar el Teorema de Picard-Lindelöf sobre existencia y unicidad de soluciones de EDO), para h → 0 la solución aproximada proporciona la solución exacta de la ecuación que satisface la condición inicial y(x₀) = y₀.

Por tanto, para aplicar este intuitivo método, basta proporcionar un intervalo cerrado y acotado en el que se quiera estudiar la solución, la ecuación diferencial que se quiere aproximar con su condición inicial y el número de partes en las que se quiere dividir el intervalo dado. Hay que tener en cuenta que la precisión del método de Euler no es alta pero, a veces, puede servir como una buena referencia para aplicar otros métodos más modernos y exactos aunque, estos últimos, sí requieren tener conocimientos sobre las ecuaciones diferenciales. Exhorto al lector a aplicarlo a algún ejemplo sencillo, se sorprenderá de la simpleza y eficacia del método del gran Euler.