Principio de Incertidumbre de Heisenberg (de Forma Sencilla)

   Traigo aquí una visión distinta y más sencilla de lo que se puede encontrar en internet sobre el famoso Principio de Incertidumbre de Heisenberg que se enunció en 1927. Espero que su sencillez sirva para su mejor comprensión. 

   El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda por simple física elemental, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad debido a la naturaleza ondulatoria. Es natural pensar que si una partícula está localizada, debemos poder asociar con ésta un paquete de ondas más o menos bien localizado. Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias, en lo que entra la transformada de Fourier como se ve a continuación. En un instante dado la función de onda asociada con un paquete de ondas esta dado por 

 

donde k representa el número de onda  k = 2π / λ = 2πv / c  y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número de ondas) que varían desde cero a infinito medidas mediante el factor g(k). El momento de la partícula y el número de ondas están relacionados, ya que p = hv / c  y  k = 2πv / c   de lo que se deduce que p = hk / 2π = ħk , donde ħ  es la constante de Planck reducida siendo el valor de h   6,62607 x 10^-34  Julios / segundo.

   Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varía entre cero e infinito y por lo tanto el momento p = ħk  también varía entre cero e infinito, es decir, que está completamente indeterminado.

   Para ilustrar lo anterior presento diferentes tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice cómo están distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas k dentro del paquete:

 

  

-En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el espacio x, tiene contribuciones prácticamente iguales de todas las ondas con número de ondas k.

-En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.

-En el último caso vemos que si se define el momento p = ħk de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.

Es posible determinar el ancho (o la incertidumbre) del paquete de ondas tanto en el espacio normal Δx (indeterminación en la posición) como en el espacio de momentos Δp (indeterminación en la cantidad de movimiento).

La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es  ΔxΔp > ħ / 2

Si queremos determinar con total precisión la posición se ha de cumplir que Δx = 0, por tanto, de la desigualdad anterior se deduce, despejando, que Δp > ħ / 2Δx --> ∞  es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita. 

   Se ha probado así que no se puede establecer la posición y el momento lineal de una partícula de forma absoluta en un instante dado sin involucrar complejidad excesiva ni tener amplios conocimientos matemáticos y físicos, tal y como pretendo en este blog.

Aclaración de "¿Qué Suma Es Ésta?", 0.999... = 1

    Quizás surgieron algunas dudas en la anterior entrada en la parte en la que doy especial importancia a los "puntos suspensivos": no hay más que ir a aquella curiosidad para dar pie a lo que explico en estas líneas que siguen.

   Ahora exhorto al lector a centrar todos sus sentidos en la expresión " 0.999... = 1 ", pues voy a hacer un estudio detallado de lo que significa semejante... aberración matemática. Trivialmente es claro que 1 = 1  y que 2 = 2  y que 0,8734 = 0.8734  pero, ¿se puede afirmar lo mismo de expresiones del tipo 4.672... = 4.672... ?, ¿qué sucede en esos diabólicos puntos suspensivos? Intuitivamente se entiende que son aproximaciones, como cuando se pretende aproximar una raíz cuadrada: nunca se podrá dar un valor exacto pues se obtienen infinitos números decimales, por tanto esos símbolos de igualdad hay que saber tratarlos, y esto no se enseña en la universidad porque para ello hay que comprender lo que es la matemática.

   Se puede "probar" de varias formas que 0.999... = 1 : por ejemplo, si consideramos x = 0.999..., entonces 10x = 9.99... y restándole a esta ecuación la primera, se obtiene 9x = 9, de donde x = 1. Aparentemente es impecable. Esencialmente se tiene que 9x + x = 9 + x  de donde x = 1. Pero esto sólo sucede si realmente x es cancelable. Otra forma de verlo sería afirmar que 1/3 = 0.333... de donde, multiplicando por 3 la ecuación, se tiene 1 = 0.999... pero este extremo solo es cierto si lo es 1/3 = 0.333... Existen más "métodos" de prueba pero con esos dos es suficiente para el planteamiento.

   Se define el conjunto D, corte de Dedekind, a una estructura de la forma {x está en D si x < r} siendo x y r números reales. Este tipo de conjuntos tienen una serie de propiedades en las que no voy a entrar pero que los convierte en interesantes. De tal forma, nuestro 0.999... equivale a la estructura {x está en D si x < 1} mientras que 1 corresponde al corte {x está en D si x < 1 ó x = 1}.

   Aquí, se tiene que 0.999... = 1 + 0.000... donde 0.000... ha de ser necesariamente un decimal negativo puesto que suponemos sólo la operación de adición (la suma). Además, no se puede resolver la ecuación 0.999... + x = 1 porque en el corte D, la suma de un número real tradicional con cualquier real es un número real tradicional, es decir, 1 debería ser 1..... pero sólo es "1" sin decimales, por lo que se desmonta la malvada igualdad 0.999... = 1. Así, si fuera cierta, el 1 correspondería al número decimal 0.999... pero no existe un número decimal correspondiente a -1, que sería el corte {x está en D si x < -1}. Se deduce que el tratamiento de los números infinitesimales negativos no es el mismo que el de los positivos y este es un problema abierto.

   La intuición en la matemática no siempre se cumple y se debe tratar el detalle y el razonamiento lógico para llegar a la conclusión verdadera y no la meramente intuitiva.

¿Qué Suma Es Ésta?

    La serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – +... donde los puntos suspensivos indican infinitos términos (lo cual puede parecer obvio pero es muy importante resaltarlo), puede parecer una estructura sencilla de manejar y rápidamente se podría dar con el resultado que, a simple vista, es 0  ya que cada término se anula con el anterior pero, ¿es realmente esto así? Una forma de sumarla podría ser (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) +... = 0 + 0 + 0 +... = 0. Pero otra forma de sumarla puede ser  1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ··· = 1 + 0 + 0 + 0 + ··· = 1. ¿Qué está sucediendo?, ¿cuál es la correcta, si es que existe alguna? Curiosamente se podrían agrupar los sumandos reordenándolos y obteniendo un número entero cualquiera, por lo que no existe un único resultado. Esta serie es así por ser una serie de términos infinitos que no es nada trivial, como cualquier otra, y su manejo es complejo.

   Un prodigioso matemático indú llamado Ramanujan estudió estas series y las llevó a otro nivel. Su historia es muy interesante y, a pesar de morir joven, dejó un legado impresionante.

   E aquí la suma referida en el título de esta entrada: 1 + 3 + 4 + 5 +... = - 1/12 (R).

   Pero, ¿ésto qué es? ¿Una suma infinita de términos positivos da como resultado un número negativo? Ramanujan así lo afirmaba. Daré explicación a la R más abajo. Vamos a verlo.

Hoy en día, se sabe que la suma de los "n" primeros números naturales es "el último por el siguiente dividido entre 2", regla que nos enseñaron en secundaria, es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5+... = n(n + 1)/2, cuya serie infinita es divergente. No voy a entrar en los números de Bernouilli, voy a "resolver" el enigma de esa serie con valor negativo de una forma sencilla y constructiva:

Llamemos s a la suma anterior,  s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +...  Ahora la operación 1 - s = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +...) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +... = s  (aquí se refleja la gran importancia de los puntos suspensivos a la que hacía mención al comienzo de esta disertación, pues sin ellos la serie sería finita y hacer estas operaciones conllevaría posibles cambios de signo en el resultado final). De la igualdad anterior se deduce que 1 - s = s => s = 1/2.

Ahora consideremos r = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +..., entonces 2r = r + r = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...) = 1 - 1 + 1 - 1 +... = s = 1/2. Así, 2r = 1/2,  por tanto, r = 1/4.

Recordemos que la serie en discordia es S = 1 + 3 + 4 + 5 +...  Entonces, S - r = 1 + 3 + 4 + 5 +... - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...) = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 +... = 4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...) = 4S. Como r = 1/4,  se tiene S - 1/4 = 4S  y despejando S = - 1/12.

Así se obtiene ese valor tan "raro" de esa suma. Por eso a esta suma clásica se la denomina suma de Ramanujan y se le asigna la letra R en honor al genio indio y para hacer notar que ese signo de igualdad hay que analizarlo bien.

   Evidentemente existe un error de comprensión de la matemática no por el hecho de no saber conceptos sino por el tratamiento de esos puntos suspensivos tan importantes. La clave de esta cuestión es asignar un valor "finito" (en nuestro caso las S ó s ó r de esta entrada), que es la primera parte de la igualdad, a un valor "infinito" que proporcionan los puntos suspensivos en la segunda parte de la igualdad. Así se puede demostrar que - 1 = 0: Sea A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... de donde - 1 + A = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = A  y de aquí se obtiene - 1 + A = A  por lo que - 1 = 0.   (¡¡¡!!!). Esta es la locura de tratar con el diablo infinito, que es intratable por la lógica.

Criptografía de Forma Sencilla

   La criptografía es un campo moderno dentro del ámbito de estudio e investigación de la matemática y requiere conocimientos avanzados de esta materia. Aún así, intentaré en esta entrada reflejar la criptografía de la forma más sencilla que pueda sin que el lector se sienta empequeñecido y abrumado por la teoría que encierra. Espero acertar.

   Sea M un mensaje y E su encriptación. Supondremos que ambos son números naturales. Llamamos f a la función que va de M a E, f(M) = E. Para codificar M, el codificador y el descifrador del mensaje seleccionan dos números primos muy grandes, p y q, y definen el módulo, al que llamaremos n poniendo n = pq, suponiendo n > M. Se elije un e, con 1 < e < g(n) y e primo entre sí con g(n). La función g(n) llama función indicatriz y se define como el número de elementos del conjunto de números menores que n que son primos entre sí con n, es decir, g(1) = 1, g(2) = 1, g(3) = 2, g(4) = 2, g(5) = 4, g(6) = 2, g(7) = 6, g(8) = 4, g(9) = 6, g(10) = 4, ... Algunas propiedades interesantes de la función g son que, si p y q son primos entre sí, se cumple que g(pq) = g(p)g(q) y cumple el pequeño teorema de Fermat (su enunciado es "si a es un entero positivo y p un primo que no es factor de a, entonces p ha de ser un factor de aᴾ⁻¹ – 1"): si p y q son primos entre sí, entonces p^g(q) ≡ 1 (mod q), es decir, p^g(q) - 1 = kq, con k número entero, esto es,  p^g(q) y 1 dejan el mismo resto al dividirse entre q. El símbolo "≡" en una expresión del tipo x ≡ y (mod n)  significa x congruente con y módulo n. En definitiva, x es igual a y en Zn (son iguales como clases de equivalencia).

   La clave pública está formada por n y e y es conocida. Se puede definir este concepto con un ejemplo tan sencillo como ilustrativo: Supongamos que Y quiere enviar a X un mensaje secreto que solo él pueda leer. X envía a Y una caja abierta con cerradura, la cual se bloqueará una vez se cierre la caja, de tal modo que solo podrá abrirse con una llave que solo posee X. Y recibe la caja, escribe el mensaje, lo pone en la caja y la cierra. Ahora Y ya no podrá abrir la caja para acceder de nuevo al mensaje porque no tiene la llave. Entonces Y envía la caja a X, la cual puede abrir con su llave. Así, la caja con la cerradura es lo que se denomina clave pública de X y la llave de la cerradura es su clave privada. La caja la puede ver cualquiera pero no su contenido.

    Como n es tan grande y no está factorizado, p y q son incógnitas casi imposibles de saber. Se tiene que E = f(M) ≡ M ^e (mod n). En estas condiciones, la clave privada es el par n, d, donde d se elije de manera que ed ≡ 1 (mod g(n)). Como p y q son primos y n = pq, se cumple que g(n) = (p - 1)(q - 1). Si no se conocen p y q, y es prácticamente imposible conocerlos, no puede conocerse tampoco g(n) por lo que tampoco puede conocerse d. Pero el descifrador sí posee d ya que conoce p y q y así puede descifrar el mensaje (posee la llave que desbloquea la caja): E ^d ≡ (M ^e ) ^d  (mod n) ≡ M ^ed (mod n) ≡  M ^{(Ng(n) + 1)} (mod n), con N un número natural. Se puede aplicar ahora el pequeño teorema de Fermat: si a = M ^N (a es, casi seguro, primo entre sí con n), entonces, E ^d ≡ aM ^g(n) (mod n) ≡ M (mod n) = M, ya que M < n, como se ha supuesto al principio.

   Por todo ello, crear una clave es relativamente fácil, pues sólo se necesitan dos números primos grandes, los que hemos llamado p y q, y romperla es muy difícil. En esto se basa la seguridad actual de internet.

   Pocas veces se puede encontrar el resumen de toda una rama de la teoría de números tan breve, concisa y clara. Lo ideal es probar con algunos ejemplos que dejo al lector a su libre albedrío para que experimente, lo que quizás le lleve algún tiempo (una fracción de una fracción de una fracción es lo que tardan los ordenadores en cifrar mensajes) pero seguro que el resultado le agrada.

Logaritmos de Números Negativos: Euler y Sus Juegos

 Que Leonard Euler fue uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos no encierra ninguna duda. Desde pequeño le gustaba jugar con los números e investigar a partir de cosas conocidas para sacar sus propias conclusiones y una de ellas es el estudio de los logaritmos de números negativos.

   En secundaria se nos enseña que no existen los logaritmos de los números negativos y nos lo creemos por nuestra inocencia y falta de conocimientos pero sí existen. La cuestión es que existencia se basa en el cuerpo en el que se definan. Así, dichos logaritmos no existen en el cuerpo de los números reales R pero sí en el cuerpo que incluye a todos los números reales, el cuerpo de los números complejos C. Se sabe que C es algebraicamente cerrado, esto es, cualquier ecuación de grado mayor que 1 tiene solución (o soluciones) en C. No sucede este extremo en el cuerpo de los números reales como, por ejemplo, la ecuación de segundo grado x² + 1 = 0 cuya solución escapa de los números reales, ya que ésta es x = √-1, la constante imaginaria llamada " i " (nombrada así por Euler), irresoluble en R, como es sabido.

   Es conocida la fórmula de Euler e ^xi = cosx + isenx . El número real -1 se puede considerar como número complejo, ya que -1 = -1 + 0i. Así, cualquier número real se puede ver como un número complejo con esta sencilla construcción. Como bien es sabido, cosπ = -1, senπ = 0, por lo que -1 = -1 + 0i = cosπ + isenπ =  e ^{i Pi}  =>                 e ^{i Pi} + 1 = 0, que es la conocida como "fórmula más bella del mundo".

Escribimos ahora la ecuación anterior de la siguiente manera: -1 = e ^{i Pi} , y le vamos a aplicar logaritmos en ambos miembros y aplicar sus propiedades: ln(-1) = ln (e ^{i Pi} ) => ln(-1) = iπ ln(e) = iπ . Con este sencillo proceso se ha conseguido el logaritmo de un número negativo.

   Por la construcción del cuerpo de los números complejos C, el resultado más exacto es ln(-1) = iπ + 2kπ, (k un número entero), es decir, añadirle a la primera solución las vueltas sucesivas a la circunferencia en C.

Como curiosidad, se puede calcular el valor de i ⁱ  de la siguiente forma:

i = 0 + 1i = 0 + 1 · [cos(π/2) + i sen(π/2)], porque cos(π/2) = 0  y sen(π/2) = 1.  De la fórmula de Euler e ^xi = cosx + isenx  se tiene  i = 1 · (e ^{i Pi/2} ) = e ^{i Pi/2} =>  i ⁱ = e ^{w Pi/2} , donde w =  i ² = -1 , por lo que i ⁱ es un número real, aproximadamente  0,2078795764...  Al igual que más arriba, hay que añadir las soluciones cada vez que se produce un giro completo, es decir, i ⁱ = e ^{(w Pi/2 + 2k Pi)}, para todo k número entero.

Otro pequeño ejemplo está en hallar el valor de la raíz i-ésima de -1, es decir, (-1) ^1/i :

Por la bella fórmula  e ^{i Pi} + 1 = 0, se tiene que -1 = e ^{i Pi}, a lo que hay que añadir, como comenté en el ejemplo anterior, las vueltas o giros en el plano complejo, es decir, -1 = e ^{i (Pi + 2k Pi)}, para cualquier k un número entero, por tanto, (-1) ^1/i = (e ^{i (Pi + 2k Pi)}) ^1/i = e ^{(Pi + 2k Pi)}, que es otro número real (cuando k = 0), como en el caso anterior. Como dato importante, comentar que e ^Pi  es llamada constante de Gelfond  y su valor aproximado es 23,1406926328...

   Experimentar con los números y descubrir nuevas propiedades de ellos es a lo que se dedicó el genial Euler, así como cualquiera, hoy en día, de niños a mayores, puede experimentar "jugando" como en los ejemplos anteriores. Euler estaría orgulloso de esas mentes inquietas.

¿Existe Algún Líquido en el que Flote el Acero?

    ¿Es posible que el acero o el hierro floten en algún líquido? Es una pregunta interesante que requiere precisar el término "líquido". Básicamente, un líquido es un estado de agregación de la materia aunque es un concepto altamente complejo. La flotabilidad de un objeto en un medio es el empuje que experimenta hacia arriba. La tensión superficial de un líquido es la energía que se necesita para aumentar su superficie por unidad de área. Este es otro concepto complicado pero muy fácil de entender si se imaginan los insectos sobre la superficie del agua de un recodo de un río, aparentemente flotando sin hundirse en el agua.

   Con estas breves definiciones ya es posible plantear la cuestión inicial de un modo más concreto. La respuesta a la pregunta es un SÍ relativo, es decir, una afirmación condicionada. Cualquier metal en estado sólido puede flotar en un líquido que sea producto de la fundición de otro metal de tal manera que la densidad del metal fundido sea mayor que la del metal sólido y que el punto de fusión del metal sólido sea mayor que el del metal fundido convertido en líquido. Es cierto que un metal puede flotar en el agua pero bajo unas condiciones muy estrictas. Como ejemplo obvio, los barcos flotan en el agua pero los barcos han de tener unas formas muy concretas y cumplir ciertos principios... en caso contrario, incluso los barcos de madera se pueden hundir a pesar de que la madera flota en el agua de forma natural.

   Para entender con claridad lo expuesto en el párrafo anterior y contestando a la pregunta concreta que titula esta entrada, se pueden presentar varios ejemplos:

   El acero (aleación de Hierro y Carbono, esto es, Fe + C) tiene una densidad media de 7,8 g/cm3 y su punto de fusión es de 1375º grados Celsius. El Latón (aleación de Cobre y Zinc, Cu + Zn) tiene una densidad media en el intervalo 8,4 - 8,7 g/cm3 y su punto de fusión oscila entre 900º y 940º Celsius dependiendo de los porcentajes de sus componentes. Así, por lo visto anteriormente, el acero flota en latón fundido ya que requiere más calor que el latón para fundirse y su densidad es mayor que la del latón.

   Se puede ir probando con distintos metales según sus características; como ejemplos, el Mercurio (Hg) tiene una densidad de 13,6 g/cm3 y su punto de fusión es negativo, -39º Celsius, por lo que, por encima de -39º permanece en estado líquido (de ahí su uso en los termómetros). El Oro (Au) tiene una densidad media de 19,32 g/cm3 y su punto de fusión es de 1065º Celsius. La Plata (Ag) tiene una densidad de 10,5 g/cm3 y su punto de fusión es de 962º Celsius. Con estos datos, el acero y la Plata flotan en el Mercurio pero el Oro se hunde sin fusionarse, la Plata se fusiona con el Oro (estando el Oro en estado líquido y sumergiendo Plata en estado sólido en él, a la inversa no se cumple), el acero flota en la Plata, el Oro se hunde en el latón, etc.

   Por tanto, la respuesta rápida a la cuestión inicial ha sido encontrar dos "líquidos" en los que flota el acero sólido: el Mercurio y el latón, sin tener en cuenta el caso excepcional del acero en el agua, como ya he comentado. Evidentemente, se puede buscar gran cantidad de información sobre distintos metales y comprobar teóricamente los distintos casos como he comentado en esta curiosa entrada.

Matemática Sonora: Música y Armonía

    Consideremos la ecuación (3 / 2) ^x = 2 ^y  que se simplifica rápidamente a la forma  3 ^x = 2 ^{x + y} . Después de algunos cálculos sencillos se encuentra la solución y = x (log₂ (3) - 1) , cuyo valor aproximado es y = 0,585 x , una recta del plano con pendiente positiva. 

   Lo que pretendo plantear en esta ocasión no es resolver una ecuación exponencial aplicando algunas sencillas y conocidas propiedades logarítmicas (algunos conceptos sobre los logaritmos se encuentran en la entrada Algunas Notas Sobre Logaritmos ). Voy a explicar el significado de coma pitagórica que aparece en la armonía musical. Los pitagóricos estudiaron con detalle el sonido producido por la única cuerda que posee un monocordio (proviene del griego y significa instrumento de una sola cuerda). Al variar la longitud de la cuerda, ésta generaba distintos sonidos, lo que hoy se conoce como notas musicales. Cuanta más corta era la cuerda, más agudo era el sonido resultante. Los sonidos más agradables o armónicos al oído se generaban de una forma muy concreta: dividiendo la cuerda a la mitad (1 / 2), a la tercera parte (1 / 3), a los dos tercios (2 / 3) y a los tres cuartos (3 / 4) de la longitud original. Así, se nombran las conocidas relaciones en orden a la fracción que falta de los anteriores valores para completar 1 unidad, es decir, el valor que hay que añadir a los anteriores para llegar a la longitud máxima de la cuerda, con lo que se tienen:

-La octava: la cuerda se pisa a la mitad de su longitud, por tanto, su relación es 2 : 1. En lenguaje musical, es el intervalo entre dos notas. Por ejemplo, la distancia entre un Re y el siguiente Re. Una octava son 12 semitonos.

- La quinta: la cuerda se pisa en un punto situado a 1 / 3 de la longitud de la cuerda por lo que su relación es 3 : 2. Una quinta son 7 semitonos, lo que equivale a 700 Cents. Una quinta pura o pitagórica equivale a 702 Cents.

- La cuarta: la cuerda se pisa a 1 / 4 de la longitud total, que numéricamente equivale a 4 : 3.

La idea fundamental que encierra esta armonía es el patrón numérico (n + 1) : n , el cual es el que produce los sonidos más armónicos o agradables. Este proceso acarrea ciertas dificultades con las notas musicales al no completar el círculo, pero no entraré aquí en conceptos musicales por no ser el objetivo que pretendo explicar.

Falta por aclarar qué es el Cent: es la menor unidad de medida logarítmica que se emplea para medir con precisión absoluta los intervalos musicales. Es una centésima de semitono. Así, un intervalo de 1 Cent es tan pequeño que no es perceptible por el oído humano. Como 12 semitonos son 1 octava, el cent es el número c que cumple la ecuación (c ¹⁰⁰) ¹² = 2 , que, simplificando nos da (nos quedamos con la solución positiva) c = 2 ^{1 / 1200} , es decir, la raíz 1200-ésima de 2. El valor es c = 1,000577... Aunque la unidad de medida del sonido es el Hercio (Hz), válido tanto para ondas sonoras como para ondas electromagnéticas, en realidad el Cent es una relación y no sería exacto definirlo como una unidad de hercios. Es un concepto un tanto complicado pero para esta entrada ha sido suficiente lo comentado en este párrafo.

   Con todo lo anterior, la llamada Coma Pitagórica, CP,  se define como la distancia de siete octavas entre notas. Su expresión numérica es CP = f · (3 / 2) ¹² / f · 2 ⁷ = 1,013643264... , donde f es una frecuencia dada inicial desde la que se parte, es decir, la coma pitagórica es algo más del 1% de 1 octava. De ahí que planteara la ecuación del principio de este capítulo.

   Es evidente que los números imperan en cualquier ámbito relacionado con la naturaleza humana (como ejemplo, se puede revisar la entrada Hombre No-Numérico ), como la de cualquier ser vivo, e incluso, como se ha visto aquí, en el ámbito más artístico y no científico del hombre.

Un Poco Más Sobre las Estrellas y una Ley Muy Importante II

   En la entrada Un Poco Más Sobre las Estrellas y una Ley Muy Importante I  ya comenté que la Ley de Hubble se expresa como V = H r , donde V es la velocidad radial en km/s y r es la distancia notada en Mpc (mega-parsec) y se calculaba un valor teórico de la constante H, la constante de Hubble que él mismo aproximó a un valor de 540 km/s por Mpc. Los cálculos de distancias estelares resultaban muy inciertos para las primeras décadas del siglo XX de forma que este valor ha ido evolucionando desde entonces situándose entre 50 y 100 (km/s) / Mpc, según el método que se utilice para su determinación. Hoy en día, ese valor se sitúa en el entorno de 70 con un error de pocas unidades. Nota: un mega-parsec es la distancia equivalente a 3,26 millones de años-luz.

   En esta entrada propondré el método clásico para calcular el valor de H utilizando una muestra de galaxias para las que se determina sus velocidades de recesión y sus distancias a partir de sus espectros. Este método lo utilicé en la asignatura Astrofísica de mi último año de carrera universitaria. Dichas galaxias son: Corona Borealis, Bootis, Hidra, Ursa Maioris y Virgo. Estas galaxias son miembros de cúmulos de galaxias y tienen la misma morfología por lo que se supone que tienen iguales diámetros. Se pueden calcular sus distancias dado que las imágenes están tomadas a la misma escala, suponiendo la hipótesis anterior. Sus espectros permiten visualizar las líneas H y K del Calcio frente a los espectros de referencia y la aplicación de la fórmula del efecto Doppler (la fórmula no relativista al tratarse del método clásico) permitirá calcular sus velocidades radiales respecto a nuestro sistema solar. El método algorítmico es el siguiente:

1) Determinar la velocidad radial de cada galaxia.

    a) Determinar la escala de los espectros: medir la distancia (en milímetros con la mayor precisión posible) entre dos líneas de referencia cualesquiera. Calcular la diferencia entre las longitudes de onda correspondientes a las líneas elegidas (los valores de las longitudes de onda están dados como datos). Se obtiene así una relación de escala (Ángstrom / mm). Se realiza esta operación con varios pares de líneas para encontrar un valor medio y una dispersión para esta escala. Nota: 1 Ángstrom = 1 Å = 1 × 10^–10 m.

    b) Determinar a qué longitud de onda aparece la línea K del Calcio. Dada la relación de escala del apartado anterior, las medidas de desplazamiento (en mm) que se realicen respecto de su posición "de laboratorio" pueden convertirse a desplazamientos de las líneas en Ángstroms. Encontrar el valor medio de este desplzamiento para K. Nota: las longitudes de onda (de laboratorio) de líneas de Calcio en Ángstroms son K: 3933,7; H: 3968,5.

    c) Con el resultado anterior se puede averiguar la velocidad radial V aplicando la expresión del efecto Doppler V = c * Δλ / λ , siendo c la velocidad de la luz medida en km/s.

2) Determinar la distancia de cada galaxia.

    a) Determinar la escala lineal de las fotografías, con la línea de referencia en segundos de arco / mm.

    b) Medir los diámetros medios de las galaxias (en mm sobre el papel) y convertirlos, utilizando la escala anterior, a segundos de arco.

    c) Convertir estos diámetros angulares a radianes y después a distancias (en Mpc) tomando como diámetro 10⁵ para todos ellos.

3) Diagrama de Hubble.

Construir la tabla de valores de V y r para las cinco galaxias de muestra. Dibujar el diagrama de Hubble con estos datos. Estimar un valor de H dibujando una línea de ajuste del diagrama. Encontrar H con su error ajustando una recta por mínimos cuadrados al conjunto de los datos y forzando a que pase por el punto (0, 0).

4) Determinar la edad y el tamaño del universo.

    a) La edad del universo se estima que tiene como límite superior H^–1. Convertir H a unidades de (km/año) / km. Su inversa proporcionará la edad del universo en años. Hoy en día, se ha calculado el tiempo de Hubble como H^–1 = 20*10⁹ años.

    b) Se puede estimar un radio del universo suponiendo que ese límite se encontraría en una galaxia que se desplazara a la velocidad de la luz. Encontrar esta distancia y expresarla en años-luz.

   En la realización de este trabajo mis cálculos arrojaron un valor de H = 84 (km/s) / Mpc con error superior de +12 y error inferior de -4,8.

   Son evidentes las dificultades de aproximarse a un valor como el de H a partir únicamente de observaciones y más aún en los tiempos en los que Edwin Hubble trabajó sobre ello, de ahí el enorme mérito de este extraordinario astrofísico.

Un Poco Más Sobre las Estrellas Y una Ley Muy Importante I

   En mecánica de fluidos hay dos fórmulas básicas: la ecuación de continuidad, que es el principio de conservación de la masa o ley de Lavoisier, y el teorema de Bernoulli, del que hablé en la entrada Pinceladas Sobre el Principio de Sustentación y el Teorema de Bernoulli . La llamada Ley de Hubble, ley que define la expansión (o contracción) del universo, denominada así en honor a su descubridor Edwin Hubble sobre los años 30 del siglo XX, uno de los más grandes astrofísicos de la historia, se puede deducir a partir del teorema de Bernoulli. Este resultado dice, como expliqué en la entrada señalada más arriba, que cualquier líquido o gas que aumente su velocidad de movimiento, también verá disminuida su presión. Matemáticamente se expresa como  ½ (V² ρ) + P + ρgz = constante  siendo V = velocidad, ρ = densidad del fluido (líquido o gas), P = presión, g = aceleración de la gravedad, z = altura en la dirección de la gravedad. Es decir, se tiene la expresión E. cinética + E. presión + E. potencial = cte.

   Para aplicar el teorema a las condiciones del universo hay que tener en cuenta que en el espacio exterior, de acuerdo con el Principio Cosmológico (muy básicamente, afirma que la densidad no puede variar así como la presión) el segundo y el tercer sumando de la ecuación del teorema de Bernoulli se consideran constantes, por lo que se pueden añadir al segundo miembro sin perder generalidad, con lo que la ecuación del teorema queda de la forma ½ (V² ρ) = constante. Esta fórmula se cumple cuando en los diferentes puntos del fluido la gravedad es la misma ya que si hubiera variaciones en la gravedad habría que añadir la energía correspondiente, es decir, la energía potencial gravitaroria que se expresa como - (GM² ) / r,  donde ahora la masa es M = ρ V = 4π r³ / 3 (la masa de una esfera de radio r), por tanto, se obtiene  - (4πG ρ²r² / 3) + ½ (V² ρ) = constante

   Si r = 0 no hay velocidad de expansión (recordemos que la densidad no puede variar por lo que la constante del segundo miembro es nula) y, despejando, V = (8πGρ / 3)^1/2r = H r . Ésta es la ley de Hubble, V = H r , donde, además, se ha podido calcular la constante de Hubble a nivel teórico (hoy en día existen aproximaciones, no un valor fijo, como explicaré en la entrada II), de la cual hablé en la entrada Números Excepcionales II , H = (8πGρ / 3)^1/2

   Este valor de H corresponde al denominado "universo crítico de curvatura nula", el más sencillo de los tres tipos de universo teorizado (universo abierto o hiperbólico, universo cerrado y universo plano), aunque también existen los tipos de universo de De Sitter, universo de Einstein, universo de Einstein - De Sitter,... cada uno con sus particularidades y muy interesantes pero con formulaciones sobre la ley de Hubble más complejas. En la entrada II mostraré el método del cálculo explícito del valor de H que realicé en aquella maravillosa asignatura de la carrera llamada, simplemente, Astrofísica.

   Edwin Hubble fue un pionero de la abstracción astronómica que concluyó con su afirmación que ni siquiera el mismísimo Einstein se atrevió a pronunciar en su época: el universo se expande.

Problema Que un Niño Puede Resolver Pero un Adulto No

   Es evidente que la gran mayoría de las personas conocen la obra de Carl Friedrich Gauss. Sus aportaciones a la ciencia moderna han sido imprescindibles, tanto a la matemática, como a la ingeniería o la física. Fue un niño prodigio al igual que su coetáneo Mozart y, con solo 10 años de edad, resolvió un complicado ejercicio propuesto en clase por el profesor aunque no se sabe a ciencia cierta si fue una anécdota o una invención posterior. Complicado en el siglo XVIII que, hoy en día, un adulto sin conocimientos matemáticos tendría serias dificultades para resolver utilizando una ingente cantidad de tiempo y larguísimas sumas porque de eso se trata, simplemente de sumar.

   El profesor, no se sabe por qué (se cuenta en el anecdotario que fue un castigo), pidió a sus inocentes alumnos que sumaran los 100 primeros números naturales, ejercicio chocante y, a simple vista, largo y dilatado en el tiempo como bien debía saber su profesor. Quizás buscaba el docente que sus alumnos adquirieran práctica en realizar sumas y esperaba que les llevara un tiempo razonable o fue realmente a modo de castigo por alguna fechoría. Pero, he aquí que el pequeño Gauss presentó la solución a tamaño problema en unos pocos segundos. Su corto pero efectivo método fue la base del estudio posterior de las series infinitas de números y el cálculo infinitesimal.

   Gauss (o nuestro protagonista anónimo), se dio cuenta que si escribía los números ordenados del 1 al 100 y justo debajo los volvía a escribir en orden inverso, del 100 al 1, sumando cada dos números, superior e inferior, el resultado siempre es 101:  1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 51 + 50 = 101. Como hay 100 sumandos, la suma de esas dos series es 101 * 100 = 10100, y como hay dos sumas basta dividir entre 2 ese valor para hallar el resultado buscado, 10100 / 2 = 5050, que es lo que vale la suma de los 100 primeros números naturales. En resumen, había 50 parejas de números que sumaban 101 por lo que el valor buscado era 50 * 101 = 5050. Se sabe, desde hace más de 1000 años, que la suma de los n primeros números naturales tiene por fórmula n * (n + 1) / 2, que coloquialmente sería "la mitad del número por su siguiente".

   ¿A quién se le hubiera ocurrido semejante razonamiento salvo a un genio? En caso de ser atribuible de forma verídica a Gauss confirmaría su innegable precocidad y capacidad, como se demostraría a lo largo de su vida y, en caso de ser un relato inventado a posteriori, no cabe mejor acierto en la elección del personaje. Con todo, un ejercicio curioso.

Hombre No-Numérico

  "El Hombre Anumérico" es libro curioso, ameno y muy recomendable. No hablaré aquí de él aunque sí voy a plantear la unión indisoluble que existe entre el hombre y los números. La humanidad ha dependido desde siempre de los números. Civilizaciones de miles de años de antigüedad ya usaban los números, aunque con diferentes sistemas de numeración denominados bases: la base decimal es la usada en la actualidad (se cree que su origen es el número de dedos de las dos manos) pero se puede usar cualquier otra como la vigesimal (los mayas, como explico en la entrada Sistema Vigesimal: la Fascinante Numeración Maya ), sexagesimal (de los sumerios), binaria (usada por los ordenadores), duodecimal, numeración romana, etc. Cabe resaltar el difícil nacimiento del cero, que no existió desde un principio aunque esas civilizaciones pretéritas ya intuían que debía existir alguna forma de representar "la nada". El hombre, por tanto, nunca ha sido anumérico. En la época moderna este hecho es debido a varias razones fundamentales que reflejan la profunda dependencia de la sociedad en relación con los números. 

   Tras algunas investigaciones, he resumido los campos fundamentales en los que la humanidad tiene más dependencia de los números en las siguientes 15 ramas, de forma muy esquemática. Obviamente, esta es una propuesta subjetiva pero que se asemejaría mucho a un enfoque objetivo de la simbiosis hombre-número. Por supuesto, no las he redactado en orden de importancia ya que todas tienen esa misma cualidad.

1. Economía: La economía se basa en dos sustantivos: la confianza y los números. Éstos son esenciales para describir transacciones, valores y presupuestos en la economía globalizada. Más que nunca, la economía se ve afectada por el Efecto Mariposa. Por otra parte, añadir que el ahorro, las inversiones y los planes de jubilación requieren cálculos numéricos precisos.
2. Tecnología: Desde cálculos informáticos hasta algoritmos, la base de la tecnología moderna se asienta en principios numéricos. El código binario y sus múltiplos dominan cualquier maquinaria electrónica, desde una sencilla calculadora hasta avanzados computadores.
   
3. Investigación científica: Los números son esenciales para cuantificar observaciones, analizar datos y formular teorías científicas. Cualquier investigación requiere, en mayor o menor medida, el uso de los números.
   
4. Medicina: Dosificación de medicamentos, análisis de datos clínicos y diagnósticos se apoyan en mediciones numéricas precisas. Es fundamental el ajuste preciso e inequívoco en este campo.
   
5. Ingeniería: Diseñar y construir estructuras seguras y eficientes depende de cálculos matemáticos avanzados y su aplicación numérica. La Matemática Aplicada despliega aquí todo su potencial.
   
6. Comunicaciones digitales: Internet y las telecomunicaciones se basan en códigos numéricos para transmitir información.
   
7. Planificación urbana: La organización de ciudades y servicios depende de datos demográficos y estadísticas poblacionales. Como ejemplo se puede ver la entrada Habitante-Equivalente: un Concepto Complejo pero Fundamental .
   
8. Educación: Los métodos de evaluación del progreso educativo están ligados a sistemas numéricos.
9. Logística y transporte: La optimización de rutas y la gestión de flotas, ya sean marítimas, terrestres o aéreas, se apoyan en cálculos numéricos. La Teoría de Grafos es fundamental en esta rama.
   
10. Clima y medio ambiente: La medición de cambios climáticos y el monitoreo medioambiental se realizan mediante mediciones numéricas. La aproximación de los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales proveen la visión "futura" del clima y así poder predecir las consecuencias y poder realizar un estudio preventivo para minimizar las posibles catástrofes.
    
11. Investigación de mercado: Comprender las tendencias y demandas del consumidor implica analizar datos numéricos. Se impone aquí el moderno Big Data.
    
12. Política y estadísticas: La toma de decisiones políticas se apoya en datos estadísticos y sondeos numéricos con los que poder inferir estadísticamente las tendencias en apoyos a los partidos políticos.
    
13. Producción y manufacturación: Optimizar procesos y recursos en la industria depende de mediciones numéricas exactas. El principio fundamental de cualquier empresa es "máximo beneficio con el mínimo coste". Para ello se ha de ajustar eficientemente el proceso de producción, lo cual requiere una elaborada gestión numérica del presupuesto para optimizar dicho principio.
    
14. Seguridad y criptografía: Mantener la privacidad y seguridad de la información involucra códigos numéricos avanzados. La criptografía (el cifrado en sí) implica la seguridad en una sociedad avanzada. La base de la criptografía es la Teoría de Números y, dentro de ella, las propiedades de los números primos.
    
15. Conquista espacial: Es evidente que estamos en el comienzo de la carrera espacial masiva, planeando ya ir más allá de nuestro satélite natural, la Luna, lo cual requiere de unos cálculos muy precisos y profundos, tanto en la industria aeroespacial de fabricación como en el uso de esos artefactos, desde satélites o sondas a complejas naves.
    

   Evidentemente, algunos de los puntos anteriores están relacionados entre sí (dejo al lector este sencillo ejercicio), lo cual no implica la prioridad de unos sobre otros, de ahí la razón de no darles un orden escrupuloso en la exposición, como comenté más arriba.

¿Podría La Tierra Ser un Agujero Negro?

   Propongo aquí un interesante ejercicio ejemplarizante sobre lo que sucede a nuestro alrededor, hablando en términos extraplanetarios, y en lo que se convierten ciertos objetos estelares bajo ciertas condiciones. Pero antes, explicaré en lo que sigue, un poco de teoría sin la terminología científica que debe ser la habitual, en términos rigurosos.

    La Teoría de la Relatividad de Einstein explica la influencia de la gravedad sobre la propagación de la luz. Es bien conocido que ésta se comporta como materia y como onda: es lo que se conoce como "dualidad onda-corpúsculo". Explico estos conceptos en la entrada Sonido, Luz, Ondas, Huygens. El efecto de la desviación de los rayos luminosos por la gravedad es muy importante cuando la materia de un objeto estelar especial, una estrella de neutrones, no encuentra freno y entra en colapso. Mencionar, sucintamente, que una estrella de neutrones es un objeto estelar muy denso, pequeño y muy caliente, con un campo magnético excepcionalmente potente, que gira sobre sí mismas a velocidades muy elevadas y, algunas de ellas, emiten radiación en forma de púlsares. Fascinantes. Voy a describir muy brevemente, la conversión de estas estrellas en los no menos fascinantes agujeros negros (black holes).

   Supongamos que pudiéramos seguir el proceso que afecta a una estrella de neutrones. Al principio, todo permanece en un endeble equilibrio pero sobre su superficie comienza a notarse la curvatura de los rayos luminosos por el efecto de la elevada gravedad. Los rayos de luz emitidos se curvan, primero de forma oblicua aunque aún son capaces, a pesar de una curvatura inicial, de alejarse lo suficiente de la intensa gravedad como para continuar en línea recta a través del espacio. Si ahora la masa de la estrella crece lentamente y comienza el colapso porque la presión interior es insuficiente, la gravedad aumenta rápidamente. Pronto, la curvatura de luz es tan intensa que un rayo de luz horizontal a la superficie del cuerpo da varias vueltas a su alrededor antes de poder escapar de la creciente gravedad. Cada vez les cuesta más a estos fotones luchar contra la gravedad y cuando la estrella alcanza un radio de no más de 8,9 kilómetros, la luz ya no puede salir de su superficie. La gravedad curva con tanta intensidad los rayos de luz emitidos que éstos vuelven a caer a la estrella y se produce la oscuridad a ojos externos aunque el objeto sigue estando ahí pero de una forma que la Física actual todavía no conoce. Todo este proceso, en tiempo estelar, puede ser corto (unos millones de años) aunque depende, naturalmente, de la masa del objeto inicial: cuanta mayor masa, más tardará en formarse el agujero negro.

   Cabe preguntarse ahora, ¿cuál es ese límite del radio de un cuerpo hasta el que debe comprimirse a partir del cual la luz que emite ya no puede escapar de él? Este límite se llama radio de Schwarzschild cuya expresión es la sencilla r = 2Gm / c², siendo G la constante de gravitación universal, m la masa del objeto y c la velocidad de la luz.

   Después de esta (interesante) introducción vayamos a la consideración inicial. El problema dice así:

Utilizando la Ley de Conservación de la Energía, calcular el radio que debe tener la Tierra para que sea un agujero negro. La masa de la Tierra es 5,98 x 10²⁴ kg y su radio 6,37 x 10⁶ m. La velocidad de escape es la velocidad mínima que se debe suministrar a un cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y no regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en órbita (se puede ver más en la entrada Otra Ecuación Diferencial Interesante: Cohetes ). Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto se la imprimimos, éste tenga una velocidad cero en un punto en el “infinito”, en donde su energía total, E, que es la suma de su energía cinética y su energía potencial, será: E = mv² /2 + GmM /R = 0. Como la energía se tiene que conservar, entonces, en el momento del lanzamiento, la energía cinética se iguala a la energía potencial, esto es, mv² /2 = GmM /R , donde v  es la velocidad de escape, G = 6,67 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2, m es una masa cualquiera que no afecta al razonamiento ya que sabemos que se va a simplificar en los cálculos, M la masa de la Tierra M = 5,98 x 10²⁴ kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6,37 x 10⁶ m. Despejando v = (2GM R)^1/2

Como, ningún objeto puede viajar mas rápido que la velocidad de la luz en el vacío (c = 3 x 10⁸ m/s), esto implica que la máxima velocidad de escape es c. Entonces la ecuación para calcular el radio que debería tener la Tierra para que fuera un agujero negro es R_T = 2GM /c²

Solo queda sustituir los valores de G, M, c,  y obtenemos R_T = 8.8 x 10^-3 m = 8.8 mm , es decir, el diámetro que debería tener la Tierra para ser un agujero negro tendría que ser, aproximadamente, el de una canica de las grandes, aquellas con las que no se jugaba pero se apreciaban enormemente.

   ¿Realmente puede darse esta circunstancia? ¿Puede la Tierra convertirse en un agujero negro? En teoría, cualquier cuerpo con masa puede convertirse en agujero negro pero, una vez formado, la cuestión está en cuánto tiempo duraría y si ganaría masa o la perdería y este hecho depende de la radiación de Hawking que, en pocas palabras, es la "evaporación" del agujero negro, su perdida de masa y tamaño hasta desaparecer aunque tardaría mucho tiempo. Es calculable pero no entraré en ese aspecto, simplemente resaltar que se manejan cifras mayores a un gugol, 10¹⁰⁰

 En la entrada Números Excepcionales I explico de dónde surge este número y otros muchos.

El inconveniente es que, como se ha visto antes, sería tan pequeño como una canica por lo que emitiría mucha de esa radiación de Hawking y se "evaporaría" muy rápido.

¿Cómo Se Pesa Una Estrella?

    A nivel planetario es evidente que el cálculo preciso de una cualidad cualquier objeto es medible de forma física, en términos generales, esto es, se coge el objeto y se mide dicha cualidad. Incluso objetos muy masivos se pueden medir dichas cualidades por métodos indirectos usando las propiedades físicas de dicho objeto, como pueden ser, su densidad y volumen, su compresión, su elasticidad, su límite de rotura, etc. Pero, ¿qué sucede cuando se quieren pesar estrellas, algunas tan lejanas que se encuentran a millones o miles de millones de años-luz de distancia? (Inciso 1: quiero recordar aquí que el término "año-luz" se refiere a distancia, no a tiempo ya que es la distancia que se recorre en 1 año viajando a la velocidad de la luz en el vacío). Los primeros científicos en plantearse estas cuestiones fueron Kepler y Newton hace varios siglos pero, en la actualidad, poco se ha avanzado desde aquellos primeros cálculos.

   La pregunta de la entrada comienza con la respuesta para la estrella más sencilla por ser la más cercana a nuestro planeta: vamos a calcular cuánto pesa el Sol.

La Tierra se mueve en el campo gravitatorio del Sol describiendo un elipsoide, casi un círculo, por lo que, a efectos prácticos, se utiliza la órbita terrestre con forma circular. Para el caso de un elipsoide la complejidad de los cálculos aumenta exponencialmente. Sobre el planeta actúan dos fuerzas que permanecen en equilibrio: la fuerza centrífuga, que trata de proyectarlo hacia el exterior de su órbita, y la gravedad solar que lo atrae hacia él. Obviamente, según la masa de cada planeta u objeto que orbite una estrella, se encuentra a una distancia tal que esas dos fuerzas sea iguales pero de diferente sentido para que permanecer en equilibrio (Inciso 2: hablo, indistintamente, de peso y masa de un objeto pero teniendo en cuenta su diferencia: el peso de un objeto es su masa por la gravedad del objeto que lo atrae, esto es, p = mg, casos diferentes ejemplos los he descrito en la entrada La Gravedad en Distintos Objetos Celestes) . Este estado permite determinar la fuerza de atracción solar y así poder calcular su masa. Se puede formular este proceso según la Tercera Ley de Kepler reformulada por Newton:

(radio orbital del planeta)³ = cte de gravitación x (masa planeta + masa solar) x (período orbital del planeta)². 

La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1,5 x 10⁸  km, entonces se puede calcular la distancia que recorre el planeta en su órbita alrededor del Sol, lo cual es esencial para conocer la velocidad con la que se mueve la Tierra en su órbita y así se puede saber la masa del Sol. La constante gravitacional es conocida, el radio orbital se puede calcular por lo comentado anteriormente (se mide en unidades astronómicas, UA) y el período orbital de la Tierra es 1 año, por lo que de la ecuación solo queda la incógnita masa planeta + masa solar, y, teniendo en cuenta que añadir la masa de la Tierra a la masa del Sol es despreciable, por ser ínfima en comparación la una de la otra, la única incógnita es la que nos generaba la duda inicial.

Con algunos cálculos básicos, se sabe que la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es de v = 29 m/s. Con este dato ya es posible calcular la masa del Sol, aplicando la Segunda Ley de Newton (omito los cálculos por ser algo sufridos) y, así, se concluye que la masa solar es de M =1,99 x 10³⁰ kg.

   Para calcular la masa de otras estrellas se utiliza la relación masa-luminosidad ya que, para la mayoría de las estrellas (alrededor del 90%) se cumple que las más masivas son también las más luminosas. Esta relación viene dada por la expresión L ~ M⁴  (la luminosidad es, aproximadamente, la masa elevada a 4), por ejemplo, si dos estrellas difieren en masa por un factor de 2, entonces la más masiva será 16 veces (2 elevado a 4) más brillante ó si una estrella es 1/3 de la masa de otra, será, aproximadamente, 81 veces menos luminosa. 

   Otro procedimiento para el cálculo de la masa de una estrella se realiza aplicando el efecto Doppler al espectro electromagnético de una estrella: se puede deducir la velocidad con la que ésta se acerca o se aleja de nosotros, ya que si el objeto se aleja, su luz se desplaza hacia longitudes de onda más largas, produciéndose lo que se conoce como "corrimiento al rojo" (redshift) y, por el contrario, si el objeto se acerca, su luz presenta una longitud de onda más corta, desplazándose hacia el color azul o "corrimiento al azul"; el efecto Doppler asegura que cuando el observador se encuentra muy cerca de la trayectoria del objeto, la transición de alta a baja frecuencia es muy abrupta y viceversa, esto es, cuando el observador está lejos de la trayectoria del objeto, la transición de alta a baja frecuencia es gradual. Como dato relevante, apuntar que tiene mucha más importancia el corrimiento al rojo y que existen pocos casos de corrimiento al azul.

   Así, sabemos que la velocidad de un punto material es el espacio que recorre en una unidad de tiempo, esto es, v = e / t. En nuestro caso, v = 2Pi x r / t , donde r = radio de la estrella y t = período orbital. La velocidad se calcula por el método visto en el párrafo anterior y el período orbital observando el movimiento, por lo que la única incógnita es el radio estelar que se puede despejar fácilmente y, aplicando la Segunda Ley de Newton (F = m x a) para objetos orbitales, se obtiene, después de algunos cálculos, m = (r x v²) / G , siendo G la constante de gravitación universal, G = 6.67 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2

Es laborioso aunque gratificante poder realizar mediciones de objetos que tan solo se pueden observar en lo profundo del espacio, sin poder atacarlos directamente. Las mediciones pueden ser, como he mostrado, la masa de una estrella, pero también su tamaño, la distancia a la que se encuentra de nosotros, su velocidad, si se aleja o se acerca, su temperatura exterior y la de su núcleo. 

He procurado omitir todo lo posible los pasos intermedios de cálculos y sintentizar al máximo lo explicado pues harían esta entrada casi imposible de leer pero mi tiempo y algunos folios me ha costado. Espero hayan merecido el esfuerzo y que el lector aprenda y satisfaga su curiosidad.

Formación de Estrellas (Parte III)

   El proceso descrito en la entrada Ciclo del Carbono (Formación de Estrellas) Parte I para estrellas de masa superior a 10 masas solares es muy rápido (siempre desde la perspectiva de tiempo estelar), tan solo unos pocos millones de años. Sabemos, de aquella entrada, que el Hidrógeno se agota, se "enciende" el Helio que, más tarde, se transforma en Carbono, y los átomos que lo constituyen se transforman, a su vez, en núcleos atómicos de elementos superiores. En todas estas reacciones se libera energía, pero estos sucesivos procesos nucleares son productores de energía cada vez menos eficientes: han de desarrollarse cada vez a mayor velocidad para que la emisión de energía de la estrella no disminuya y se puedan construir átomos cada vez más complicados.

   La cuestión implícita que subyacía en aquella entrada es, el proceso de liberación de energía que va creando elementos cada vez más complejos bajo unas condiciones cada vez más extremas, ¿es indefinido?, esto es, ¿el Ciclo del Carbono sintetiza todos los elementos químicos de la tabla periódica?, o, por el contrario, ¿existe un límite de elementos creados? La respuesta es que existe un elemento límite que no puede ser rebasado para crear a partir de él, elementos más complejos. Ese elemento es el Hierro.

   El reactor nuclear de una estrella que va formando núcleos atómicos cada vez más complejos a partir del más simple, el Hidrógeno, se detiene al sintetizar el núcleo atómico del Hierro. Este núcleo no proporciona más energía cuando se fusiona con otros núcleos presentes en la estrella sino todo lo contrario: hay que añadir energía para que ésto suceda. Lo mismo ocurre cuando se fisiona su núcleo (dividirlo). Esto ocurre por una propiedad del núcleo atómico en la que no entraré aquí por su complejidad pero merece la pena mencionarla: la Interacción Nuclear Fuerte.

   ¿Qué sucede entonces en la estrella de gran masa cuando la fusión de los elementos haya alcanzado una complejidad tal que la región central de la estrella sea una esfera de Hierro? Los núcleos atómicos del Hierro pueden captar los electrones que circulan a gran velocidad por el gas exterior, por lo que la esfera se contrae y han de equilibrarse la gravedad y la presión gaseosa, Los electrones son los principales causantes de esa presión y, cuando desaparecen en los núcleos atómicos, es la gravedad la que predomina para mantener el equilibrio, según la Ley de Boyle-Mariotte. Así, la esfera de Hierro se contrae y se hunde. Se ha calculado que esta situación comienza cuando la esfera de Hierro tiene un tamaño aproximado de 1,5 masas solares. Se detiene cuando todos los componentes nucleares están tan apretados y la densidad es tan elevada que todos los protones y electrones se han fusionado formando neutrones. Solo queda, por tanto, materia formada por neutrones, es decir, la esfera de Hierro se ha convertido en una estrella de neutrones.

   Esta transición libera una gran cantidad de energía que proyecta al espacio a gran velocidad la envoltura exterior en una explosión inconmensurable (las mayores explosiones del Universo). Nuestra pacífica estrella inicial se ha convertido así en una supernova.

   No olvidemos que todo lo explicado anteriormente sucede para estrellas masivas, del orden de 10 masas solares, como comenté al principio. Y, ¿las estrellas de menor masa también acaban transformándose en supernovas? En este caso la respuesta es negativa. Los procesos del Ciclo del Carbono no alcanzan aquí la fase del Hierro descrita anteriormente por diversas dificultades previas de dicho ciclo: temperatura, densidad, velocidad,... Este tipo de estrellas menos masivas acaban convirtiéndose en otras estrellas singulares: las enanas blancas. Estas estrellas poseen una propiedad muy importante relacionada con el equilibrio, como es la presión de Fermi de los electrones, relacionada con el Principio de Exlcusión de Pauli (simplemente he querido nombrar estas propiedades para darlas a conocer, su complejidad supera el objetivo de esta entrada y, por ende, de este blog).

   Hasta aquí esta tercera parte de la muy interesante formación de estrellas que, al igual que las dos anteriores, han tenido una fuente principal de algunas notas que he completado por mi cuenta, como suelo hacer en mis escritos. La curiosidad alienta el ánimo de los espíritus críticos.

Fuente principal: Rudolf Kippenhahn

Formación de Estrellas (Parte II)

    Como apunté en la entrada Ciclo del Carbono (Formación de Estrellas ) Parte I , el ciclo del Carbono descrito allí no es el único que transforma el Hidrógeno en Helio. Aquí explicaré un proceso más simple aunque más importante, al menos, en el caso de nuestra estrella, el Sol (por una cuestión de temperatura, como se verá más adelante). Fue descubierto poco después del ciclo del Carbono, también por Hans Bethe, esta vez de forma única. Nuestro Sol es una estrella significativa a nivel estelar, no solo por ser la más próxima a nosotros, también por poseer unas características muy importantes y muchas incógnitas aún por descubrir, pero no entraré aquí en ese tema por ser muy extenso aunque de un gran interés (Secuencia Principal, diagrama HR, evolución, ciclos solares, radiaciones,...).

   Como nota aclaratoria, tanto en ésta como en aquella entrada, no son necesarios grandes conocimientos de química o física, simplemente con las nociones más básicas es posible entender correctamente los argumentos descritos.

  El mencionado ciclo del Carbono obliga a disponer de una determinada cantidad de Carbono, Nitrógeno u Oxígeno. Los átomos de estos elementos no se consumen en el proceso sino que se van transformando a lo largo del tiempo en las fases intermedias de la creación de Helio a partir de Hidrógeno. Bethe demostró que se puede prescindir del Carbono, el Oxígeno y el Nitrógeno.

   El ciclo de la cadena protón-protón, como así se denomina, parte de dos protones que chocan y se fusionan emitiendo un positrón y un neutrino (elementos especiales, como comenté en la entrada del ciclo del Carbono). El núcleo restante consiste ahora únicamente de un protón y un neutrón, por lo que este núcleo tiene ahora la misma carga que el Hidrógeno pero su masa es el doble, llamado Deuterio o hidrógeno pesado. Si un núcleo de Hidrógeno choca con un núcleo de Deuterio, los dos núcleos se unen formando un átomo de Helio que consiste en 2 protones y 1 neutrón pero este Helio es un isótopo ligero, que denominaremos He3, ya que su número atómico es el del Helio pero su número másico es menor (3 en vez de 4). Si ahora chocan 2 núcleos de He3, se fusionarán formando un núcleo de Helio 4 (el correcto), liberando 2 núcleos de Hidrógeno. En esta cadena, 4 núcleos de Hidrógeno han formado un único núcleo de Helio.

   Este proceso es más sencillo que el ciclo del Carbono, por lo que, la cuestión natural que surge es ¿cuál de estos dos mecanismos actúa en las estrellas para crear energía? No existe una respuesta única pues el que un proceso se genere en detrimento del otro depende de la temperatura: 

1) Si la temperatura está comprendida entre 10 millones y 50 millones de grados (temperatura baja en términos estelares) se dan los procesos de cadena protón-protón aquí descritos. Hay que destacar que nuestro Sol posee una temperatura interior de 40 millones de grados (en la superficie es, aproximadamente, de tan solo 5800 grados Kelvin), dato probado por el astrofísico Arthur Eddington.

2) Si la temperatura es mucho más alta, del orden de centenares de millones de grados, predomina el ciclo del Carbono para la producción de energía.

Cabe destacar la falta de mención de la masa de la estrella, la cual es vital en estos procesos. ¿Por qué? Si se consideran estrellas de masa cada vez más pequeña, obviamente su temperatura central es cada vez menor. Llega un punto en el que el proceso de la cadena protón-protón ya no funciona plenamente y falla la fase final, la fusión de los dos núcleos de He3, con lo que ya no es posible transformar el Hidrógeno en Helio 4 (He4). Se ha calculado que las estrellas con unas 8 centésimas de la masa solar o menos ya no son capaces de quemar Hidrógeno porque la temperatura de su interior no es lo suficientemente elevada para realizar el proceso.

   Actualmente se teoriza sobre la importancia del proceso de la cadena protón-protón en la formación de las primeras estrellas del universo ya que se supone que tras el Big Bang sólo existían Hidrógeno y Helio, es decir, faltaban los catalizadores necesarios para el ciclo del Carbono, que surgirían después al formarse Carbono a partir de Helio en el interior de las estrellas.

   El universo y sus leyes no solo controlan el devenir de sus elementos sino que también aporta varios procedimientos para crear energía; la magia existe.

Fuente principal: Rudolf Kippenhahn

Ciclo del Carbono (Formación de Estrellas) Parte I

   Hablar del ciclo del Carbono o el ciclo del Nitrógeno es hablar de ciertas propiedades de la atmósfera en relación a los organismos vivos, cuestiones que se encuentran muy fácilmente incluso en temarios de instituto. 

   Esta entrada está referida, por otro lado, al ciclo del Carbono que crea estrellas, que crea soles, en definitiva, cómo nacieron, se constituyeron y siguen transmitiendo energía todas las estrellas del universo, es decir, todo lo que fuimos, somos y seremos. El descubrimiento de este complejo ciclo sucedió en el año 1938 y le otorgó al astrofísico Hans Bethe el Premio Nobel del Física en el año 1967. Pero, como la historia la escriben los ganadores, tengo que mencionar que el descubrimiento fue resuelto conjuntamente pero independientemente por el equipo de Bethe en Estados Unidos y el físico alemán Carl Friedrich von Weizsäcker en Alemania y que el premio debió concederse compartido, como ha sucedido en varias ocasiones en distintas disciplinas. Todos sabemos lo que le sucedió a Alemania al concluir la Segunda Guerra Mundial.

   El ciclo del Carbono es el mecanismo (no el único, explicaré otro proceso en la entrada II) por el que las estrellas transforman Hidrógeno en Helio, lo que produce, como "desecho" de la reacción, ingentes cantidades de energía, casi brobdingnagianas. Las estrellas se comportan pues, como centrales nucleares de fusión (las de fisión son las que existen en nuestro planeta, las de fusión, es decir, unión, necesitan temperaturas elevadísimas, del orden de centenas de millones de grados centígrados, para realizar la unión de los núcleos, algo aún en fase experimental con la tecnología actual).

   El proceso supone que en el interior de las estrellas, además del Hidrógeno (el átomo más simple del universo), existen otros elementos, por ejemplo el Carbono. Es sabido que los núcleos de Carbono funcionan como catalizadores, en ello se basa la química orgánica. El Hidrógeno se une con estos núcleos y forma en su interior átomos de Helio. Así, los núcleos de Carbono expulsan los átomos de Hidrógeno convertidos, gracias a la fusión, en átomos de Helio. Hay que matizar que para que se produzca la fusión de átomos, éstos deben superar la fuerza eléctrica de repulsión de las cargas del mismo signo y superar así en magnitud, ésta a la fuerza de la gravedad que atrae los átomos, lo cual requiere enormes cifras de temperatura, como comenté antes, para que el movimiento de los átomos sea muy violento y rápido, de órdenes de velocidades superiores a 1000 kilómetros por segundo.

   Es un proceso cíclico el ciclo del Carbono, en el que un núcleo de Hidrógeno (peso atómico 1) choca con un núcleo de Carbono, cuyo peso atómico es 12, como es conocido, al cual llamaremos C12. El núcleo de Hidrógeno puede superar el campo eléctrico repulsivo del Carbono y fusionarse con su núcleo (este proceso no es válido en la Física Clásica pero sí con las leyes d la Física Cuántica, una cuestión que llevó tiempo asimilar por los físicos del siglo XIX). El nuevo núcleo está compuesto ahora por 13 partículas pesadas. La carga del núcleo original de Carbono, es decir, su número atómico, ha aumentado debido a la carga positiva del protón de Hidrógeno añadido. Tenemos ahora un núcleo de Nitrógeno de número másico 13, el cual lo designaremos N13. Sucede que este tipo de Nitrógeno es radiactivo y, al cabo de cierto tiempo (no entraré aquí en períodos de vida de elementos radiactivos aunque alguna entrada escribí en alguna ocasión en el blog), expulsa dos partículas ligeras: un positrón (también llamado "anti-electrón") y un neutrino (algo así como un neutrón pero en pequeño con unas propiedades especiales). El Nitrógeno se transforma ahora en Carbono de número másico 13, esto es, C13. El núcleo pasa así a tener la misma carga que el átomo de Carbono inicial pero su número másico es ahora mayor. Se ha conseguido pues, lo que se llama un "isótopo" del núcleo inicial. Si este isótopo del Carbono recibe otro protón, forma de nuevo Nitrógeno pero éste tiene ahora número másico 14, es decir, N14. Si se une un protón más al nuevo átomo de Nitrógeno se transformará en O15, es decir, Oxígeno con número másico 15. Este núcleo también es radiactivo y emite un positrón y un neutrino transformándose en N15. Recapitulando, el proceso comenzó con C12 y ahora tenemos N15 por lo que la acumulación sucesiva de átomos de Hidrógeno ha hecho el átomo cada vez más pesado Si se une ahora otro protón al átomo de Nitrógeno, éste emitirá 2 átomos de Hidrógeno y 2 neutrones, es decir, 4 partículas que forman en conjunto un núcleo de Helio, transformándose de nuevo nuestro núcleo en el antiguo núcleo de Carbono y el ciclo se cierra.

   El proceso ha consumido 4 protones y ha formado un núcleo de Helio:en síntesis, el Hidrógeno se ha transformado en Helio. Lo más importante de este ciclo es que es fuertemente exotérmico, esto es, libera una cantidad de energía suficiente para que las estrellas puedan brillar durante miles de millones de años. Básicamente, este ciclo solo puede funcionar por la presencia de aquellos elementos que denominábamos catalizadores: el Carbono el principal, además del Nitrógeno y el Oxígeno, pero no es preciso que estén estos 3 elementos como se observa porque basta con que haya uno de los isótopos que aparecen en el proceso: si empieza la reacción, los catalizadores necesarios para las reacciones siguientes se fabrican allí mismo, fascinante ¿verdad? Pero afinando más aún, una vez finalizado el ciclo, las reacciones determinan que los isótopos estén presentes en unas cantidades determinadas y la relación entre estas cantidades depende de la temperatura del ciclo. Midiendo las proporciones de los isótopos C12, C13, N14 y N15, no solo se puede determinar si la materia del interior de las estrellas ha participado ya en la fusión del Hidrógeno a través del ciclo del Carbono sino también la temperatura a la que se ha llevado a cabo la fusión.

   La naturaleza y las leyes físicas que la rigen proporcionan la capacidad necesaria para poder seguir comprendiendo el universo tal y como fue, es y será, siendo el observador humano un simple grano de arena en una playa, así de insignificante.

Fuente principal: Rudolf Kippenhahn

Hoy Es 14 de Marzo, Día del Número Pi, ¡Felicidades!

    Como reza el título de esta entrada, hoy es el día internacional del número Pi, uno de los números más importantes de la humanidad, si no el que más, aunque infravalorado y hasta denostado por incultos para los que es más relevante definir (¿otra vez?) qué somos, cómo hablamos o las formas de relacionarnos. Hoy, a pesar de ser un día de celebración, volverá a pasar desapercibido y no obtendrá ni tan siquiera una frase, aunque sea como anécdota, al final de los boletines informativos, ni hablados, ni escritos. Raros tiempos los que nos ha tocado vivir.

   No voy a dedicar estas líneas a nada nuevo más que llamar la atención del lector sobre este magnífico número que la naturaleza nos permitió descubrir y sin el que no existiría la vida tal y como la conocemos actualmente. Este blog contiene muchas entradas dedicadas a Pi y exhorto a usar el apartado "Buscar este blog" introduciendo "Pi" para listar dichas entradas. Todas y cada una de ellas, al igual que las no referidas a Pi, son un trabajo individual, a veces complejo y al que le he dedicado mucho tiempo con el ánimo de enseñar y comprender lo que nos rodea desde la simplicidad dentro del rigor. Lo más destacable en este sentido es, en referencia al número Pi, que en algunas entradas he nombrado pero no he probado que Pi es un número irracional, precisamente porque escapa al espíritu de este blog de no traer enrevesados argumentos sólo aptos para quien tiene amplios conocimientos técnicos que pueden ayudar a perder el interés de lo que aquí se lee.

   Sin más, mis felicitaciones al número Pi. Aquí estaba antes de que llegara el hombre y seguirá estando hasta el fin del universo, ahí es nada. Sé que te encanta la tarta de chocolate, redonda, por supuesto, ¡que la disfrutes!