Aclaración de "¿Qué Suma Es Ésta?", 0.999... = 1

    Quizás surgieron algunas dudas en la anterior entrada en la parte en la que doy especial importancia a los "puntos suspensivos": no hay más que ir a aquella curiosidad para dar pie a lo que explico en estas líneas que siguen.

   Ahora exhorto al lector a centrar todos sus sentidos en la expresión " 0.999... = 1 ", pues voy a hacer un estudio detallado de lo que significa semejante... aberración matemática. Trivialmente es claro que 1 = 1  y que 2 = 2  y que 0,8734 = 0.8734  pero, ¿se puede afirmar lo mismo de expresiones del tipo 4.672... = 4.672... ?, ¿qué sucede en esos diabólicos puntos suspensivos? Intuitivamente se entiende que son aproximaciones, como cuando se pretende aproximar una raíz cuadrada: nunca se podrá dar un valor exacto pues se obtienen infinitos números decimales, por tanto esos símbolos de igualdad hay que saber tratarlos, y esto no se enseña en la universidad porque para ello hay que comprender lo que es la matemática.

   Se puede "probar" de varias formas que 0.999... = 1 : por ejemplo, si consideramos x = 0.999..., entonces 10x = 9.99... y restándole a esta ecuación la primera, se obtiene 9x = 9, de donde x = 1. Aparentemente es impecable. Esencialmente se tiene que 9x + x = 9 + x  de donde x = 1. Pero esto sólo sucede si realmente x es cancelable. Otra forma de verlo sería afirmar que 1/3 = 0.333... de donde, multiplicando por 3 la ecuación, se tiene 1 = 0.999... pero este extremo solo es cierto si lo es 1/3 = 0.333... Existen más "métodos" de prueba pero con esos dos es suficiente para el planteamiento.

   Se define el conjunto D, corte de Dedekind, a una estructura de la forma {x está en D si x < r} siendo x y r números reales. Este tipo de conjuntos tienen una serie de propiedades en las que no voy a entrar pero que los convierte en interesantes. De tal forma, nuestro 0.999... equivale a la estructura {x está en D si x < 1} mientras que 1 corresponde al corte {x está en D si x < 1 ó x = 1}.

   Aquí, se tiene que 0.999... = 1 + 0.000... donde 0.000... ha de ser necesariamente un decimal negativo puesto que suponemos sólo la operación de adición (la suma). Además, no se puede resolver la ecuación 0.999... + x = 1 porque en el corte D, la suma de un número real tradicional con cualquier real es un número real tradicional, es decir, 1 debería ser 1..... pero sólo es "1" sin decimales, por lo que se desmonta la malvada igualdad 0.999... = 1. Así, si fuera cierta, el 1 correspondería al número decimal 0.999... pero no existe un número decimal correspondiente a -1, que sería el corte {x está en D si x < -1}. Se deduce que el tratamiento de los números infinitesimales negativos no es el mismo que el de los positivos y este es un problema abierto.

   La intuición en la matemática no siempre se cumple y se debe tratar el detalle y el razonamiento lógico para llegar a la conclusión verdadera y no la meramente intuitiva.

¿Qué Suma Es Ésta?

    La serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – +... donde los puntos suspensivos indican infinitos términos (lo cual puede parecer obvio pero es muy importante resaltarlo), puede parecer una estructura sencilla de manejar y rápidamente se podría dar con el resultado que, a simple vista, es 0  ya que cada término se anula con el anterior pero, ¿es realmente esto así? Una forma de sumarla podría ser (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) +... = 0 + 0 + 0 +... = 0. Pero otra forma de sumarla puede ser  1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ··· = 1 + 0 + 0 + 0 + ··· = 1. ¿Qué está sucediendo?, ¿cuál es la correcta, si es que existe alguna? Curiosamente se podrían agrupar los sumandos reordenándolos y obteniendo un número entero cualquiera, por lo que no existe un único resultado. Esta serie es así por ser una serie de términos infinitos que no es nada trivial, como cualquier otra, y su manejo es complejo.

   Un prodigioso matemático indú llamado Ramanujan estudió estas series y las llevó a otro nivel. Su historia es muy interesante y, a pesar de morir joven, dejó un legado impresionante.

   E aquí la suma referida en el título de esta entrada: 1 + 3 + 4 + 5 +... = - 1/12 (R).

   Pero, ¿ésto qué es? ¿Una suma infinita de términos positivos da como resultado un número negativo? Ramanujan así lo afirmaba. Daré explicación a la R más abajo. Vamos a verlo.

Hoy en día, se sabe que la suma de los "n" primeros números naturales es "el último por el siguiente dividido entre 2", regla que nos enseñaron en secundaria, es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5+... = n(n + 1)/2, cuya serie infinita es divergente. No voy a entrar en los números de Bernouilli, voy a "resolver" el enigma de esa serie con valor negativo de una forma sencilla y constructiva:

Llamemos s a la suma anterior,  s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +...  Ahora la operación 1 - s = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +...) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +... = s  (aquí se refleja la gran importancia de los puntos suspensivos a la que hacía mención al comienzo de esta disertación, pues sin ellos la serie sería finita y hacer estas operaciones conllevaría posibles cambios de signo en el resultado final). De la igualdad anterior se deduce que 1 - s = s => s = 1/2.

Ahora consideremos r = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +..., entonces 2r = r + r = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...) = 1 - 1 + 1 - 1 +... = s = 1/2. Así, 2r = 1/2,  por tanto, r = 1/4.

Recordemos que la serie en discordia es S = 1 + 3 + 4 + 5 +...  Entonces, S - r = 1 + 3 + 4 + 5 +... - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...) = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 +... = 4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...) = 4S. Como r = 1/4,  se tiene S - 1/4 = 4S  y despejando S = - 1/12.

Así se obtiene ese valor tan "raro" de esa suma. Por eso a esta suma clásica se la denomina suma de Ramanujan y se le asigna la letra R en honor al genio indio y para hacer notar que ese signo de igualdad hay que analizarlo bien.

   Evidentemente existe un error de comprensión de la matemática no por el hecho de no saber conceptos sino por el tratamiento de esos puntos suspensivos tan importantes. La clave de esta cuestión es asignar un valor "finito" (en nuestro caso las S ó s ó r de esta entrada), que es la primera parte de la igualdad, a un valor "infinito" que proporcionan los puntos suspensivos en la segunda parte de la igualdad. Así se puede demostrar que - 1 = 0: Sea A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... de donde - 1 + A = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = A  y de aquí se obtiene - 1 + A = A  por lo que - 1 = 0.   (¡¡¡!!!). Esta es la locura de tratar con el diablo infinito, que es intratable por la lógica.