Introducción a la Teoría de Juegos

   En esta breve introducción presentaré algunos juegos y los conceptos básicos que se aplican a ellos sin entrar en cuestiones matemáticas engorrosas como la diagonalización matricial, cuestiones probabilísticas o la derivación, cuestiones básicas pero que no incrementan la curiosidad que pretendo fomentar en esta entrada.
   La Teoría de Juegos comienza a ver la luz a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX debido a estudios realizados en el campo de la economía. Es pues un campo muy reciente de la matemática que se aplica no solo al ambito económico, si no también a la vida cotidiana. En rigor, la finalidad de la Teoría de Juegos es investigar de qué modo los individuos racionales deberán relacionarse cuando sus intereses entran en conflicto. Podemos decir que se desarrolla un juego cuando unos individuos se relacionan con otros: un conductor que circule por una carretera practica un juego con otros conductores; en clase, los alumnos practican un juego con el profesor; en una guerra se practica un juego, que comentaré al finalizar... aunque este último apartado no conviene ponerlo en práctica pero es necesario saberlo.
Cabe preguntarse, ¿por qué devaluar las relaciones entre grupos de individuos llamándolas "teoría de juegos"? Una de las virtudes de la Teoría de Juegos es que usa el lenguaje de juegos comunes como el ajedrez, poker, damas,... para discutir la lógica de las relaciones estratégicas.

Aplicaciones
Como aplicaciones directas de la Teoría de Juegos cabe destacar la economía, que se ocupa de la distribución de recursos. Los recursos suelen ser escasos y es porque hay más individuos que los quieren de los que pueden llegar a tenerlos, por tanto tiene todos los ingredientes para plantear un juego. Se aplica también a la política como puede ser el caso de la elección de un programa
político (2 únicos partidos políticos en EEUU). Tiene aplicaciones a la biología o aplicaciones a la filosofía como el caso del dilema del prisionero en el que Kant afirma que se debe cooperar...

Tipos de Juegos
Los Juegos Cooperativos son aquellos en los que los jugadores pueden comunicarse entre ellos con transferencia de utilidad. Aquí el problema se centra en el análisis de coaliciones y su estabilidad.
Los Juegos NO Cooperativos (son más interesantes) son aquellos en los que los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos como, por ejemplo, el dilema del prisionero o la guerra de los sexos.

Reglas del Juego
Las reglas de un juego deben decirnos quién puede hacer qué y cuándo. Deben indicar también cuánto gana cada jugador cuando el juego ha terminado.

Estrategia Pura
La estrategia pura se refiere siempre a un jugador. Es un plan que especifica una acción para cada punto de toma de decisiones por lo que no se deja nada al azar.

El Ajedrez
El ajedrez en un juego que termina de tres maneras posibles: Ganar (G), Empatar (E), Perder (P). Adem ás, se dan en este orden para cada jugador, esto es, el jugador A prefi ere G (o equivalentemente, que sea P para el jugador B) antes que E y E antes que P. Es un juego COMPETITIVO, esto es, lo contrario de un juego EN EQUIPO en el que los intereses de los jugadores coinciden. Tiene informaci on PERFECTA, es decir, los dos jugadores conocen todas las reglas del juego y, por ultimo, posee EQUILIBRIO DE NASH, esto es, lo que gana un jugador lo pierde el otro. El ajedrez, a pesar de tener para cada bloque de jugadas (aperturas o resoluciones finales) la jugada más eficiente (la que da ventaja), cabría esperar que fuera un juego predefinido de forma óptima pero cabe destacar que no hay dos partidas iguales y la razón es que la llamada Matriz de Pagos es tan grande en cada partida que no se puede diagonalizar (lo que nos daría la jugada óptima para ganar en cada planteamiento sobre el tablero).

Algoritmo de Zermelo
Partimos del objetivo fi nal y marchamos hacia atrás. Se le conoce a este proceso como INDUCCIÓN HACIA ATRÁS o PROGRAMACIÓN DINÁMICA. Prueba que un jugador tiene una estrategia para un juego que le garantiza la victoria sea cual sea la estrategia del otro jugador. Un ejemplo típico de aplicación es el ajedrez. Otra aplicación es en el llamado Juego del Duelo: "¿A qué distancia del oponente deber a acercarse un duelista antes de abrir fuego teniendo en cuenta que la probabilidad de alcanzar al contrario es mayor cuanto más cerca se encuentran?" Es cuestión de vida o muerte porque si uno falla el otro puede acercarse y disparar a quemarropa. Si aplicamos el algoritmo de Zermelo se obtiene que dicha distancia a la que se debe abrir fuego (después de cálculos) es D/2 ([Raíz(5)] - 1) donde D es la distancia inicial entre los contrincantes (Si D = 30 metros, por ejemplo, entonces la distancia optima para disparar es de 18 metros).

La Ruleta Rusa
La ruleta rusa es un juego con informaci on IMPERFECTA porque no se conocen todas las reglas del juego. El objetivo es conseguir salvar la vida de un grupo de soldados para un jugador y salvar la vida de un grupo de campesinos para el otro. Los dos objetivos a la vez no se pueden cumplir. Se carga un revolver de 6 rec amaras con 1 bala al azar. Los dos jugadores se turnan. En cada turno un jugador puede decidir si acobardarse y retirarse o disparar. Ser un cobarde o morir supone matar a los dos grupos. A ninguno de los jugadores le preocupa el otro. Hay tres alternativas: el jugador se mata (L), el jugador es un cobarde y no dispara (D) con lo que matan a su grupo de "protegidos", y el jugador no muere (W) con lo que consigue salvar a su grupo y matan al otro grupo. Las preferencias de cada
jugador son pues, por este orden, W,D,L.
Existen dos versiones: una de ellas consiste en que cada vez que se pasa el turno se gira el tambor del revolver, y la otra var ía en que s olo se gira el tambor al principio. Existe informaci on imperfecta porque el jugador sabe que hay una bala pero no sabe donde est a.
Una aplicaci on a la vida cotidiana podrí a ser el hecho de comprar en una tienda: sabemos la cantidad de dinero que nos vamos a gastar (existe una bala) pero no sabemos en qué nos lo gastaremos (no sabemos d onde est a la bala) y tratamos de maximizar los benefi cios comprando algo muy bueno (no morir) con el mí nimo coste.

El Dilema del Prisionero
Es un juego planteado en 1950 que nos proporciona la idea de que no siempre la colaboración es la mejor opción. Es un juego de suma cero, es bipersonal, biestratégico y simétrico.
Su planteamiento es el siguiente: dos delincuentes son detenidos y encarcelados en celdas de aislamiento y no pueden comunicarse entre ellos. Se sospecha que han participado en el robo de
un banco cuya pena es de 10 años de cárcel pero no se tienen pruebas. Solo se les puede culpar por tenencia ilí cita de armas, un delito menor, que tiene 2 años de cárcel. Se les promete a cada uno de ellos la reducci ón de la pena a la mitad (5 años) si proporcionan pruebas para culpar al otro del robo del banco. Las alternativas para cada prisionero pueden representarse mediante la llamada MATRIZ DE PAGOS.
La estrategia "ser leal" significa permanecer en silencio y no acusar al otro preso y "traición" es la estrategia alternativa:
En la siguiente tabla se representan las alternativas de cada preso en años:
   Preso Y
Preso X    Lealtad Traición
Lealtad         2/2      10/1
Traición        1/10      5/5
En la siguiente tabla se cambia el pago en años por ordenes de preferencia de cada prisionero:
   Preso Y
Preso X    Lealtad Traición
Lealtad         2/2       4/1
Traición        1/4       3/3*
El punto "2/2" no es un equilibrio de Nash porque no existe acuerdo previo entre los prisioneros, sin embargo, el punto "3/3" si representa un equilibrio de Nash, por tanto, SI NO SE CONOCE LA DECISI ON DEL OTRO JUGADOR, LO MEJOR ES TRAICIONAR.

La Guerra de los Sexos
Este juego analiza la vida cotidiana y las relaciones entre los hombres y las mujeres. Es un juego SIN REPETICIÓN porque se juega s olo una vez, as í que no es posible tomar decisiones en funci ón de la eleccióon del otro jugador, y es un juego SIN TRANSFERENCIA DE UTILIDAD (no existe comunicaci on previa ni acuerdos entre los jugadores) y es sim étrico.
Su planteamiento es el siguiente: existen dos jugadores, EL y ELLA, y cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias que llamaremos "Fútbol" y "Tiendas". Supongamos que el orden de preferencias de él es:
1) (lo más preferido) él y ella eligen "Fútbol".
2) Él y ella eligen "Tiendas".
3) Él elige "Fútbol" y ella elige "Tiendas".
4) (lo menos preferido) Él elige "Tiendas" y ella elige "Fútbol".
Supongamos que el orden de preferencias de ella es:
1) Él y ella eligen "Tiendas".
2) Él y ella eligen "Fútbol".
3) Él elige "Fútbol" y ella elige "Tiendas".
4) Él elige "Tiendas" y ella elige "Fútbol".
Lo que mencionaba anteriormente, la matriz de pagos asociada, es de la forma:
  Ella
Él         Fútbol Tiendas
Fútbol     1/2       3/3
Tiendas   4/4       2/1
El punto "3/3" no es un equilibrio de Nash porque cuando se separen uno estar á tentado de cambiar de estrategia. Aquí viene lo bueno: supongamos que las posiciones 2 y 3 de las estrategias de él se intercambian (prefiere más ir sólo al fútbol) lo cual se aproxima m ás al mundo real. De esta forma la matriz de pagos queda como sigue:
  Ella
Él          Fútbol Tiendas
Fútbol     1/2*     2/3
Tiendas   4/4       3/1

Está claro que él siempre elegirá "Fútbol" sea cual sea la estrategia de ella. Sabiendo esto, ella prefiere estar con él en vez de ir sola de tiendas, por lo que EL JUGADOR "MÁS EGOISTA"
DOMINA AL OTRO.

La Tragedia de los Comunes
Es un planteamiento más moderno que los anteriores (1968) pero usado desde tiempos inmemoriales:
en una aldea cada familia es propietaria de ganado pero comparten en com ún el pasto. Todas las familias llevan a pastar su ganado a terrenos comunes. Ninguna está estimulada a cuidar los pastos, que no se agoten o controlar la cantidad que come su ganado. Existen pues dos estrategias posibles:
a) Cuidar los pastos.
b) No cuidar los pastos.
El orden de preferencias para cada jugador (familia) es el siguiente:
1) (lo m as preferido) Que los dem ás sean los que cuiden los pastos y no yo.
2) Que todos sean cuidadosos.
3) Que ninguno cuidemos las propiedades comunes.
4) (lo menos preferido) Que yo cuide los pastos y los dem as no.
Por tanto, lo mejor para cada familia, hagan lo que hagan las dem ás, es no ser cuidadoso con los terrenos comunes, por lo que el resultado es peor que si todas cuidaran los pastos.
La conclusión evidente de este planteamiento es que los recursos de propiedad compartida no los cuida nadie. Este juego propone pues las siguientes soluciones:
-Propiedad privada: se divide el prado en parcelas y as í cada familia cuida la suya.
-Propiedad p ublica: las autoridades de la aldea establecen leyes que regulan el
uso y cuidado de la parcela com un con vigilancia, etc...

   Con esta entrada he intentado hacer ver al lector/a que una rama importante de las matemáticas, como es el estudio de los juegos, se aplica a cualquier ámbito de la vida cotidiana. Un ejemplo paralelo al de la Tragedia de los Comunes es el de la guerra: lo más beneficioso para ambos bandos es entrar en guerra a pesar de las bajas y el coste que conlleva para ambos contrincates. Los casos curiosos como el de siempre traicionar en el Dilema del Prisionero o ser egoísta en la Guerra de los Sexos son cuestiones que debemos saber, por si acaso.

Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya

   Cualquier sistema de numeración es sencillo si se está habituado a su trato: por ejemplo, se puede afirmar que 1 + 1 = 0 ó que 2 + 0 = 0, ó que 6 x 8 =3, siendo estos resultados referidos al sistema binario (base 2) los dos primeros y al sistema con base 5 para el último de estos sencillos ejemplos.

   Nuestro sistema de numeración, el decimal (base 10), es sencillo e intuitivo y ampliamente aceptado para operar de forma sencilla aunque no es el que se ha usado históricamente de forma mayoritaria: un sistema usado por los romanos era parecido al de base 4 teniendo en cuenta las falanges de los dedos de las manos sin contar los pulgares, es decir, se contaba en grupos de 4 (4 para la primera falange, 4 para la segunda y 4 para la tercera para completar una mano, lo que se denominaba “una gruesa” al hacer 12, y sucesivamente. Como muestra de que sigue vigente, los huevos se compran actualmente como múltiplos de 12...). Otro ejemplo sería el uso que desde la aparición de las computadoras se les ha dado a los sistemas basados en los múltiplos de 2 hasta llegar al sistema hexadecimal que usa como base 16, es decir, tiene las cifras usuales del sistema binario 0,…,9 y se le añaden las letras A,…,F, donde ‘nuestro’ 13 equivaldría a la letra D, como detalle. Otro ejemplo podría ser la numeración egipcia que no usaba números y otro ejemplo, el que trataré a continuación, el sistema de numeración de la civilización Maya.

   Como curiosidad, nuestro sistema decimal proviene del pago del “diezmo”, también de los romanos, y proviene de la numeración romana, obviamente, con una construcción por añadidura, esto es, se basa en el grupo de números 1,…,9 y el siguiente es comenzar el siguiente grupo de elementos con la primera cifra e ir añadiéndole detrás el grupo de números anterior, es decir, 10, 11, 12 y así sucesivamente. Es un sistema constructivo, de ahí su facilidad de asimilación y de uso. Ni que decir tiene que el orden de estos factores es muy importante: no es el mismo número el 61 que el 16.

   El sistema vigesimal de la numeración maya es un sistema de base 20 pero no de la forma en que se construyen los sistemas a partir del decimal, añadiendo letras en orden alfabético, ya que su idea se basaba en la medición del tiempo para poder medir de forma fiable las épocas del año para realizar las cosechas o de forma astronómica, pero no fue ideado como un sistema matemático de las operaciones básicas como son sumar o restar. Los números mayas eran, en realidad, las formas de expresar los calendarios. Además, cada uno de estos números se podía representar de 3 formas distintas (nuestro sistema decimal solo se puede representar de dos formas, a saber, el número en sí o su forma escrita: ‘8’ u ‘ocho’, ‘26’ ó ‘veintiseis’…). Como nota importante, cabe destacar que usaban un “cero” parecido al actual para indicar la posición en una cifra de varios números pero no era usado como el equivalente de nulidad actual. Era representado por una especie de concha.

    Al ser un sistema vigesimal y usar algo parecido al cero actual, escribían los números en grupos de 20 cifras comenzando por su cero, es decir, usaban el rango 0,1,2,…,19. Para los números del 1 al 19 usaban puntos y rayas en posición horizontal: al 1 actual le corresponde 1 punto, al 2 actual le corresponden 2 puntos,…, hasta el 4, que le corresponden 4 puntos en posición horizontal, al 5 actual le corresponde una raya horizontal y encima los puntos necesarios hasta llegar al 9 que es una raya con 4 puntos encima. Al 10 actual le corresponden 2 rayas horizontales una encima de la otra y, por recursividad, se construye por este método hasta la cifra correspondiente al 19 actual.

   Esto es muy curioso porque este sistema de base 20 se construye con un sistema auxiliar de base 5 y por eso tiene cierta complejidad. ¿Por qué estas bases de numeración? Porque los mayas dividían el año en 18 “meses” de 20 días cada uno y el 5 era usado por similitud con los dedos de la mano. Así, 20 x 18 = 360 días para un año maya, cifra muy cercana a la actual de 365 días.

   ¿Qué sucede con los números mayores de 20? Se escriben basándose en el primer grupo de 20 números pero variando la posición en la que se pongan. Si se ha construido el primer grupo de 20 números con papel y lápiz, se puede notar que los números mayas se escriben en torre de abajo hacia arriba (el sistema decimal se escribe de izquierda a derecha en la escritura occidental, al igual que todos los sistemas basados en él). En el siguiente nivel un punto equivale a 1x20 y una raya equivale a 1x100: por ejemplo, si en el primer nivel tenemos dos rayas con un punto encima (el 11) y encima ponemos un punto formando una torre, el número sería 11 + (1x20) = 31. En el siguiente nivel el valor del punto es 1x20x18 (la última cifra no es 20 porque los mayas basaban un año en 20 x 18 = 360 días, como comenté en el párrafo anterior), por lo que una torre vertical formada por, como ejemplo, 3 rayas y 4 puntos, una raya y 2 puntos equivale al número actual (1x19) + (1x100) + (2x360) = 19 + 100 + 720 = 839. De una forma análoga y relativamente sencilla se pueden ir construyendo los niveles para formar números más grandes. El número 400 en maya sería la torre vertical formada, de abajo hacia arriba, concha (el cero), dos puntos en el segundo nivel y una raya en el tercero, es decir, (1x0) + (2x20) + 1x360 = 40 + 360 = 400.

   Un sistema de numeración muy interesante teniendo en cuenta para lo que fue ideado, para hacer los calendarios mayas e incluso es tremendamente ingenioso para lo que no fue ideado, esto es, poder construir números muy grandes y poder realizar las operaciones básicas de suma y resta con varios de estos números.

Egoísmo Matemático: Correr y el Número de ERDOS

   Incluso una mala virtud del ser humano, como puede ser el egoísmo, llega hasta algo tan puro como la matemática. Lo que trato en esta entrada es una breve crítica hacia grandes intelectos que potencian su ego usando su campo profesional.

   Erdos fue un matemático húngaro que escribió casi tanto como Euler, ni más ni menos que 1500 artículos a lo largo de su vida. Curiosamente, el número que lleva su nombre no se lo asignó él mismo, si no un colega suyo, por lo que el egoísmo no es propio de Erdos si no de otros. Esta cifra es muy curiosa y nos da a entender lo “cercanos” que nos encontramos todos los matemáticos, incluso sin haber publicado ningún artículo de carácter científico, al menos de forma oficial. Sería algo así como decir que el conjunto de todos los matemáticos (ojo, incluidos los ya fallecidos) es realmente denso en el conjunto de la población mundial, es decir, estamos muy "cerca" unos de otros a nivel colaborativo. Es más, muchos otros científicos de muy diferentes áreas poseen un número de Erdos. Paso a describirlo de forma escueta.

   Se comienza, obviamente, por el propio Erdos, que posee un número de Erdos de 0. Los colaboradores de Erdos en primera instancia, es decir, los que fueron coautores de los artículos de Erdos, poseen un número de Erdos de 1. Los colaboradores de estos coautores que no colaboraron con Erdos directamente poseen un número de Erdos de 2 y así sucesivamente. Los matemáticos que no han publicado nunca ningún artículo científico tienen un número de Erdos infinito o no definido. Se ha demostrado que el 90% de los matemáticos tienen un número de Erdos menor que 8 (de ahí la “densidad” del conjunto de todos los matemáticos que comentaba antes), lo cual resulta muy chocante con la llamada “teoría de los seis grados de separación”. Hay 509 personas de orden 1, 6984 de orden 2 y, a partir de ahí, la cifra de los sucesivos órdenes varía. El rango de este número está entre 0 y 15 y la media es de 4,65.

   La definición de esta curiosa cifra no es tan exacta como se podría suponer porque, cabe preguntarse, ¿en qué términos ha sido esa colaboración?, ¿en qué campos concretos dentro de las matemáticas o de la ciencia en general?, etc. Los más lejanos en el tiempo son los famosos matemáticos Dedekind (1831) con número de Erdos 7 y Frobenius (1849) con número de Erdos 3. No se sabe si anteriores matemáticos tienen un número de Erdos finito.

   Sucede que existen números parecidos fuera de las matemáticas: existe el número de Bacon relativo al actor Kevin Bacon o el número de Stringfield para cuestiones paranormales.

   Y ahora viene mi aportación: defino el NÚMERO DE LLEBRÉS de la siguiente forma: me asigno el número 0 y defino un “coautor” o "colaborador" como aquel corredor o aquella corredora que haya participado conmigo en alguna competición de carrera a pie (es decir, alguien que yo conozca de forma directa, no un simple conocido/a) y haya terminado la prueba en el entorno de 5 minutos menos que mi tiempo oficial para el extremo inferior y 5 minutos más que mi tiempo oficial para el extremo superior, comenzando este pequeño juego en el año 2010, por ejemplo, y definiéndolo una vez para cada año, pudiendo realizar así la medición media hasta la fecha de este año para así descartar que alguna de estas personas pueda poseer varios números de Llebrés a la vez. Curioso, ¿verdad? Sería cuestión de hacer los cálculos…

   Es evidente, a la vista del párrafo anterior, que cada cual puede definirse un número propio, en propiedad y autoría, en cualquier ámbito de la vida y de cualquier forma que se le ocurra, haga lo que haga y donde lo haga, siendo tan egoísta como lo son los elementos de ese conjunto tan peculiar al que humildemente pertenezco: el conjunto de los matemáticos.

Nota: mi número de Erdos es finito.

La Insolubilidad de la Quíntica

   Es bien sabido que las ecuaciones de segundo grado con coeficientes racionales son muy sencillas de resolver simplemente aplicando una fórmula que, a los alumnos y alumnas de secundaria, les cuesta horrores aprender o, en sus casos más simples, reduciendo esta ecuación cuadrática a alguna lineal por la ausencia de alguno de sus coeficientes. La famosa fórmula involucra una raíz cuadrada (bueno dos, la positiva y la negativa) que nos da dos soluciones, una o ninguna (por el teorema Fundamental de Álgebra) en términos reales, pero si añadimos que las soluciones pueden ser números complejos, esa “ninguna” es aceptada.

   Por experiencia propia, es raro que algún alumno o alumna sienta curiosidad por saber de dónde sale esa fórmula tan extraña que nos proporciona de una forma directa y elegante las soluciones reales de una ecuación de segundo grado y, ni que decir tiene, que ni remotamente se podría encontrar a algún estudiante que se plantee si existen fórmulas para ecuaciones con mayores grados. Si existiera alguno (yo no lo he encontrado aún), yo le diría que sí, existen fórmulas para las ecuaciones de tercer grado y de cuarto grado que, lógicamente, involucran raíces de orden 3 y 4 respectivamente pero, de quinto grado en adelante, incluido el grado 5, no existen dichas fórmulas, lo cual resulta curioso cuanto menos. Es el llamado Teorema de Abel-Ruffini o el título de esta entrada.

   Ello no quiere decir que no se puedan calcular las soluciones de dichas ecuaciones, las cuales se pueden aproximar por métodos numéricos, ya sean implícitos o explícitos, de uno o varios pasos, como los Newton-Raphson, Runge-Kutta, Bisección, etc…

   En el siglo XIX, un jovenzuelo de nombre Galois dio con la clave de esta imposibilidad. Galois murió a los escasos 20 años, lo cual indica el potencial matemático que se perdió si no se hubiera batido en duelo con un oficial del ejército francés.

   El resultado fundamental de la Teoría de Galois dice que un polinomio se puede resolver por radicales sí y solamente sí su grupo de Galois es resoluble (se construye a partir de grupos conmutativos [esto es, axb = bxa] usando extensiones de grupos). Es un resultado muy poderoso e importante a pesar de su cortísimo enunciado. Su demostración requiere algunos conocimientos que sobrepasan este blog, el cual no trata de liar al lector si no darle algunas pinceladas sin perder el interés ni el fondo de lo tratado. Esa ha sido mi política hasta ahora, salvo casos muy excepcionales, y así seguirá siendo, por lo que trataré de explicar este tema lo más llanamente posible.

   Imaginemos un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales. Podría suceder que algunas de sus raíces verificaran ciertas ecuaciones algebraicas (aparte del polinomio del que son raíces, claro). Si podemos quedarnos con las transformaciones de esas raíces con la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas también son satisfechas por sus transformaciones, entonces podremos ir vislumbrando alguna propiedad interesante. El conjunto de esas transformaciones o permutaciones (podría ser permutar una raíz con otra en una suma, o cambiarlas en una multiplicación, etc…) tiene la propiedad de “grupo” y se llama Grupo de Galois (el grupo de permutaciones de orden n, Sn, es muy importante en álgebra abstracta) del polinomio inicial.

   Sin entrar en esos detalles escabrosos que comentaba antes, se puede concluir que las ecuaciones de segundo grado tienen asociado un grupo de Galois con, a lo sumo (importante), dos elementos 2! = 2.1 = 2: la identidad (es una transformación que lo deja todo igual, siempre está en cualquier grupo) y la trasposición que intercambia una raíz por la otra. Este grupo es matemáticamente igual, es decir, es isomorfo al grupo Z2 formado por las clases de equivalencia del 0 y el 1. Aquí cabe resaltar que todos los grupos cíclicos de orden finito n son isomorfos a Zn y los de orden infinito son isomorfos a Z, es lo que se llama teorema de Estructura de Grupos Cíclicos.

   Algo parecido se puede hacer para los polinomios de grado 3, de los que se pueden obtener 3! = 3.2.1 = 6 permutaciones como máximo, de las que habría que descartar las que su transformación es la misma, que son 3 (sin más que coger un ejemplo e ir buscando).

   Para los polinomios de grado 4 sucede lo mismo: obtendríamos 4! = 4.3.2.1 = 24 transformaciones de las raíces que cumplirían ciertas ecuaciones algebraicas pero de las que se repiten exactamente 20, por lo que hay 4 permutaciones distintas de las raíces.

   Todo esto se explica algebraicamente diciendo que los grupos de permutaciones S2, S3 y S4 son resolubles, es decir, como comenté antes, son grupos que se construyen a partir de grupos conmutativos de forma sencilla pero que requiere profundizar en la teoría, algo que no haré aquí como también comenté.

   La idea de esta entrada se reduce, viendo todo lo explicado hasta ahora, a saber si S5 es resoluble o no, pero un subgrupo suyo es A5, el llamado “grupo alternado de orden 5” cuyos elementos son las permutaciones pares, que tiene la particularidad de que no es conmutativo (existen cadenas de permutaciones que varían el resultado si se altera su orden) y S5 es una extensión natural de A5, por lo que S5 no es resoluble. A partir del orden 5 es más fácil aún encontrar cadenas de permutaciones de los S6, S7,… que no sean conmutativas, por lo que los polinomios asociados según el resultado de Galois no se pueden resolver usando una fórmula que involucre raíces.

   Bien, creo haber conseguido explicar de forma más o menos sencilla algo complejo y que se nos presenta cada día en secundaria a la hora de sacar las raíces de polinomios, por si a algún alumno o alumna se le ocurre preguntar.

Conjuntos Inagotables: A Vueltas Con el Infinito y El Axioma de Elección

   En esta entrada intentaré dar a entender algunos conceptos curiosos sobre el número de elementos de un conjunto y sus nombres cuando no se puede controlar cuántos elementos posee ese conjunto, siempre de una manera informal, sin entrar en tediosos detalles ni formulaciones que requieren una fuerte base matemática. Todo se basa en el cuestionado Axioma de Elección, que ya usé en la entrada Mi Solución Particular al Rompecabezas Lógico Más Difícil que proviene de la entrada El Rompecabezas Lógico Más Difícil, las dos con gran aceptación dentro de mi pequeño blog.

   En Teoría de Conjuntos, se dice que un conjunto A es AMORFO, si A es infinito y todos sus subconjuntos son finitos o cofinitos (un conjunto es cofinito si su complemento es finito).
    Un conjunto A se llama SUPERAMORFO, si A es infinito y, para todo k, todos los subconjuntos de A ^ k (se lee "A elevado a k", es decir, AxAxA...xA, k veces como producto cartesiano) son de primer orden definibles a partir de un número finito de parámetros en el lenguaje de igualdad (un primer orden es el lenguaje de símbolos usado habitualmente para relacionar conjuntos, nada de metalenguajes ni estructuras lógicas complejas que no vienen al caso). Es consistente con la axiomática de Zermelo-Frankel que existan conjuntos superamorfos, es decir, dentro de esa axiomática (la conocida por todos) no existe contradicción entre las distintas estructuras y los conjuntos superamorfos. Esto es difícil de explicar pero se basa en el denominado Teorema de Completitud de Gödel. 

   Lo curioso de lo explicado anteriormente es la nomenclatura utilizada para definir esos conceptos, con unos nombres que dan qué pensar, no solo a los conocedores de la temática, más incluso a cualquier lector sin base técnica.
 

Veamos otro concepto curioso, el concepto de inagotabilidad:
   Un conjunto A se denomina INAGOTABLE si contiene más de un elemento y, para cualquier descomposición de la forma A = B U C, se tiene que A puede ser inyectado en B ó C (inyección, sobreyección o biyección son conceptos matemáticos que relacionan los elementos de distintos conjuntos, la inyección, en este caso, significa que dos elementos  distintos del conjunto A van a parar (se transforman) siempre a (en) elementos distintos del conjunto B, idem con C).

Y aquí tenemos la clave de esta cuestión:

Si el (polémico) Axioma de Elección se cumple, entonces los conjuntos inagotables son exactamente los conjuntos infinitos. Sin embargo, sin este terrorífico axioma, no es nada claro que los superconjuntos de conjuntos inagotables sean también inagotables. Vamos a ver, brevemente, que esta propiedad realmente caracteriza al Axioma de Elección:

Teorema:

Supongamos que cada conjunto que contiene un conjunto inagotable, es en sí mismo inagotable. Entonces el axioma de elección se cumple.

    Diremos que la propiedad "noción de infinitud" es cerrada bajo equivalencias y superconjuntos (cerrado es lo contrario de abierto en cuestiones topológicas que no debo entrar...) y, si se verifica para un conjunto no finito w, entonces se puede reformular lo anterior de la siguiente manera:

"Inagotabilidad" es una noción de infinitud sólo si el axioma de elección se da, o equivalentemente, sólo si coincide con el infinito verdadero.

Vamos a ver esto tan curioso:
   Vamos a mostrar que cada conjunto puede estar bien-ordenado, lo cual es claro para conjuntos finitos, por lo que consideremos algún conjunto B infinito. Sea k el menor número ordinal tal que B no pueda ser mapeado en k (reformar los elementos de B a otros de k). Sea A la unión disjunta de k y B: A = B + k, es decir, A y k no tienen nada en común, su intersección es vacía.
Claramente w está incluido en k, por lo tanto, A contiene un conjunto inagotable y por lo tanto es inagotable. Así que tenemos B + k  ≤  B ó B + k  ≥  k. La primera alternativa implicaría k ≤ B, por lo tanto k ≤* B que es imposible por la definición de k, siendo ≤* otro orden.
Así pues, tenemos B + k ≤ k, así también B ≤ k. Por lo tanto B puede estar bien-ordenado.

   Lo más interesante es tomar conciencia de los conceptos y las nociones que se pueden trasladar al lenguaje ordinario, con lo que se consigue acercar un poco cuestiones tan abstractas a gente no experimentada en este tema pero que poseen un fuerte espíritu crítico. Espero haberlo conseguido.