Dinero, Algo Más Que Números

   El concepto de dinero es bastante más abstracto que la idea inicial que se tiene de él, y esta es los billetes y monedas que se usan habitualmente. Son números pero unos números especiales y con una jerarquía muy delimitada y estricta clasificada por tipos de dinero, como posteriormente comentaré. La definición rigurosa de dinero es que es un activo (es decir, algo fluctuante, cambiante, no fijo) que se utiliza como medio de pago (intercambio de fondos entre bancos o entidades) de dos o más agentes económicos para realizar intercambios o transacciones de bienes y servicios, que evita las inexactitudes del trueque de tal forma que es necesario y suficiente que sea una unidad de cuenta y un depósito de valor. Es decir, si no se tienen estas características no se tiene dinero y el dinero ha de cumplir esas características. Así pues:

Dinero <<>>  Activo

                     Medio de pago o intercambio

                     Unidad de cuenta

                     Depósito de valor

   Una unidad de cuenta es una moneda que no es física y sirve para las transacciones comerciales y el fondo contable de las entidades. Se utiliza para fijar los precios. Un depósito de valor es un bien adquirido con el objetivo de conservar el valor comercial a lo largo del tiempo para futuros intercambios.

   He nombrado el trueque sin definirlo: es el intercambio de bienes o servicios por otros bienes o servicios y se caracteriza porque debe haber un exceso de bienes que no se consumen o usan y una necesidad de un bien que no produce uno mismo. Las principales desventajas del trueque que evita el dinero son que el trueque dificulta el intercambio de bienes de muy distinto valor, el trueque cambia el valor de los bienes o servicios con el tiempo y para que se produzca trueque han de coincidir vendedor y comprador de forma física. Esta última desventaja se conoce como "problema de la doble coincidencia de necesidades", es decir, podría no encontrarse a alguien que quiera intercambiar lo que se desea por lo que puede ofrecerse.

   Se puede deducir entonces, que el dinero se encuentra en forma física (billetes, monedas y metales preciosos) y en forma no física (dinero electrónico). El dinero físico en forma de billetes y monedas ha de estar avalado por cada Estado, es lo que se llama "dinero de curso legal", que siempre ha de ser aceptado como forma de pago y es el único que pueden emitir los Estados a través de sus bancos centrales. Los metales preciosos poseen sus propios mercados de valores dependientes del llamado papel moneda (moneda unitaria mundial en la que se fijan todos los valores financieros) por lo que dependen, implícitamente, de los billetes y monedas de curso legal de cada Estado, es decir, no se puede ir a comprar el pan con 10 gramos de oro porque el panadero no debería aceptar esta transacción aún sabiendo que el precio del oro es elevado en papel moneda.

   La historia moderna del dinero nos dice que desde finales del siglo XIX hasta la Primera Guerra Mundial, era posible el intercambio entre particulares de oro, el llamado "patrón oro" que finalizó con la crisis de 1929. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial se acordó que la única moneda que regiría los mercados financieros sería el dólar estadounidense y esta moneda sería la única que podría convertirse en oro con un precio inicial fijo dado en dólares/onza (1 onza son 28,7 gramos).

   El dinero electrónico merece un capítulo aparte puesto que es dinero (con las características mencionadas anteriormente) que no es emitido por ningún Estado, si no que es creado de forma electrónica en internet como las llamadas criptomonedas, o es un medio de pago exclusivamente digital pero equivalente a una determinada moneda.

   Ante estos conceptos abstractos cabe preguntarse: ¿una persona (física o jurídica) puede crear su propio dinero? La respuesta corta es afirmativa, pero tendría que ser en forma de "vale de compra" de un empresa pequeña o de una persona y sólo podría ser utilizado en dicho establecimiento o por esa persona, lo que queda muy limitado en su uso, por muy grande que sea el establecimiento o por muchas sucursales que posea. Este tipo de dinero no sería considerado dinero de curso legal aunque sí es dinero según la definición formal de éste. Hay que tener en cuenta que no quiere decir que sea ilegal su uso, simplemente se llama dinero de curso no legal, es decir, no puede ser utilizado como forma de pago general.

   El grado de liquidez de los activos financieros clasifica los tipos de dinero que se agrupan en lo que se conoce como agregados monetarios. Un agregado monetario es el dinero físico en circulación más el saldo pasivo (anotaciones contables de movimientos bancarios entre entidades financieras) del mercado financiero. Existen 3 tipos, establecidos por el Banco Central Europeo:

M1: es el dinero físico en circulación más los depósitos a la vista de la zona Euro, excluidas las administraciones centrales.

M2: es el M1 más los depósitos a plazo fijo hasta 2 años y los depósitos hasta 3 meses.

M3: es el M2 más las cesiones temporales de dinero, las participaciones en fondos del mercado monetario y los valores que no sean acciones y tengan una vida no superior a dos años.

Como nota, señalar que existen más agregados monetarios creados por países fuera de la zona Euro.

   En unas brevísimas pinceladas he comentado aquí lo que es el dinero y las clases que hay, sin profundizar en conceptos más abstractos aún, de economía financiera ni capitalización. La idea consistía en mostrar muy por encima, que el dinero no es solo lo que llevamos en el monedero ni lo que se cobra al final de cada mes, incluye muchos más sustantivos y características que las de los billetes y las monedas, que son ínfimos en el conjunto de dinero de la sociedad moderna actual. Un tema que considero interesante y que enfatiza la idea de que no nos debemos quedar solo con lo que vemos, hay mucho más allá.

¿Nietszche y Los Números?

   "El número. El descubrimiento de las leyes numéricas se hizo basándose en el error, que ya imperaba originariamente, de que hay muchas cosas idénticas (aunque de hecho no haya nada idéntico) o, al menos, de que existen cosas (aunque no existan 'cosas'). La mera noción de pluralidad supone que hay algo que se presenta repetidas veces; y aquí precisamente se da ya el error, pues estamos imaginando entidades y unidades inexistentes. Nuestras percepciones del tiempo y del espacio son falsas porque, si las examinamos consecuentemente, conducen a contradicciones lógicas. En todas las afirmaciones científicas utilizamos inevitablemente dimensiones falsas pero, como estas dimensiones son por lo menos constantes (como nuestra percepción del tiempo y del espacio, por ejemplo), no por eso dejan de ser totalmente exactos y seguros los resultados científicos en sus relaciones mútuas; podemos seguir utilizándolos hasta llegar a ese punto final en el que los supuestos fundamentales erróneos, esos errores constantes, entran en contradicción con los resultados, como en la teoría atómica, por ejemplo. Entonces nos vemos obligados a aceptar una 'cosa' o un 'sustrato' material, que recibe el movimiento, mientras que en todo el procedimiento científico se ha impuesto precisamente la tarea de reducir a movimiento todo lo que tiene un carácter de cosa (lo material); también aquí separamos con nuestra sensación el motor y lo movido, sin salirnos de ese círculo, pues la creencia en cosas se encuentra incorporada a nuestro ser desde la antigüedad. Cuando Kant dijo: "la razón no recibe sus leyes de la naturaleza, si no que se las prescribe a ésta", afirmó algo totalmente cierto respecto al concepto de naturaleza, que estamos obligados a ligar a aquella (naturaleza-mundo como representación, es decir, como error), pero que es la suma total de una multitud de errores de la inteligencia. A un mundo que no fuese una representación nuestra, no se le podrían aplicar enteramente las leyes numéricas: éstas sólo sirven en el terreno humano."

                                                                               Nietszche, `Humano, Demasiado Humano´, 1878

   Nietszche no es fácil de leer, pues requiere concentración y capacidad de análisis, hechos los dos también requeridos, curiosamente, por el método científico. La reflexión de El Número pertenece al libro referido arriba que engrosa la trilogía, aunque no nombrada como tal, que incluye 'Aurora', 'Humano, Demasiado Humano' y 'El Caminante y Su Sombra', escritos en pocos años y cuyos contenidos son similares, ya que tratan muy brevemente (desde algunos renglones a pocas páginas) sobre multitud de temas y reflexiones de Nietszche al respecto: la moral, la religión, la justicia, la ciencia, la crítica, la autocrítica, el bien, el mal, el perdón, etc. Filósofo polémico pero certero y muy concienzudo en su argumentario, no deja a nadie indiferente, por lo que voy a comentar por encima el párrafo anterior con una breve discusión al respecto.
   Nietszche analiza le idea de las leyes de la naturaleza, las leyes físicas, desde el punto de vista del ser humano como ente no completo, por lo que la interpretación de aquellas por este humano son erróneas de base. Nos transmite el error que conlleva la subjetividad propia del ser humano con respecto a algo irracional, puesto que las leyes físicas, numéricas, son universales sean referidas al ser humano o no, es decir, están ahí sin que ningún ser vivo pueda intervenir para interpretarlas a su libre albedrío, esto es, la objetividad de las leyes de la naturaleza, ya que son inalterables por el hombre. Esto contradice lo expuesto por Nietszche, obviamente, pero él mismo deja entrever la sutíl ambigüedad de sus razonamientos al constatar que las percepciones del ser humano del espacio y del tiempo son falsas. A su favor diré que este escrito es de finales del siglo XIX y que no fue hasta principios del siglo XX cuando no se removieron los cimientos de la ciencia física con la teoría de la relatividad de Einstein, por lo que podemos dar un respiro al bueno de Nietszche.
   Añade el concepto de punto material al que se le aplican teóricamente las leyes físicas que nos gobiernan, como algo sin valor pero con todo el valor (afirma que una 'cosa' material recibe únicamente el movimiento y que todo movimiento va a parar a una 'cosa' material) pero a su vez afirma separar "el motor de lo movido". Aquí incluye la razón, propia exclusivamente del ser humano, ser que, afirma, es erróneo en sí mismo, por lo que está queriendo introducir subjetividades en objetividades, argumento que no se debe emplear en el método científico, por tanto, en las leyer físicas. Además, reafirma a Kant y ensalza la razón por encima de todas las cosas habidas y por haber y ve la representación de la naturaleza como algo erróneo, concepto que viene de la apreciación de la naturaleza por parte del ser humano, es decir, de la visión de las cosas. Muy acertadamente, nombra la teoría atómica, comenzando en esas décadas, donde se demostró que las leyes macroscópicas no necesariamente se verifican en el contexto atómico y pone a esa teoría como ejemplo de claro error entre las hipótesis de partida y los resultados finales.
   Más de 100 años después, la ciencia ha avanzado tanto que ya no se interpretan las leyes físicas que rigen el universo, porque se sabe que son objetivas, sin influencias externas, llámense propias del hombre, como afirma Nietszche. De hecho, su última frase de El Número es, hoy en día, claramente falsa y si Nietszche viviera en la actualidad, probablemente no la habría escrito.

Números Excepcionales II

Número áureo: También llamado la "divina proporción" o el "número de la belleza". Se representa con la letra $\varphi$ y es un número irracional, es decir, no es un cociente de dos número enteros. Su valor es, aproximadamente $$\varphi=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\approx1.6180339...$$ y proviene de la relación entre dos segmentos a y b (con a más largo que b) de una recta como construcción geométrica, es decir, $$\frac{(a+b)}{a}=\frac{a}{b} \, \Rightarrow \, 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$$  Si llamamos $$\varphi=\frac{a}{b} \, \Rightarrow \, 1+\varphi^{-1}=\varphi \, \Rightarrow \,\varphi^{2} -\varphi-1=0$$ ecuación cuadrática con soluciones $$\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}  \,\,\textrm{y} \,\, \frac{1-\sqrt[]{5}}{2}$$ siendo el Número Aureo la raíz positiva.
   Se encuentra en la naturaleza en una gran variedad de situaciones así como en todas las figuras geométricas en las que intervenga una forma pentagonal y, como curiosidad, $$\varphi^{2}=2,61803398874988...$$ tiene las mismas infinitas cifras decimales que $$\frac{1}{\varphi}=0,61803398874988...$$
   Fue ampliamente utilizado por artistas clásicos como Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci en sus esculturas y pinturas. Pero, de hecho, el dibujo de Da Vinci conocido como "el hombre de Vitruvio" no posee las proporciones áureas perfectas si no las proporciones fraccionarias perfectas, al contrario de lo que se cree. Se piensa que el ideal de belleza del ser humano tendría las proporciones áureas en su cuerpo: en la cabeza, en los brazos, en las peirnas y en el tronco. También se encuentra en la música clásica de Mozart y Beethoven, entre otros. Un número excepcional, no cabe duda.

Constante de Hubble: Llamada así en honor al astrónomo Hubble y a sus descubrimientos a principios del siglo XX. De forma muy básica, es una medida de cómo se expande el Universo. Es una constante de proporcionalidad pero no es un número fijo en sí porque tiene leves variaciones por lo que se le considera más bien un parámetro. En la actualidad, se puede asegurar que este parámetro se encuentra entre 50 y 100 (km/s)/Mpc, es decir, una velocidad (kilómetros cada segundo) en una distancia (Mega Parsec), por tanto, una aceleración. Hasta hace tan solo 2 décadas no se ha podido ir afinando ese valor resultando entre 70 y 75, siempre con pequeñas variaciones arriba y abajo de esos valores, siendo el último de hace apenas 15 años que lo sitúan en 77 con un posible margen de ± 0.15. Un número muy esquivo e interesante, sin duda. Según sea este valor, se define la edad del Universo, de ahí su importancia porque para un resultado de 70, dicha edad se sitúa en 14000 millones de años pero para un valor de 71, la edad del Universo es de 13800 millones de años.
   Aunque pueda parecer que la edad del Universo varía muy poco, es de vital importancia aproximarse lo máximo posible a ese valor porque es clave en el estudio de galaxias lejanas y en el estudio del comportamiento de la radiación de fondo, el comportamiento de las ondas gravitacionales, la creación de los agujeros negros, etc, de ahí que se pretenda establecer con la máxima exactitud el valor de esa constante de Hubble.

Constante de Planck: es el número más importante de la mecánica cuántica, la base de la física moderna. Es el número que liga la energía de un fotón y la frecuencia de su onda electromagnética a través de la relación $$E=hf$$donde $$h=6,62607x10^{-34} \,\, \textrm{Julios x segundo}$$ que equivale a $$4,135667x10^{-15} \,\, \textrm{Ev x segundo}$$
   Es un valor increiblemente pequeño debido a que trabaja a escala atómica. A partir de este descubrimiento a finales del siglo XIX, cambió por completo el entendimiento de las leyes físicas y permitió a Einstein desarrollar su teoría sobre el efecto fotoeléctrico (Nobel de física en 1921), desarrollar los modelos atómicos o implantar el Principio de Incertidumbre de Eisenberg, todos ellos a principios del siglo XX, en los que la constante de Plank es fundamental. Destacar que el Principio de Heisenberg se ha puesto en práctica recientemente en el CERN al colisionar protones a una velocidad próxima a la de la luz.

Velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacío es la constante c=299792458 m/s y se usa, principalmente, en las telecomunicaciones actuales y para definir la medida de longitud usual en las distancias en el Universo, el año-luz. Nada, absolutamente nada en el Universo, se puede desplazar más rápido que esa velocidad, aunque este extremo está en estudio bajo condiciones muy específicas. La fórmula de Einstein de la Relatividad $$E=mc^{2}$$ depende estrechamente de esta constante. A partir de 1983, se define el metro a partir de la velocidad de la luz, de ahí su excepcionalidad e importancia. Es en esa fecha cuando su valor es fijado de forma constante, indiscutible y sin errores (hasta entonces, había un pequeño margen de error respecto a un valor dado). Su mayor característica es que es un valor constante sea cual sea el marco de referencia en el que se incluya, lo que le confiere una seguridad en su uso apabullante frente a otras constantes físicas.

Área del conjunto fractal de Mandelbrot: A principios de los años 80, el francés Benoit Mandelbrot fijó las bases de una rama desconocida de las matemáticas: la geometría fractal. De esta geometría, su máximo representante es el conjunto de Mandelbrot, que se define de forma recursiva en el plano de los números Complejos. Este conjunto es muy curioso y tiene una característica muy importante, como todos los fractales, que es la autosemejanza, esto es, es (casi) invariable con relación a su escala. Así, una misma parte del conjunto aparece a cualquier escala del conjunto al ir acercándonos a su borde. Este hecho impide que el conjunto sea conocido en su totalidad y que su área sea un valor conjeturado, es decir, un valor intuido y no demostrado. Dicho valor es 1,5065918849 ± 0,0000000028 (ese error impide dar el valor como válido) y se cree que el valor exacto depende esencialmente de dos viejos conocidos de esta lista de números excepcionales: los números π y e, y es $$\sqrt[]{6\pi}-e=1,506591651...$$

Constante del sofá: es un número desconocido aunque acotado, tal y como les sucede a algunos de esta lista. El llamado "problema del sofá", formulado por el matemático austriaco-canadiense Leo Moser en 1966, es una representación bidimensional de la dificultad en la vida real para desplazar mobiliario. Requiere calcular la forma bidimensional rígida con patas de ancho unitario de mayor área A que se pueda desplazar a través de una zona plana en forma de L. El área A obtenida se conoce como la constante del sofá. El valor exacto de la constante del sofá es un problema abierto, por lo que, más que una constante, es un valor dentro de un intervalo, es decir, tiene cota superior e inferior. Actualmente, el límite inferior tiene un valor de 2.2195 y el superior de 2.8284. Su excepcionalidad proviene de su sentido práctico, ¿verdad?

Punto de Feynman: El Punto de Feynman quizás no debería estar en este listado puesto que no se refiere a un número en sí, si no a las posiciones concretas los decimales del número π en las que sucede algo muy curioso, y son varias. Si esta situación no estuviera en este listado de números excepcionales, tampoco debería estar el infinito pero sí lo incluí en la anterior entrada, dada su importancia en las matemáticas. Ante la duda, el punto de Feynman se queda. Se refiere pues, a los dígitos decimales de π entre las posiciones 762 y 767, que consiste en que el número 9 se repite 6 veces. Puesto que π es un número irracional con una expansión decimal infinita no repetitiva, es posible esperar la existencia de cualquier secuencia de dígitos tarde o temprano. Sin embargo, la temprana aparición de la secuencia tras tan, relativamente, pocas posiciones convierten al punto de Feynman en una curiosidad matemática. El nombre se refiere a un comentario del físico Richard Feynman, en el que dijo que quería memorizar los dígitos de π hasta ese punto, para poder terminar de recitarlos diciendo "...nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, y así en adelante", sugiriendo que π era un número racional. Fascinante.
   En comparación, la siguiente secuencia de 6 dígitos decimales repetidos se compone otra vez de nueves, comenzando en la posición 193.034. La siguiente secuencia comienza con el número 8 en la posición 222.299. De los dígitos restantes, el que más tarda en aparecer por sextuplicado es el número 0, en la posición 1.699.927.
   El punto de Feynman es también la ocurrencia de cuatro o cinco dígitos idénticos. La siguiente aparición de cuatro números idénticos es del dígito 7 en la posición 1589.​
   El número 2π (algunas veces referido con la letra griega τ (Tau)) tiene una secuencia de siete números consecutivos de nueves comenzando en la posición 761. En contraste, la primera aparición de siete números consecutivos en π es 3333333 en la posición 710.100.

Constante de la aguja de Buffon: Problema planteado y resuelto a finales del siglo XVIII. El experimento es el siguiente: se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas a una distancia uniforme. Se demuestra que si la distancia entre las rectas en igual a la longitud de la aguja, entonces la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/π = 0.6366197..., que es la llamada Constante de Buffon. Si la aguja es menor que la distancia entre dos rectas, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las rectas es 2L/(D x π), siendo L la longitud de la aguja y D la distancia entre las líneas. Para acabar, si la longitud de la aguja es mayor que la distancia entre dos rectas, la fórmula se torna bastante compleja y no merece la pena expresarla aquí.
   He probado, aguja y papel en mano, que si D = 5 cm, L = 3 cm, entonces, la probabilidad de que la aguja toque alguna de las líneas es 0.382; si D = L = 5 cm, obtenemos que dicha probabilidad es de 0.637 y si D = 5 cm y L = 10 cm, entonces ese valor se sitúa en 0,837 (en los tres casos he utilizado solo dos decimales para el número π: 3,14).
   Su importancia radica, aparte de ser un experimento muy curioso, en que es un método muy fiable para calcular valores del número π aunque extremadamente lento (necesita muchos lanzamientos para ir encontrando nuevos decimales. Con una prueba de 50 lanzamientos se puede obtener una aproximación a π entorno a solo una milésima).
   Es un problema probabilístico destacable y sencillo, con unos números interesantes, cuanto menos, que afecta al número π, el más excepcional entre los excepcionales (opinión personal, como ya comenté) y por esa razón he decidido incluir la constante de Buffon en esta lista.

Constante de Euler-Mascheroni: es una constante muy usada en teoría de números y se designa por Gamma, debido a su conexión con la función Gamma que, a su vez está relacionada con la función Beta. También tiene un fuerte vínculo con la función Zeta de Riemann, todas ellas muy importante en la teoría de números, de ahí la importancia y la excepcionalidad de tal número aunque poco o nada conocido su contexto. Su definición formal es engorrosa porque involucra integrales infinitas o series infinitas, y no es cuestión de recargar en exceso esta entrada del blog, pero resaltar que su valor aproximado es de 0,5772156...

Número de Graham: El número finito más grande que se puede construir es g63. Su longitud escapa a cualquier entendimiento posible. Siempre comento que si el infinito existe, números como éste son cero, frase muy difícil de tragar incluso para la mayoría de personas a las que les gustan las matemáticas, ya que, una cosa es ser matemático y otra muy distinta es tener una licenciatura en matemáticas. Hablé extensamente de este número en la entrada El Número de Graham

Números Excepcionales I

   En esta entrada y en la posterior, quiero fijar la atención en algunos números que considero excepcionales por su rareza e importancia y explicaré, muy brevemente, algunas de las razones (siempre objetivas aunque con un toque subjetivo) que me llevan a nombrarlos. He seleccionado 20, 10 para cada entrada para no hacer una sola muy extensa. Hay más números raros y excepcionales, obviamente, pero esta es mi elección. Todos salvo uno, que ni siquiera considero que sea un número porque no lo es, son finitos y construibles, aunque algunos con un grado de dificultad extremo, debido (algunos de ellos) al innombrable no-número. Solamente hablaré de números en la base habitual, la decimal, por ser la más extendida y sencilla de comprender, aunque también los hay raros y excepcionales en otros sistemas de numeración. Trataré de escribir las menos fórmulas posibles.

0: Toda la humanidad sabe qué es el número cero y lo que representa pero muy pocas personas han observado que es un número tan extremadamente importante como raro, por el hecho principal de que es un número pero no una cifra (el único número que cumple este extremo) y que, dependiendo el lugar que ocupe en otros números, cambia absolutamente el valor de dicho número, y todo ello a pesar de no tener valor. Como definición sencilla, se podría decir que se caracteriza por siempre ser representado como cualquier número más su opuesto (aditivo, x + (- x) = 0). Apareció por primera vez en el siglo III AC y tuvo un nacimiento convulso aunque con anterioridad, los Mayas ya lo conocían y lo usaban de una forma curiosa como describo en el enlace Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya. Cualquier número real dividido entre cero nos da lo que tan poco me gusta: el no-número, infinito.

Infinito (el innombrable no-número): De entrada, hay que resaltar que infinito no es un número al uso, es un ente matemático que no existe, es inventado, creado para representar algo a lo que no se puede llegar, algo inaccesible, algo intangible. Se define formalmente como lo que no es finito, una definición negativa que niega un concepto puro como es lo finito, por lo que el concepto de infinito ni siquiera se puede definir con rigor (no así, por ejemplo, la definición de conjunto conexo, que sí es una definición rigurosa pese a ser una definición negativa: se dice que un conjunto es conexo si no existen dos subconjuntos suyos no vacíos tales que...). En la naturaleza y en el universo no existe tal y como se define, no es posible su existencia. Ni siquiera en la pregunta ¿es el universo infinito? El ser humano nunca podrá responder a semejante dilema porque debería suceder que el hombre exista una infinitud de tiempo. La existencia matemática del infinito es debida al hereje e infame Axioma de Elección en la axiomática ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). Traté este punto en la entrada Un Poco de Infinito

Pi: En mi opinión personal, es el número más importante de la ciencia y tiene unas propiedades muy curiosas y excepcionales, tal y como expliqué en la primera entrada de este blog, Si Dios Existe Se Llama Pi, que recomiendo revisar, por tanto, no añadiré más aquí. Cabe destacar que es la constante con mayor importancia de la geometría. Existe una relación muy íntima entre el número π y el siguiente de esta lista, el número e.

e: es la constante de mayor importancia del cálculo y el análisis matemático. Se relaciona íntimamente con el número π mediante la fórmula  $$\pi^{4} + \pi^{5} \approx e^{6}$$ con un error  < 0.000005%. Es un número relativamente reciente que data del siglo XVII, a pesar de su enorme importancia. Considero que es un número raro porque no destaca con respecto a otros números fuera del cálculo diferencial o la probabilidad, ramas de la ciencia que desconocían los clásicos o los científicos hasta hace 4 siglos. Como características más importantes destacan que es un número irracional, es decir, no es el cociente de dos números enteros (probado a mediados del siglo XVIII) y que es un número trascendente, es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, al igual que el número π. La gran importancia de este último resultado, probado recientemente (finales del siglo XIX) radica en que el número e fue el primer número que se demostró su trascendencia sin haberlo construido especialmente para dicha demostración, lo cual le confiere una gran rareza, a mi modo de ver. Se puede representar de muchas formas pero siempre involucrando límites infinitos o series infinitas, por desgracia.
   Existen algunas cuestiones sin solución, hasta ahora, que involucran al número π y al número e como el hecho de no saber si e^e (e elevado a él mismo) es o no trascendente, π + e ó π x e son números racionales.

i Unidad imaginaria: representa la raíz cuadrada de -1 y es el número que da pie a los números Complejos como una extensión de los números Reales (la raíz cuadrada de los números negativos no existe en los números reales). Creo que es realmente raro precisamente por la frase anterior: la construcción de la raíz cuadrada de un número real es un proceso engorroso pero de máxima fuerza, es decir, todos y cada uno de los pasos seguidos se realizan con simples sumas, restas y multiplicaciones de números reales pero que, cuando se tratan con números reales negativos, ofrecen... contradicciones que hacen que esa construcción de la raíz cuadrada de un número negativo no de ningún resultado satisfactorio, es decir, que no se obtenga ningún número real ya que produce un error. Es la constante más importante del análisis complejo y del álgebra. Añadiendo i al cuerpo de los números Reales se obtiene el cuerpo de los números complejos que es el cuerpo algebráicamente cerrado más pequño (algebráicamente cerrado significa que los polinomios con coeficientes en ese cuerpo tienen todas sus raíces en ese cuerpo). Se destaparon sus virtudes y desarrollo a partir del siglo XVI. Tiene una gran importancia en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en electrónica y en mecánica cuántica. Los físicos siempre andan a la gresca con los matemáticos y la constante i está involucrada en estas riñas: ellos prefieren referirse a la unidad imaginaria compleja con la letra j, ya que la letra i la utilizan para la intensidad de corriente. Cosas de los físicos.
Las constantes anteriores están relacionadas por la fórmula más importante y bella de las matemáticas: la fórmula de Euler $$e^{i\pi} +1 = 0 \,\,\,\, \textrm{donde} \,\,\, i=\sqrt[]{-1}$$


142857: este sencillo número natural es muy curioso y lo considero excepcional por las siguientes características:
142857 x 3 = 428571, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 puesto al final
142857 x 2 = 285714, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 y el 4 al final
142857 x 6 = 857142, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con 1, 4, 2 al final
142857 x 4 = 571428, idem pero con 1, 4, 2, 8 puestos al final
142857 x 5 = 714285, idem pero con 1, 4, 2, 8 y 5 puestos al final
Pero aún hay más:
142857 x 7 = 999999, y 142857 x 8 = 1142856 donde el 7 del final se ha transformado en 1 + 6 y el 1 se ha puesto al inicio y el 6 al final.
Solo se libra de estas curiosidades el producto 142857 x 9, para acabar con las multiplicaciones por los números de menos de 2 cifras, cuyo resultado es 1285713, que nada tiene que ver con los productos anteriores.
Y si nos fijamos en el 7, resulta que su inverso multiplicativo, 1 / 7 = 0,1428571428... posee el número 142857 en sus primeras cifras decimales

Constante de Conway: es un número que relaciona los números con el lenguaje humano. Es la constante de la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión conocida como "desintegración audioactiva" en la que cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Que este mecanismo tan curioso y excepcional desemboque en una constante indica su extremada rareza. Dicha constante es 1,303577269, independientemente del término inicial de la sucesión salvo el 22. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:
Por ejemplo, si x0 = 1 (se lee, 'un uno'), los siguientes términos serán
x1 = 11 (dos unos -> 21)
x2 = 21 (un dos y un uno -> 1211)
x3 = 1211 (un uno, un dos y dos unos -> 111221)
x4 = 111221 (tres unos, dos doses, un uno -> 312211)
y sucesivamente
Con x0 = 22 no funciona porque se lee 'dos doses', por lo que x1 = 22 y se repite el proceso invariablemente con los mismos números.
Esta sucesión es divergente y la diferencia entre cada dos posiciones, sean las que sean, converge al número mencionado anteriormente (salvo que el término inicial sea el 22, como ya he comentado). Como curiosidad (¡¡por si no fuera bastante curioso lo anterior!!), la constante de Conway es la única solución real positiva de una ecuación de grado 71, que no escribiré por ser larga y poco agraciada. Para rizar el rizo, el método de construcción de la sucesión anterior está íntimamente ligado a la tabla periódica de los elementos químicos tomando como base el hidrógeno, al que se le asigna la sucesión constante anterior que comienza con x0 = 22. Por todo lo expuesto, la rareza de la constante de Conway es absolutamente extrema.

Gugol: es el número 10^100, 10 elevado a la potencia 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. También tiene nombre el número 10^gugol, 10 elevado un Gugol, llamado Gugolplex, es decir, un 1 seguido de un Gugol de ceros. Esos números nacieron de la mente de un niño. El Gugol no tiene importancia matemática más allá de ilustrar un número excepcionalmente grande (ni el número de átomos de hidrógeno en el universo llega a esa cifra) y el concepto de infinitud (expuesto anteriormente). Sin el uso de ordenadores, es un número que no se puede manejar pero tiene nombre propio y eso le confiere una bella rareza y excepcionalidad. El nombre de la empresa Google está basado en el Gugol y viene a representar la monstruosa cantidad de información a la que se puede acceder desde su buscador, en comparación con la enormidad que representa el número 10^100.

125,5 GeV (masa del bosón de Higgs): Es el único número de esta serie que posee unidades (Giga electrón-Voltios) y la existencia del bosón de Higgs se teorizó hace más de 4 décadas y, actualmente en el CERN, se ha podido demostrar que existe realmente pero su masa no ha sido fácil de cifrar. De hecho, el valor 125,5 es el valor medio de un intervalo en el que se sabe que se encuentra con una fiabilidad del 95%, es decir, con un error del 5%. Su excepcionalidad recae en el hecho de no ser directamente construible (la masa del bosón) ya que se fue acotando poco a poco y descartando otros valores, todo ello con gran complejidad debido al hecho de que el bosón de Higgs es tremendamente esquivo y de una vida media exageradamente corta (del orden de 10^(-22) segundos). Existe amplísima información en internet sobre este ente tan importante para la ciencia, por lo que no explicaré aquí más cosas sobre él.

73: Este número es mi año de nacimiento pero, aparte de esta anécdota, tiene unas propiedades curiosas y raras, por lo que lo incluyo en esta lista, como por ejemplo que es el primo número 21, que es el resultado de 7x3, y 73 leído al reves, 37, es el primo número 12 (que es 21 al revés). En el sistema binario 73 es 1001001 capicúo, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, y en el sistema de base 8, 73 es 111, también capicúo. Además, en código morse es        --... ...--, capicúo, que se utilizaba para sustituir la forma coloquial 'atentamente' al final de los telegramas. Además, 37+12=49=7^2 y 7^3=343 capicúo.

Historia de Una Estrella. Betelgeuse Y Lo Que Somos

   Se estima que existen 7x10^22 estrellas en el universo conocido (70 trillones). El Sol es la estrella de mayor importancia por su tamaño aparente y es la única estrella que aparece en forma de disco y no como un simple punto de luz, pero ¿cuál es la segunda estrella más grande en tamaño aparente?
   La más brillante de las estrellas de la constelación de Orión es una de un característico color rojo, y su nombre es Alfa de Orión (Alpha Orionis), más conocida como Betelgeuse. ¿De dónde proviene este curioso nombre?
   En la Alta Edad Media, los árabes se apropiaron de la ciencia griega, incluyendo la descripción del firmamento que los griegos habían hecho y también observaron la constelación de Orión con la forma de un cazador gigante. Los árabes denominaban a las estrellas según su posición en una constelación, por lo que llamaron a Alfa de Orión "yad al-yaw-za", que significa `brazo del gigante´ en alusión a su posición dominante en Orión. Pero algún traductor europeo de un texto árabe transcribió los signos árabes como "bayt al-yawza", que significa `casa del gigante´ (que carece de sentido en la figura de Orión), y lo deletreó 'Betelgeuse', nombre que es el usado en la actualidad para esta formidable estrella.
   Betelgeuse es más conocida en detalle que cualquier otra estrella (excepto nuestro Sol, obviamente) a pesar de no ser la más cercana, y ¿por qué?
   Consideremos que una estrella cercana es más probable que sea conocida con detalle que otra que esté más lejos y que una estrella grande también es más probable que sea conocida con más detalle que una más pequeña. Por esta deducción, es lógico pensar que si queremos saber detalles de alguna estrella (que no sea nuestro Sol), deberemos elegir una que sea grande y que esté cerca.
   Betelgeuse no es la estrella más cercana pero vamos a aparcar un momento este dato. Sí es inusualmente grande, solo observándola sin ayuda de instrumentos. Este apunte parece extraño porque todas las estrellas (salvo el Sol) parecen simples puntos de luz incluso viéndolas a través de los instrumentos apropiados. Entonces, ¿cómo podemos saber si un punto de luz es mayor que otro solo mirándolo sin ayuda de instrumentos?
   Las estrellas rojas son rojas porque sus superficies están relativamente frías y por eso son confusas por unidad de área (lo "frío" está "oscuro", lo "caliente" genera "luz",al menos). De ahí que, si esas estrellas rojas son muy brillantes, debe ser porque están increiblemente cerca de nosotros o, si esto no sucede, es porque la superficie total es excepcionalmente grande.
   La estrella Alfa Centauro C (Próxima Centauri) es la estrella más cercana a nuestro sol de todo el firmamento pero, incluso así, es insuficientemente próxima para ser visible al ojo humano sin ayuda de instrumentos. Es roja, fría y pequeña. Betelgeuse es tan roja como Alfa Centauro C y está 150 veces más lejos que ella pero, no es solo visible sin ayuda de instrumentos, si no que es la 9ª esterlla más brillante del cielo. Así pues, debe deducirse que su superficie ha de ser tremendamente enorme.
   En 1920 se midió el diámetro aparente de Betelgeuse y, con esta medición, fue la primera estrella que demostró, mediante una medición real, que era más que un simple punto de luz. Este diámetro resultó ser 0.02 segundos de arco. Este inerte dato significa que si 100.000 puntos brillantes iguales a Betelgeuse uno al lado del otro y tocándose, tendríamos una línea delgada y brillante de una longitud igual a la anchura de una Luna llena cuando está más cerca de la Tierra.
   Una característica importante de Betelgeuse es que es una estrella variable, es decir, que su brillo varía con el tiempo. Además, no tiene una periodicidad en dicha variación: su brillo medio es de magnitud 0.85 pero en ocasiones brilla hasta 0.3 ó desciende hasta 1.2. Este no es un hecho raro, ya que una gigante roja es una estrella que se encuentra en su fase final. Dentro de poco (en tiempo astronómico, se entiende) no podrá soportar la masa de sus capas externas por la energía de las reacciones de fusión de sus profundidades y la estrella se desmoronará (con o sin explosión). Betelgeuse 'parpadea' y se debe a las turbulencias e inestabilidades que cabe esperar de una estrella que tiene problemas para autoabastecerse con suficiente calor para mantenerse en expansión. Esto se demuestra con un sofisticado aparato llamado interferómetro. El diámetro aparente de Betelgeuse, medido con este intrumento, varía de 0.049 a 0.060 segundos de arco.
   Para conocer realmente lo grande que es Betelgeuse, en unidades absolutas a partir de su tamaño aparente, se debe conocer su distancia, lo cual no es fácil. A partir de 30 parsecs (aproximadamente 100 años-luz), resultan difíciles de determinar (1 parsec = 1 pc = 3.2616 años-luz = 3.0857 x 10^16 m). La última cifra a este respecto es de 197 + - 45 pc.
-Tamaño:
   Para que la esfera de una estrella aparezca como de un diámetro de 0.02 segundos de arco, incluso estando a una distancia de unos 200 parsecs, debería tener un diámetro real de unos 1600 millones de kilómetros. Esto significa que Betelgeuse tiene un diámetro (promedio) 1180 veces mayor que el diámetro del Sol. Su volumen sería entonces 240 millones de veces el de nuestro Sol. Esto significa que si Betelgeuse fuera una esfera hueca, podríamos echar en ella 240 millones de esferas del tamaño de nuestro Sol para que la esfera se llenase por completo. Y si imaginásemos a Betelgeuse en el lugar del Sol, su superficie se localizaría cerca de la órbita de Marte.
   Y cuando Betelgeuse se expande a su máximo, su diámetro aumenta hasta unos 725 millones de kilómetros o casi unas 1000 veces el del Sol. En su mínimo, es aún unos 500 millones de kilómetros, unas 690 veces el del Sol. En plena expansión, la superficie de Betelgeuse, estando en el lugar de nuestro Sol, estaría en el cinturón de asteroides. Es 3 veces más voluminosa en su máximo que en su mínimo.
   Betelgeuse es una Gigante Roja, pero ¿cómo se puede comparar en tamaño aparente con otras estrellas que son más pequeñas pero que están más cerca? Alfa Centauro A es casi exactamente del tamaño de nuestro Sol, y a su distancia de 1.35 parsecs, su diámetro aparente sería solo de 0.0035 segundos de arco, menos de una quinta parte del de Betelgeuse. Así, aunque está más cerca, su diminuto tamaño no le permite mostrarse tan grande como la gigantesca Betelgeuse.
   Por todo ello, no existe ninguna estrella lo suficientemente grande, lo suficientemente cercana o ambas cosas a la vez, que rivalice con Betelgeuse. La que más se acerca es otra Gigante Roja, Antares (Alfa Escorpión), en la constelación del Escorpión. Está más cerca que Betelgeuse (168 parsecs) pero, aún así se muestra levemente más apagada por lo que debe ser más pequeña. De hecho, tiene un diámetro aparente de 0.002 segundos de arco.
-Temperatura:
   Betelgeuse tiene una temperatura superficial de 3500 ºK mientras que la del Sol es de 5778 ºK, es decir, Betelgeuse se encuentra al rojo vivo y nuestro Sol está al rojo blanco. Si la temperatura superficial de nuestro Sol descendiese a 3500 ºK, ofrecería una luz enrojecida pero su iluminación total tendría una intensidad de sólo 0.023 de la actual. Sin embargo, Betelgeuse tiene una superficie 85000 veces mayor que la del Sol y, aunque cada porción del tamaño del Sol da sólo 0.023 de la iluminación de nuestro Sol, la estrella entera resplandece con una luz 43000 veces mayor que la del Sol.
   En astronomía se emplea el término "magnitud absoluta" para representar el brillo que una estrella mostraría si se encontrase a 10 parsecs de la Tierra. Si pudiéramos ver nuestro Sol desde esa distancia, tendría una magnitud absoluta de +4.83, lo cual representa una luz más bien apagada, y la convertiría en una estrella nada destacable en el firmamento. En cambio, si Betelgeuse avanzase hasta nosotros y situarse a esa distancia de 10 parsecs, resplandecería con una magnitud absoluta de -5.9, es decir, brillaría roja con un brillo 4.33 veces el del planeta Venus en su máxima brillantez. Entonces tendría un diámetro aparente de 0.4 segundos de arco, lo cual sería enorme para una estrella (salvo el Sol) pero seguiría siendo un punto de luz. Por comparar, el planeta Júpiter tiene un diámetro aparente de 50 segundos de arco (150 mil kilómetros) y, aún así, sigue siendo un punto luminoso si se mira sin instrumental.
-Masa:
   A pesar de su tamaño y brillo, Betelgeuse no es el gigante que parece en cuanto a su masa. Sin duda, tiene más masa que el Sol pero no tanta como cabría pensar. De hecho, se estima que tiene sólo 16 veces más masa que nuestro Sol. Esta masa de 16 soles se extiende en un volumen que es, en promedio, 80 millones de veces el del Sol. Así, su densida media (d=m/v) se estima en 0.0000002 la del Sol. De todos modos, cualquier estrella no es densa de forma regular en toda su masa ya que una estrella es menos densa en su superficie y aumenta, más o menos regularmente, a medida que se profundiza hacia el núcleo, así como su temperatura.
-Reacciones físico-químicas:
   Una estrella comienza como una bola de hidrógeno, generalmente, y es en el centro donde la temperatura y la densidad son mayores y hacen que ese hidrógeno se fusione en helio y produzca energía. Comienza una reacción de fusión en cadena del hidrógeno transformándose en helio y haciendo así que el núcleo vaya creciendo.
   La fusión del hidrógeno sigue teniendo lugar fuera del núcleo de helio, donde el hidrógeno se encuentra a su mayor temperatura y densidad y el núcleo se hace más caliente y denso conforme crece. Pasados millones de años, esa temperatura y densidad del núcleo de helio se hacen lo suficientemente grandes como para forzar incluso a los núcleos de helio estables a fusionarse en núcleos de carbono y oxígeno (un núcleo de carbono está compuesto por 3 núcleos de helio y uno de oxígeno por 4).
   Este nuevo aumento de temperatura por el inicio de la fusión del helio, hace que la estrella (que, durante la fusión de hidrógeno, ha permanecido inalterada en apariencia) se expanda, por lo que su superficie se enfría.
   Esto es lo que le ocurre a Betelgeuse: en su centro se haya un núcleo de carbono-oxígeno que está a una temperatura de 100 mil ºK (el del Sol tiene una temperatura de 15 millones de ºK), lo cual no representa calor suficiente para que el carbono y el oxígeno se fusionen en núcleos más complejos. Este núcleo, se estima que tiene el tamaño de 2 veces el diámetro de la Tierra y una densidad de unos 50 kg por centímetro cúbico, es decir, más de 2000 veces la de nuestro planeta.
   Tal vez, 0.02 de la masa total de Betelgeuse está comprimida en ese diminuto núcleo. Alrededor suyo hay una capa de helio de unas 10 veces el volumen del núcleo, que contiene otro 0.02 de la masa total. En el exterior de la capa de helio se hallan las regiones externas que son, en su mayoria, hidrógeno. El helio continúa fusionándose en la superficie del núcleo de carbono-oxígeno, como expliqué antes, y el hidrógeno sigue fusionándose en los límites de la capa de helio. Pero este hidrógeno no puede fusionarse a la velocidad con la que lo hubiera hecho en el núcleo, por lo que produce menos energía. Así, las dos fusiones juntas apenas producen suficiente calor para mantener a la estrella en expansión y este hecho produce que, de vez en cuando y aparentemente, comience a contraerse. Esa contracción comprime el hidrógeno y el helio y acelera la fusión por lo que la estrella se expande de nuevo y vuelta a empezar.
   Pero ese ciclo cada vez produce menos energía por el consumo de los elementos implicados y entonces, con el tiempo, comienzan a aparecer núcleos de hierro en el centro, los cuales no permiten fusiones productoras de energía y las contracciones periódicas se hacen cada vez más intensas hasta provocar el colapso total y permamente. Ese derrumbamiento comprimirá todo el material fusinable que aún quedaba y se producirá una explosión. Cuanta más masa tenga la estrella, más repentino será ese colapso y más catastrófica la explosión.
   Una estrella como Betelgeuse explotará con la suficiente violencia como para convertirse en una supernova. Los restos comprimidos se derrumbarán sobrepasando la fase de enana blanca y se convertirán en una estrella de neutrones (que podría desembocar en un agujero negro). Este es el destino de Betelgeuse en un futuro próximo (astronómicamente, podría significar unos 100 mil años).
-Estabilidad:
   Nuestro Sol es una estrella estable que no cambia de tamaño ni la cantidad de radiación que emite. Obviamente, en unas épocas es más irregular que en otras pero, comparativamente, es totalmente estable respecto a Betelgeuse, que, como he comentado con anterioridad, tiene un tamaño aparente entre 725 y 1000 veces el tamaño del Sol pero el período que tarda en ir desde su tamaño mínimo hasta el máximo es de unos 50 días y desde el máximo hasta el mínimo varía entre 100 y 150 días. Aparentemente, esta irregularidad está asociada al hecho de que es turbulenta y está "hirviendo": burbujas calientes de helio del interior salen periódicamente a la superficie y producen enormes manchas calientes que hacen que la estrella se expanda.
   Su inestabilidad también se manifiesta mostrando signos de poseer colosales prominencias y de ser la fuente de poderosos vientos estelares, signos que llevan a razonar que no permanecerá en su forma actual por mucho tiempo, en comparación con las estrellas ordinarias como el Sol, que pueden permanecer sin cambios relativos durante miles de millones de años.
   Comparando el viento de Betelgeuse con el del Sol, nuestra estrella está perdiendo masa constantemente mientras oleadas de partículas (principalmente protones de hidrógeno) se mueven hacia fuera en todas direcciones. Así, cerca de 1 millón de toneladas cúbicas de materia se pierden en el Sol cada segundo por la acción de ese viento solar, pero Betelgeuse pierde materia miles de millones de veces la cantidad anterior.
   Si Betelgeuse continuara perdiendo materia con el ritmo actual por la acción del viento estelar, desaparecerá por completo en 16 millones de años. Sin embargo, hay indicios de que mucho antes haya expulsado suficiente materia como para convertirse en una estrella condensada rodeada de una nebulosa planetaria o haya estallado formando una supernova, como indiqué anteriormente. Una gigante roja como Betelgeuse puede permanecer en ese estado no más de 2 millones de años.

Fuentes: "El Monstruo Subatómico" (Isaac Asimov) y fuentes propias, así como actualizar los datos técnicos del manual mencionado.

Jugando Con Dados

   Algo tan sencillo pero tan visual como puede ser una figura geométrica, nos puede dar muchísima comprensión de conceptos abstractos como generalizar el número de caras, vértices o aristas de un poliedro de “n” lados (Teorema de EULER, C + V = A + 2 donde C son las caras, V los vértices y A las aristas), asignar números a las caras y jugar con las sumas, diferencias u otras operaciones y la razón está en la percepción visual de la figura en 3 dimensiones y, por tanto, la más fácil comprensión de complejos aspectos de álgebra y sus aplicaciones. Por ello, en esta entrada vamos a jugar con los dados, entendiendo como éstos a los formados por figuras cúbicas. No me refiero al cálculo de probabilidades ni a diseñar experimentos estocásticos, si no a la observación de los dados estáticos.

   Lo primero que hay que plantearse con los dados es cuál es la asignación de los números en las caras y cómo se relacionan entre sí, porque no existe una única forma para tal asignación, y esto es muy importante, según las cuestiones que se pretendan dilucidar. Por supuesto, dejo aparte los llamados “dados no transitivos” y otras figuras de dados, usaré pues los dados de toda la vida, normales y corrientes, con números del 1 al 6 cada uno en una cara.

   Dichas asignaciones corresponden a lo que, algebraicamente, se denomina el Grupo de Permutaciones, absolutamente VITAL en la Teoría de Grupos, pero no entraré en detalles complejos y muy abstractos. La idea fundamental de este tipo de construcciones consiste en permutar, es decir, `mover´ cosas manteniendo sus propiedades básicas. Para nuestro caso concreto de un dado y los números que pondremos en sus caras, sería simplemente aplicar cierta regla para esas asignaciones.

   Como ejemplo básico, voy a tratar dos tipos de dados con (casi) la misma asignación de números en sus caras:

-Dado 1: supongamos que vemos el dado desde una arista, localizando así 3 números como los de la figura:

 

El orden aquí es como sigue: 1 arriba, 2 izquierda-abajo, 3 derecha-abajo. Según esta configuración inicial, las caras opuestas tienen asignados, en este orden, el 6 opuesto al 1, el 5 opuesto al 2 y el 4 opuesto al 3. Se consigue de esta manera la permutación respecto a lo que vemos, que nos lleva el 1 al 2, el 2 al 3 y el 3 al 1 y, las caras ocultas llevan el 4 al 5, el 5 al 6 y el 6 al 4. Se construye así la permutación compuesta A₁₂₃B₄₅₆ que asigna esos movimientos de traslación.

-Dado 2: supongamos ahora que vemos el mismo dado pero cambiando la localización de 2 y el 3 como muestra la figura:

   Aquí, el 1 sigue arriba pero ahora el 2 está a la derecha-abajo y el 3 a la izquierda-abajo. Con esta composición, las caras que no se ven tienen asignados los números opuestos como sigue: el 5 opuesto al 1, el 6 opuesto al 3 y el 4 opuesto al 2. En este caso, obtenemos la permutación A’₁₃₂B’₄₆₅ que no es la misma que en el dado anterior porque el orden influye.

   Con respecto a las caras ocultas que permanecen debajo de la cara más arriba (para el dado 1, la opuesta al 1 es el 6 y así sucesivamente según giremos el dado, e idem para el dado 2), también se les puede asignar unas permutaciones, siendo éstas las C₁₆D₂₅E₃₄ para el dado 1 (es decir, el opuesto al 1 es el 6 y viceversa, el opuesto al 2 es el 5 y viceversa y el opuesto al 3 es el 4 y viceversa) y para el dado 2, C’₁₅D’₂₄E’₃₆ (explicación parecida a la del dado 1). Manejando los dados es muy sencillo ver las composiciones anteriores y es muy intuitivo incluso para enseñar el concepto “permutación de números” a personas sin conocimientos matemáticos.

Ahora podemos plantear un par de cuestiones interesantes, a modo de ejemplos:

   -¿Cuánto suman las caras ocultas de 6 dados que tienen en su cara superior los números del 1 al 6 sin mirar esas caras? Tanto para el dado 1 como para el dado 2, se resuelve de la misma forma porque no varían los opuestos a los números de la cara superior en cada uno de los dados y como tomamos todos los números asignados a todas las caras del dado, se puede afirmar que los números de las caras ocultas son también todos los números de las caras superiores, por lo que la respuesta es 6+5+4+3+2+1 = 21. En este sencillo ejemplo, hay que observar que la suma de los números correspondientes a la cara superior y su opuesta en el dado 1, es constante (1+6 = 7; 2+5 = 7; 3+4 = 7) pero para el dado 2 no ocurre esto (1+5 = 6; 2+4 = 6; 3+6 = 9).

   -Otro sencillo ejemplo podría ser el siguiente: usando, sin repetir, cada una de los 6 números de las caras de un dado, ¿cuál es la diferencia entre el número más grande y el más pequeño que se pueden construir sin usar exponenciales ni otras funciones algebraicas? En este caso, no es necesario usar un dado aunque didácticamente se puede plantear a cualquier persona esta cuestión al hilo del uso de los dados. Es claro que el mayor número que podemos construir con las cifras del 1 al 6 ha de comenzar por el 6 y el menor número con esas cifras ha de comenzar por el 1. Además, la segunda cifra del mayor número ha de ser la mayor cifra que nos queda de las cifras del 1 al 5 (el 6 ya lo hemos cogido) por lo que esta segunda cifra ha de ser el 5. Con un razonamiento parecido, la segunda cifra del número menor ha de ser el 2 y, extrapolando estos razonamientos, obtenemos que el número mayor es el 654321 y el menor el 123456, cuya diferencia es 654321 – 123456 = 530865.

   -Un último ejemplo con dados sería el que sigue: tenemos 6 dados en fila como el dado 1 con las caras superiores ordenadas del 1 al 6 y, supongamos que sumamos todos los valores de las caras visibles, es decir, todos salvo la que es opuesta a la superior, entonces obtendremos números consecutivos del 15 al 20 siendo par o impar según sea par o impar el número de la cara superior, esto es:

1+2+3+4+5 = 15 (eliminando el opuesto al 1 que es el 6)

2+3+4+1+6 = 16 (eliminando el opuesto al 2 que es el 5)

3+1+2+5+6 = 17 .....

4+2+1+5+6 = 18

5+1+3+4+6 = 19

6+2+3+4+5 = 20

El mismo planteamiento para el dado 2 obtiene los mismos números del 15 al 20 pero desordenados (se comprueba fácilmente que las sumas respectivas salen 16, 17, 15, 19, 20, 18).

   Dejo en el tintero infinidad de juegos con dados que involucran sumar, restar, fracciones, descomposición numérica, etc. Jugar con los dados aporta una enseñanza divertida y amena, a la vez que profundiza en conceptos abstractos y acerca las matemáticas básicas a los menores y al púbico en general.

Uso y Abuso del Lenguaje: Paradoja de Berry

   Ya van varias entradas sobre paradojas lógico-matemáticas y mi interés radica en que la vida en sí y, por tanto, la forma más habitual de comunicación, el lenguaje hablado o escrito, contiene graves inexactitudes que derivan en esas contradicciones que chocan a simple vista. La clave está en ser críticos y fijarnos en lo que subyace en cada paradoja: un intento de engaño abusando del lenguaje formal, entendiendo éste como el lenguaje formal llamado `de primer nivel o  nivel 1´, como se puede apreciar en la entrada inmediatamente anterior a ésta que escribo. Todas las paradojas o, la inmensa mayoría, se reducen a la paradoja madre, la paradoja de Russell, ya comentada en otras entradas. Dicha contradicción formal no tiene sentido en el lenguaje usado habitualmente para comunicarnos pero sí es resoluble en una lógica formal de orden superior.
   Por poner un ejemplo sencillo, la frase de nuestro lenguaje (o cualquier otro de traducción) "¿qué hay al norte del Polo Norte?" no tiene sentido (ni siquiera es una contradicción) ya que el punto más al norte que existe es el Polo Norte pero nuestro lenguaje nos permite construirla con exactitud semántica, sintáctica y gramática. Lo mismo sucede si nos referimos al Polo Sur, no así este u oeste. Los lenguajes de orden superior solventan este grave inconveniente poniendo reglas para, obviamente, impedir ese tipo de construcciones. Cualquier lenguaje de programación es un lenguaje de orden superior porque un algoritmo no permite construir sentencias como la anterior sin provocer un error que se deba depurar. Y la forma en la que un algoritmo depura una entrada es eliminándola.
   La paradoja de Berry que trato aquí, abusa del lenguaje en el sentido explicado más arriba. Su enunciado coloquial es: la siguiente frase es una contradicción en sí misma, "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras". Evidentemente, implícitamente está la idea de encontrar ese número de forma explícita. Así, quedarían excluidos los números enteros específicos de la forma "dos decenas", "mil millones de millones", "dos elevado a ciento veintitres", etc. Una cosa es clara: el conjunto de esos números enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es un conjunto finito, lo cual es un hecho muy significativo e importante puesto que no hablamos así de cardinalidad. Así pues, este conjunto finito no puede contener a todos los enteros positivos por lo que existe algún entero positivo que es el menor de los enteros que no está contenido en ese conjunto. ¿Cuál es explícitamente? Imposible saber cuál es. La razón es que la frase "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras" ya está definiendo a ese número pero esa frase solo tiene 14 palabras. Choque de trenes.
   Este tipo de frases encarnan las llamadas falacias 'Vicious Circle' (del círculo vicioso) y son frases que se refieren a ellas mismas y se resuelven como indiqué más arriba, evitando construirlas.
Formalmente, la paradoja de Berry es de la siguiente forma:

1) Sea A el conjunto de todas las palabras del idioma español (se puede extrapolar a cualquier otro idioma formado por palabras).

2) Sea X el conjunto de todas las posibles frases de A.
3) Definimos Y - |Y| = |X| donde, para todo y de Y, como número natural, entonces y < |X|, siendo |.| el número de elementos del conjunto. Así, Y es un conjunto de números enteros positivos.
4) Sea f : X <--> Y una aplicación biyectiva entre frases de X y números enteros positivos de Y.

La idea está en construir explícitamente esa función f, pero la paradoja afirma que existe un elemento de X tal que su imagen por f, es decir, f(x) no está en el conjunto Y, lo cual se contradice con el hecho de que f es una biyección (todo elemento del conjunto final es imagen de algún elemento del conjunto inicial y la imagen de todo el conjunto inicial es todo el conjunto final, es decir, es una aplicación uno-a-uno sin dejar elementos sin de ambos conjuntos sin relacionarse).
   No voy a entrar en cuestiones más serias de explicaciones puras porque entran en juego ciertos conceptos que, entiendo, aburren y esa no es la idea de este blog ni de esta entrada (comlpejidad de Kolmogorov, isomorfismo computable,...). Simplemente he querido mostrar, una vez más, que nuestro lenguaje (el formal de tipo 1, no me refiero al idioma) es susceptible de ciertas sutilezas que permiten construir frases como la paradoja de Berry u otras analogías que merecen la pena ser explicadas para no caer en esos círculos viciosos del uso y el abuso de la comunicación.