sábado, 22 de mayo de 2021

Rescate Científico del Bañista

    Releyendo mis libros, he encontrado un curioso ejemplo que relaciona la distancia con el tiempo en el sentido de cuál de estas magnitudes interesa más al observador. Es una aplicación sencilla de la conocida como "Ley de Snell" que precisa cuánto se desvía la luz en su (recta) trayectoria al entrar en el agua. En el caso que traigo a esta entrada, la luz sería el aguerrido socorrista y el bañista su objetivo o punto final. Evidentemente, lo que intenta el socorrista al divisar a lo lejos al bañista en apuros es recorrer la mayor distancia en el medio más rápido, es decir, en la situación del rescate equivale a correr por la playa la mayor distancia posible antes de lanzarse al agua, que es el medio más lento en el que avanzaría nadando en busca del bañista. Todo ello suponiendo, como es lógico, que el bañista se encuentra en una posición que no es perpendicular a la situación del socorrista en la playa, ya que, en este supuesto, el socorrista correría perpendicular a la línea de playa y nadaría hasta el bañista sin modificar su trayectoria recta. Gráficamente se podría dar en el siguiente esquema:


   Así pues, la línea recta es la más corta (suponemos la playa en el espacio euclídeo), la línea más punteada en la gráfica, pero no es la más rápida porque requiere un tramo a nado de mayor longitud. Por otra parte, el socorrista se podría plantear si correr la mayor distancia posible por la playa, al ir más rápido que nadando, y lanzarse al agua en la perpendicular con el bañista, situación representada en el dibujo con la línea con menos discontinuidades, pero así también tardaría demasiado tiempo en llegar al bañista (y más cansado) por la distancia extra que tendría que recorrer por la playa. Por todo ello, el camino en el que invertirá menos tiempo, que es realmente lo que pretende, es el que entre en el agua con un cierto ángulo y luego tuerza hacia otro más cerrado respecto a la perpendicular con la orilla de la playa. Ese ángulo preciso es el que resuelve la Ley de Snell.

   Esta curiosa situación es la que se dá también al introducir una cuchara en un vaso de agua al aparecer, aparentemente, "torcida", o cuando un rayo de luz cambia su trayectoria rectilínea de un entorno a otro: es lo que se conoce como refracción, es decir, la luz recorre el camino en el que invierte el menor tiempo posible.

Pero este fenómeno de la luz (socorrista) no es siempre así, aunque pueda parecer extremadamente raro. Existe el llamado "Principio de Mínima Acción", del que quizás hable otro día...

jueves, 6 de mayo de 2021

¿Hasta Dónde se Puede Ver en el Horizonte? Fácil

    Una cuestión que se suele plantear cada vez que se hace una escapada a la montaña o estando a cierta altura admirando el paisaje, si se tiene un poco de espíritu crítico, es ¿hasta dónde abarca lo que veo?, es decir, ¿cuál es el límite real de lo que se puede ver desde donde estoy? Es una pregunta que surge de forma espontánea, sobre todo, en días claros sin nubes, y la respuesta es relativamente fácil si no se tiene en cuenta el concepto de "curvatura" de un objeto no plano. Aquí una entrada anterior en la que muestro algunos conceptos relacionados con lo que nos ocupa y, en esta otra entrada un ejemplo curioso sobre el concepto de curvatura.

   El Teorema de Pitágoras ha sido y es fundamental en las matemáticas con multitud de aplicaciones. Es un resultado tremendamente sencillo de enunciar y comprender a la vez que increiblemente potente. Dice, sin ser rigurosos, lo bien conocido: en un triángulo en el plano con un ángulo recto, la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa. El lector avezado se habrá dado cuenta que he mencionado el teorema con el detalle "en el plano". Pues bien, el teorema es extrapolable a las 3 dimensiones de forma análoga al plano simplemente teniendo en cuenta un paralelogramo y midiendo en su interior una hipotenusa, es muy trivial. 

   Vamos a aplicar este sencillo teorema a nuestra cuestión inicial. Supongamos para ello, que nos encontramos en un monte a 1000 metros de altitud, admirando el paisaje y nos preguntamos la cuestión inicial de esta entrada. Entonces, si R es el radio de la Tierra, h la altura a la que nos encontramos y vis la distancia que une el horizonte que vemos y la altura a la que nos encontramos, es decir, vis es el segmento visible de la recta tangente a la Tierra que une el punto en el que nos encontramos (en nuestro ejemplo, 1000 metros = 1 kilómetro) con el horizonte. Aplicando pues el teorema de Pitágoras, tenemos (R+h)^2 = R^2 + vis^2. Haciendo unos sencillos cálculos, se obtiene vis^2 = h(2R + h).

  Si nos fijamos, 2R + h es, aproximadamente, 2R, ya que h es muy pequeño respecto al radio de la Tierra, por lo que, vis^2 = (aprox) h(2R). El radio de la Tierra R = 6371 km, y h = 1 km, y resulta, una vez despejando vis al hacer la raíz cuadrada, vis = (aprox) 112.88 km. Es decir, desde nuestra posición elevada, si el día está completamente despejado, veríamos el horizonte situado a 112.88 km.

   Sin más que variar la altura h a la que se encuentre el observador, se puede calcular de forma sencilla a qué distancia se encuentra el horizonte, de una forma sencilla y rápida.