Matemática Sonora: Música y Armonía

    Consideremos la ecuación (3 / 2) ^x = 2 ^y  que se simplifica rápidamente a la forma  3 ^x = 2 ^{x + y} . Después de algunos cálculos sencillos se encuentra la solución y = x (log₂ (3) - 1) , cuyo valor aproximado es y = 0,585 x , una recta del plano con pendiente positiva. 

   Lo que pretendo plantear en esta ocasión no es resolver una ecuación exponencial aplicando algunas sencillas y conocidas propiedades logarítmicas (algunos conceptos sobre los logaritmos se encuentran en la entrada Algunas Notas Sobre Logaritmos ). Voy a explicar el significado de coma pitagórica que aparece en la armonía musical. Los pitagóricos estudiaron con detalle el sonido producido por la única cuerda que posee un monocordio (proviene del griego y significa instrumento de una sola cuerda). Al variar la longitud de la cuerda, ésta generaba distintos sonidos, lo que hoy se conoce como notas musicales. Cuanta más corta era la cuerda, más agudo era el sonido resultante. Los sonidos más agradables o armónicos al oído se generaban de una forma muy concreta: dividiendo la cuerda a la mitad (1 / 2), a la tercera parte (1 / 3), a los dos tercios (2 / 3) y a los tres cuartos (3 / 4) de la longitud original. Así, se nombran las conocidas relaciones en orden a la fracción que falta de los anteriores valores para completar 1 unidad, es decir, el valor que hay que añadir a los anteriores para llegar a la longitud máxima de la cuerda, con lo que se tienen:

-La octava: la cuerda se pisa a la mitad de su longitud, por tanto, su relación es 2 : 1. En lenguaje musical, es el intervalo entre dos notas. Por ejemplo, la distancia entre un Re y el siguiente Re. Una octava son 12 semitonos.

- La quinta: la cuerda se pisa en un punto situado a 1 / 3 de la longitud de la cuerda por lo que su relación es 3 : 2. Una quinta son 7 semitonos, lo que equivale a 700 Cents. Una quinta pura o pitagórica equivale a 702 Cents.

- La cuarta: la cuerda se pisa a 1 / 4 de la longitud total, que numéricamente equivale a 4 : 3.

La idea fundamental que encierra esta armonía es el patrón numérico (n + 1) : n , el cual es el que produce los sonidos más armónicos o agradables. Este proceso acarrea ciertas dificultades con las notas musicales al no completar el círculo, pero no entraré aquí en conceptos musicales por no ser el objetivo que pretendo explicar.

Falta por aclarar qué es el Cent: es la menor unidad de medida logarítmica que se emplea para medir con precisión absoluta los intervalos musicales. Es una centésima de semitono. Así, un intervalo de 1 Cent es tan pequeño que no es perceptible por el oído humano. Como 12 semitonos son 1 octava, el cent es el número c que cumple la ecuación (c ¹⁰⁰) ¹² = 2 , que, simplificando nos da (nos quedamos con la solución positiva) c = 2 ^{1 / 1200} , es decir, la raíz 1200-ésima de 2. El valor es c = 1,000577... Aunque la unidad de medida del sonido es el Hercio (Hz), válido tanto para ondas sonoras como para ondas electromagnéticas, en realidad el Cent es una relación y no sería exacto definirlo como una unidad de hercios. Es un concepto un tanto complicado pero para esta entrada ha sido suficiente lo comentado en este párrafo.

   Con todo lo anterior, la llamada Coma Pitagórica, CP,  se define como la distancia de siete octavas entre notas. Su expresión numérica es CP = f · (3 / 2) ¹² / f · 2 ⁷ = 1,013643264... , donde f es una frecuencia dada inicial desde la que se parte, es decir, la coma pitagórica es algo más del 1% de 1 octava. De ahí que planteara la ecuación del principio de este capítulo.

   Es evidente que los números imperan en cualquier ámbito relacionado con la naturaleza humana (como ejemplo, se puede revisar la entrada Hombre No-Numérico ), como la de cualquier ser vivo, e incluso, como se ha visto aquí, en el ámbito más artístico y no científico del hombre.

Un Poco Más Sobre las Estrellas y una Ley Muy Importante II

   En la entrada Un Poco Más Sobre las Estrellas y una Ley Muy Importante I  ya comenté que la Ley de Hubble se expresa como V = H r , donde V es la velocidad radial en km/s y r es la distancia notada en Mpc (mega-parsec) y se calculaba un valor teórico de la constante H, la constante de Hubble que él mismo aproximó a un valor de 540 km/s por Mpc. Los cálculos de distancias estelares resultaban muy inciertos para las primeras décadas del siglo XX de forma que este valor ha ido evolucionando desde entonces situándose entre 50 y 100 (km/s) / Mpc, según el método que se utilice para su determinación. Hoy en día, ese valor se sitúa en el entorno de 70 con un error de pocas unidades. Nota: un mega-parsec es la distancia equivalente a 3,26 millones de años-luz.

   En esta entrada propondré el método clásico para calcular el valor de H utilizando una muestra de galaxias para las que se determina sus velocidades de recesión y sus distancias a partir de sus espectros. Este método lo utilicé en la asignatura Astrofísica de mi último año de carrera universitaria. Dichas galaxias son: Corona Borealis, Bootis, Hidra, Ursa Maioris y Virgo. Estas galaxias son miembros de cúmulos de galaxias y tienen la misma morfología por lo que se supone que tienen iguales diámetros. Se pueden calcular sus distancias dado que las imágenes están tomadas a la misma escala, suponiendo la hipótesis anterior. Sus espectros permiten visualizar las líneas H y K del Calcio frente a los espectros de referencia y la aplicación de la fórmula del efecto Doppler (la fórmula no relativista al tratarse del método clásico) permitirá calcular sus velocidades radiales respecto a nuestro sistema solar. El método algorítmico es el siguiente:

1) Determinar la velocidad radial de cada galaxia.

    a) Determinar la escala de los espectros: medir la distancia (en milímetros con la mayor precisión posible) entre dos líneas de referencia cualesquiera. Calcular la diferencia entre las longitudes de onda correspondientes a las líneas elegidas (los valores de las longitudes de onda están dados como datos). Se obtiene así una relación de escala (Ángstrom / mm). Se realiza esta operación con varios pares de líneas para encontrar un valor medio y una dispersión para esta escala. Nota: 1 Ángstrom = 1 Å = 1 × 10^–10 m.

    b) Determinar a qué longitud de onda aparece la línea K del Calcio. Dada la relación de escala del apartado anterior, las medidas de desplazamiento (en mm) que se realicen respecto de su posición "de laboratorio" pueden convertirse a desplazamientos de las líneas en Ángstroms. Encontrar el valor medio de este desplzamiento para K. Nota: las longitudes de onda (de laboratorio) de líneas de Calcio en Ángstroms son K: 3933,7; H: 3968,5.

    c) Con el resultado anterior se puede averiguar la velocidad radial V aplicando la expresión del efecto Doppler V = c * Δλ / λ , siendo c la velocidad de la luz medida en km/s.

2) Determinar la distancia de cada galaxia.

    a) Determinar la escala lineal de las fotografías, con la línea de referencia en segundos de arco / mm.

    b) Medir los diámetros medios de las galaxias (en mm sobre el papel) y convertirlos, utilizando la escala anterior, a segundos de arco.

    c) Convertir estos diámetros angulares a radianes y después a distancias (en Mpc) tomando como diámetro 10⁵ para todos ellos.

3) Diagrama de Hubble.

Construir la tabla de valores de V y r para las cinco galaxias de muestra. Dibujar el diagrama de Hubble con estos datos. Estimar un valor de H dibujando una línea de ajuste del diagrama. Encontrar H con su error ajustando una recta por mínimos cuadrados al conjunto de los datos y forzando a que pase por el punto (0, 0).

4) Determinar la edad y el tamaño del universo.

    a) La edad del universo se estima que tiene como límite superior H^–1. Convertir H a unidades de (km/año) / km. Su inversa proporcionará la edad del universo en años. Hoy en día, se ha calculado el tiempo de Hubble como H^–1 = 20*10⁹ años.

    b) Se puede estimar un radio del universo suponiendo que ese límite se encontraría en una galaxia que se desplazara a la velocidad de la luz. Encontrar esta distancia y expresarla en años-luz.

   En la realización de este trabajo mis cálculos arrojaron un valor de H = 84 (km/s) / Mpc con error superior de +12 y error inferior de -4,8.

   Son evidentes las dificultades de aproximarse a un valor como el de H a partir únicamente de observaciones y más aún en los tiempos en los que Edwin Hubble trabajó sobre ello, de ahí el enorme mérito de este extraordinario astrofísico.

Un Poco Más Sobre las Estrellas Y una Ley Muy Importante I

   En mecánica de fluidos hay dos fórmulas básicas: la ecuación de continuidad, que es el principio de conservación de la masa o ley de Lavoisier, y el teorema de Bernoulli, del que hablé en la entrada Pinceladas Sobre el Principio de Sustentación y el Teorema de Bernoulli . La llamada Ley de Hubble, ley que define la expansión (o contracción) del universo, denominada así en honor a su descubridor Edwin Hubble sobre los años 30 del siglo XX, uno de los más grandes astrofísicos de la historia, se puede deducir a partir del teorema de Bernoulli. Este resultado dice, como expliqué en la entrada señalada más arriba, que cualquier líquido o gas que aumente su velocidad de movimiento, también verá disminuida su presión. Matemáticamente se expresa como  ½ (V² ρ) + P + ρgz = constante  siendo V = velocidad, ρ = densidad del fluido (líquido o gas), P = presión, g = aceleración de la gravedad, z = altura en la dirección de la gravedad. Es decir, se tiene la expresión E. cinética + E. presión + E. potencial = cte.

   Para aplicar el teorema a las condiciones del universo hay que tener en cuenta que en el espacio exterior, de acuerdo con el Principio Cosmológico (muy básicamente, afirma que la densidad no puede variar así como la presión) el segundo y el tercer sumando de la ecuación del teorema de Bernoulli se consideran constantes, por lo que se pueden añadir al segundo miembro sin perder generalidad, con lo que la ecuación del teorema queda de la forma ½ (V² ρ) = constante. Esta fórmula se cumple cuando en los diferentes puntos del fluido la gravedad es la misma ya que si hubiera variaciones en la gravedad habría que añadir la energía correspondiente, es decir, la energía potencial gravitaroria que se expresa como - (GM² ) / r,  donde ahora la masa es M = ρ V = 4π r³ / 3 (la masa de una esfera de radio r), por tanto, se obtiene  - (4πG ρ²r² / 3) + ½ (V² ρ) = constante

   Si r = 0 no hay velocidad de expansión (recordemos que la densidad no puede variar por lo que la constante del segundo miembro es nula) y, despejando, V = (8πGρ / 3)^1/2r = H r . Ésta es la ley de Hubble, V = H r , donde, además, se ha podido calcular la constante de Hubble a nivel teórico (hoy en día existen aproximaciones, no un valor fijo, como explicaré en la entrada II), de la cual hablé en la entrada Números Excepcionales II , H = (8πGρ / 3)^1/2

   Este valor de H corresponde al denominado "universo crítico de curvatura nula", el más sencillo de los tres tipos de universo teorizado (universo abierto o hiperbólico, universo cerrado y universo plano), aunque también existen los tipos de universo de De Sitter, universo de Einstein, universo de Einstein - De Sitter,... cada uno con sus particularidades y muy interesantes pero con formulaciones sobre la ley de Hubble más complejas. En la entrada II mostraré el método del cálculo explícito del valor de H que realicé en aquella maravillosa asignatura de la carrera llamada, simplemente, Astrofísica.

   Edwin Hubble fue un pionero de la abstracción astronómica que concluyó con su afirmación que ni siquiera el mismísimo Einstein se atrevió a pronunciar en su época: el universo se expande.

Problema Que un Niño Puede Resolver Pero un Adulto No

   Es evidente que la gran mayoría de las personas conocen la obra de Carl Friedrich Gauss. Sus aportaciones a la ciencia moderna han sido imprescindibles, tanto a la matemática, como a la ingeniería o la física. Fue un niño prodigio al igual que su coetáneo Mozart y, con solo 10 años de edad, resolvió un complicado ejercicio propuesto en clase por el profesor aunque no se sabe a ciencia cierta si fue una anécdota o una invención posterior. Complicado en el siglo XVIII que, hoy en día, un adulto sin conocimientos matemáticos tendría serias dificultades para resolver utilizando una ingente cantidad de tiempo y larguísimas sumas porque de eso se trata, simplemente de sumar.

   El profesor, no se sabe por qué (se cuenta en el anecdotario que fue un castigo), pidió a sus inocentes alumnos que sumaran los 100 primeros números naturales, ejercicio chocante y, a simple vista, largo y dilatado en el tiempo como bien debía saber su profesor. Quizás buscaba el docente que sus alumnos adquirieran práctica en realizar sumas y esperaba que les llevara un tiempo razonable o fue realmente a modo de castigo por alguna fechoría. Pero, he aquí que el pequeño Gauss presentó la solución a tamaño problema en unos pocos segundos. Su corto pero efectivo método fue la base del estudio posterior de las series infinitas de números y el cálculo infinitesimal.

   Gauss (o nuestro protagonista anónimo), se dio cuenta que si escribía los números ordenados del 1 al 100 y justo debajo los volvía a escribir en orden inverso, del 100 al 1, sumando cada dos números, superior e inferior, el resultado siempre es 101:  1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 51 + 50 = 101. Como hay 100 sumandos, la suma de esas dos series es 101 * 100 = 10100, y como hay dos sumas basta dividir entre 2 ese valor para hallar el resultado buscado, 10100 / 2 = 5050, que es lo que vale la suma de los 100 primeros números naturales. En resumen, había 50 parejas de números que sumaban 101 por lo que el valor buscado era 50 * 101 = 5050. Se sabe, desde hace más de 1000 años, que la suma de los n primeros números naturales tiene por fórmula n * (n + 1) / 2, que coloquialmente sería "la mitad del número por su siguiente".

   ¿A quién se le hubiera ocurrido semejante razonamiento salvo a un genio? En caso de ser atribuible de forma verídica a Gauss confirmaría su innegable precocidad y capacidad, como se demostraría a lo largo de su vida y, en caso de ser un relato inventado a posteriori, no cabe mejor acierto en la elección del personaje. Con todo, un ejercicio curioso.