Problema de los Tres Cuerpos Restringido

   Se conoce como "Problema de los Tres Cuerpos" a la descripción del movimiento de tres puntos materiales de modo que dos cualesquiera de ellos se atraen con una fuerza que involucra la constante gravitatoria de Newton  G = 6.67 x 10^-11. Tratar este problema sin el uso de la formulación adecuada muestra una complejidad que no suponía hasta que he comenzado a esbozar estas líneas. Ya he comentado en multitud de ocasiones en este blog que su intención no es tener el rigor inherente a las expresiones matemáticas sino el rigor explicativo lo más general posible para que su comprensión por cualquier lector sea la adecuada, eso sí, teniendo unas nociones básicas imprescindibles sobre matemática y física. Aún con esta problemática intentaré explicar este interesante Problema de los Tres Cuerpos de la forma más sencilla posible.

   Las claves del Problema de los Tres Cuerpos son: cómo es el centro de masas del sistema, definir las 6 integrales del centro de gravedad o del momento lineal (llamadas integrales primeras), las integrales de las áreas o del momento angular y la integral de las fuerzas vivas o de la energía. Por tanto, se tienen 10 integrales por lo que el problema tiene orden 8.

   Evidentemente, la formulación de los conceptos anteriores requiere profundos conocimientos matemáticos y de cálculo que obviamente estoy omitiendo por lo explicado en el párrafo anterior. 

   El sistema inercial se mueve a través del tiempo pero esta variable se puede eliminar sin pérdida de generalidad y, con otros mecanismos complejos, se puede reducir el orden hasta un valor de 4. Aún así, el problema es extremadamente complicado pero se puede hacer una hipótesis que vuelve la cuestión más asequible que consiste en suponer que una de las masas es tan pequeña que no ejerce influencia sobre el movimiento de las otras dos masas pero estando atraída por esos movimientos de manera usual. Así, los movimientos de estas dos masas son los del Problema de los Dos Cuerpos, que se consideran conocidos en su totalidad. Este es el llamado Problema de los Tres Cuerpos Restringido.

   Supongamos pues dos cuerpos con sus masas que se mueven alrededor de su centro de masas en órbitas circulares bajo la influencia de su atracción gravitaroria y consideremos un tercer cuerpo que se mueve en el plano de los anteriores de forma tal que, estando sujeto a las atracciones de las leyes gravitarorias de los otros dos cuerpos, no perturba el libre movimiento de tales cuerpos. La descripción del movimiento de este tercer cuerpo es el que da nombre a esta entrada. Los dos primeros cuerpos se denominan "primarios" y el tercer cuerpo "infinitesimal". Es evidente que se trata de un planteamiento teórico puesto que este tercer cuerpo, en la realidad física, siempre ejerce una acción gravitatoria sobre los dos cuerpos primarios, sin embargo, cuando la masa del cuerpo infinitesimal es muy pequeña en comparación con las masas de los cuerpos primarios, la aproximación a dicha realidad física es muy elevada. Como claro ejemplo de ello, tómense como cuerpos primarios unos planetas y como cuerpo infinitesimal algún satélite de alguno de ellos.

   La simplificación del Problema de los Tres Cuerpos al Problema de los Dos Cuerpos no es en vano puesto que está motivado por problemas reales de nuestro sistema solar, de lo cual se dio cuenta en primera instancia Leonard Euler: el (casi) movimiento circular de los planetas alrededor del Sol y sus pequeñas masas. Se puede considerar el mejor ejemplo al respecto, el sistema Sol-Tierra-Luna:

La relación aproximada de sus masas es mSol / 300000 = mTierra / 1 = mLuna / 0.01  y las distancias relativas cumplen, aproximadamente, dST / dTL = 390;   dST = dSL.  El efecto gravitarorio de la luna sobre la Tierra es 0.005 veces el del Sol. Teniendo en cuenta que la excentricidad de la órbita terrestre es 0.017 (su órbita es "muy" redonda"), lo que da pie a afirmar que el Problema Restringido resuelve el movimiento de la luna respecto de los cuerpos primarios Tierra y Sol. Notar que también existe el Problema de los Tres Cuerpos Restringido Elíptico para órbitas no tan "redondas", es decir, para órbitas con forma de elipse pero su formulación es parecida a la de las órbitas con excentricidades pequeñas.

   El Problema de los Tres Cuerpos Restringido también puede ser aplicado a un satélite artificial sobre los cuerpos primarios Tierra y Luna. Asímismo, Júpiter se mueve alrededor del Sol con una excentricidad mucho más pequeña que la de la Tierra (por lo que su órbita es mucho más "redonda"), y si se considera el sistema de cuerpos primarios Júpiter-Sol, se puede conocer el movimiento de cualquiera de sus satélites principales (Ío, Europa, Ganímedes o Calisto) o cualquier otro satélite natural u objeto interestelar que lo circunde, como se verá más abajo.

   Parece ahora sencillo plantear la formulación matemática del más sencillo de todos los problemas orbitales gravitacionales que se puedan presentar: pues no, incluso en este caso en el que tan solo se involucran dos cuerpos. Ecuaciones diferenciales, integrales y otras consideraciones abundan por doquier en el sencillo Problema de los Tres Cuerpos Restringido, cuestiones que escapan a este blog y que requieren conocimientos avanzados de matemática. Exhorto al lector interesado a que investigue ya que es interesante. Incluso en el caso de dos cuerpos existe una complejidad añadida en la que tampoco voy a entrar por su complejidad pero que recibe el nombre de "regularización".

   Una cuestión importante, como anuncié con anterioridad, tiene que ver con la descripción anterior de la singularidad de Júpiter y su gran masa (318 veces la de la Tierra): ¿qué sucede cuando  un cometa pasa cerca del gran planeta? Aquí se puede aplicar el Problema de los Tres Cuerpos Restringido tratando al cometa como el cuerpo infinitesimal y como cuerpos primarios Júpiter y el Sol y poder así identificar un cometa comparando sus elementos orbitales en apariciones diferentes: a este método se le denomina "criterio de Tisserand" que es clave para el estudio de estos objetos interestelares tan especiales.

   Hasta aquí una pequeña aproximación a un problema complejo en su formulación y fascinante en sus resultados, tal es así que el Problema de los Tres Cuerpos es un caso particular del Problema de los n Cuerpos, que no tiene solución y aquel, el de los Tres Cuerpos, tan solo es soluble en casos particulares siendo el Restringido o de los Dos Cuerpos el resoluble para cualquier par de cuerpos.

Y al Final, El Aleph (Borges Ya lo Sabía...)

   Se suele identificar al cielo como un ente tangible al referirnos a él como "qué bonito está hoy el cielo", "cielo despejado",  "las nubes están flotando en el cielo", etc. A la vez, el cielo es un ente inmaterial y difuso ya que no se sabe dónde comienza el cielo, cuánto espacio ocupa o qué es. Esto podría ser lo más parecido a identificar alguna forma de infinito en una acepción muy general. Mi opinión sobre el infinito es su no-existencia en cuanto a que no tiene un valor lógico en el universo en el que nos encontramos pero, aparte de mi vana opinión, el concepto de infinito matemático es muy interesante porque escapa a la comprensión verdadera de su significado y su concepto como sustantivo es muy difícil de entender. Cabe resaltar que la definición de infinito es todo aquello que no es finito, es decir, se basa en la definición rigurosa de otro sustantivo, en este caso, el concepto de finito. Ya he tratado este tema en otras entradas como Números Excepcionales I ,ó Un Poco de Infinito ó El Número de Graham . Mi Querido Jorge Luis Borges, a quien le gustaban mucho las matemáticas, lo describió como sólo él hubiera podido hacerlo. También se pueden encontrar en este blog algunas entradas sobre uno de mis escritores favoritos.

   Aquí surge entonces el infinito como un número que es un no-número, es decir, es un número que no se puede expresar como una sucesión de cifras que termina en una cifra, de ahí que para designar un número como de infinitos factores se le asigne al final de la última cifra los puntos suspensivos "...". Pero, el infinito, ¿es único?, si hay varios, ¿son todos igual de "grandes"? Si hay varios, ¿cómo se ordenan?

   La matemática está preparada para dar respuestas a todas esas preguntas. Así surge el primer infinito, el más "pequeño", llamado Aleph, más concretamente, "Aleph sub 0 ", que, simbólicamente, se denomina χ0 que es el cardinal del conjunto de los números naturales.

   Es claro que en toda la historia de las matemáticas el concepto de infinito ha sido motivo de conflicto ya que se acepta que el número de puntos de un segmento es infinito al igual que la cantidad de números naturales pero que no son comparables los unos con los otros precisamente por la distinción entre esos infinitos. Al igual que se sabía que los números naturales forman un subconjunto de los números reales y, claramente, los dos conjuntos tienen infinitos elementos... George Cantor, en 1895, sentó las bases de una teoría rigurosa sobre estos números locos que traían de cabeza a los matemáticos. Así surge el concepto de cardinal, que es, a grosso modo, la cantidad de elementos de un conjunto, por lo que el cardinal de los números naturales es menor que el cardinal de los números reales o el cardinal de los elementos de un segmento.

   Según Cantor, dos conjuntos A y B están relacionados únicamente si existe entre ellos una aplicación biyectiva (para conjuntos finitos, dos conjuntos están relacionados cuando tienen el mismo número de elementos). Esto significa que matemáticamente A y B son iguales, se relacionan a través de una relación binaria de equivalencia, RBE.

   Así, χ0 es el primer número infinito que se corresponde con el cardinal de los números naturales, que posee unas propiedades muy curiosas ya que, cualquier operación básica con χ0, se queda en χ0:

n + χ0 = χ0  

 n x χ0 = χ0  

 χ0 + χ0 = χ0  

χ0 x χ0 = χ0 , para cualquier n.

Para poder pasar al siguiente Aleph, χ1, es necesario realizar la potencia: χ0^χ0 = χ1

Este nuevo Aleph es el cardinal de los números reales. De forma análoga, este Aleph tiene las mismas propiedades que su antecesor y para pasar al siguiente Aleph es necesaria la potenciación: χ1^χ1 = χ2.  Este nuevo Aleph es el cardinal de todas las funciones reales de variable real (probar esto requiere aceptar la Hipótesis del Continuo, lo cual se escapa de las pretensiones de esta entrada y de este blog, como ya he comentado en otras situaciones similares).

Es claro que, siguiendo el procedimiento anterior, se puede formar la sucesión de Alephs χ0, χ1, χ2, ... χn, ... ¿Hasta dónde nos lleva esta sucesión de números infinitos? Evidentemente, hasta otros infinitos, como demostró Cantor: para cualquier sucesión de Alephs, siempre existe un número natural m de tal manera que χm, es el Aleph superior a cualquiera de la sucesión dada.

   Hasta aquí un acercamiento al Aleph y sus curiosas propiedades, sin entrar en la Hipótesis del Continuo ni en conceptos muy abstractos y complicados que, por mi formación, pude disfrutar y exhorto al lector a ahondar en estas lecturas por lo sorprendentes y profundas sobre las matemáticas del más allá porque al final de lo tangible está el Aleph pero a partir de él se abre un nuevo mundo de números que no son números.

¿Alguien Se Acuerda de la Prueba del Nueve?

    Cuando uno era un niño y cursaba la excelencia de la EGB, hace ya algún tiempo, se aprendía a pensar, a hablar, a escribir, a leer... correctamente. Nótese que, con sutileza, la frase anterior afirma que hoy en día no sucede así. Uno de esos conceptos que se explicaban, uno de tantos, que llamaba la atención era lo que traigo a esta entrada, la prueba del Nueve.

   Ésta es una técnica sencilla que permite comprobar si existe algún error al sumar, restar, multiplicar o dividir pero con una salvedad importante: no es una técnica exacta, es decir, no es infalible. Así, ¿qué grado de exactitud (error) tiene? Al tratar con el número nueve como "tope", como ahora explicaré, el error cometido es del orden de 1 / 9, esto es, el 11% de las veces que se usa, falla. Sucede lo mismo con otro tipo de técnicas análogas como la prueba del Siete, la prueba del Seis, etc... en cuyos casos los errores vienen dados por las relaciones 1 /7 = 0.14 = 14%,  1 / 6 = 0.16 = 16%, etc..., y sucesivamente, teniendo en cuenta que el menor error cometido es en el uso de 9, siendo éste, como mostré con anterioridad, del orden del 11%. ¿Cuándo se debe aplicar la prueba del Nueve? Es claro que para operaciones con números pequeños no merece el esfuerzo pero para números muy grandes nos aproxima a lo que se busca. Con `números grandes´ me refiero a, por ejemplo, la siguiente situación: En una ciudad hay varios edificios de varias plantas con varias casas que tienen todas las habitaciones llenas de estanterías llenas de libros llenos de cifras. Todas estas cifras constituyen un único número. Ahora imaginemos otra ciudad con varios edificios con varias plantas con varias casas y todas ellas con varias habitaciones llenas de estanterías que están llenas de libros que están llenos de cifras. Y todas estas cifras forman un único número. ¿Cuál sería el resultado de multiplicarlos o sumarlos o restarlos o dividirlos? y, en caso de que se pudiera afrontar con éxito tamaña empresa sin el uso de computadoras, ¿nos habríamos equivocado? Parece obvio que en esta situación el uso de alguna técnica nos podría ayudar a saber si se ha cometido algún error.

   Este método es una aplicación de la definición de "congruencia" módulo un entero, esto es, para dos números enteros cualesquiera a y b, se dice que "a es congruente módulo n (número natural) con b, y se escribe a ≡ b (mod n) cuando tienen el mismo resto al dividirlos entre n, es decir, b - a es múltiplo de n.

   La prueba del Nueve afirma que si a es un número entero cualquiera y S(a) representa la suma de sus cifras, entonces a ≡ S(a) (mod 9), es decir, a y S(a) tienen el mismo resto al dividir por 9. Insisto en que esta prueba se puede realizar con cualquier entero entre 1 y 9 pero teniendo en cuenta que el 9 es el que ofrece menor error, como se comentó más arriba. Aclarar que la suma de las cifras de un número se obtiene como en los ejemplos: a = 531, S(a) = 5 + 3 + 1 = 9  ó  a = 6945, S(a) = 6 + 9 + 4 + 5 = 24 = 2 + 4 = 6.

   Supongamos una suma de tres números enteros a, b y c, de la forma a + b = c. Si denominamos r(a), r(b) y r(c)  los restos respectivos de las divisiones de S(a), S(b) y S(c) entre 9, entonces debe verificarse que r(c) = r(r(a) + r(b)). Para una resta del tipo a - b = c  se ha de verificar r(a) = r(r(c) + r(b)). Para una multiplicación del tipo ab = c, se ha de cumplir que r(c) = r(r(a) x r(b)) y para una división del tipo a = bq + d se ha de cumplir que r(a) = r(r(b) x r(q) + r(d)).

   Algunos ejemplos podrían ser:

a x b = c;  18 x 12 =216;    r(a) = 0;  r(b) = 3;  r(c) = 0

                                          ¿r(216) = r(r(18) x r(12))? 0 = r(0 x 3) = 0    SÍ

a = b x q + d:   182 = 12 x 15 + 2;  r(a) = 2;   r(b) = 3;   r(q) = 6;   r(2) = 2

                                          ¿r(182) = r(r(12) x r(15) +r(2)?, ¿2 = r(3 x 6 + 2)? 2 = 2   SÍ

¿Cuándo falla la prueba? cuando se involucran las cifras 0 ó 9 como en los números 9, 99, 999, ... o bien 90, 900, ... y en otros casos como explico aquí abajo.

Un ejemplo de error podría ser la multiplicación 17 x 13 = 221 pero la prueba también da como buenos los resultados 230, 239, 248. Veámoslo para el 230:

Si 17 x 13 = 230 (sabemos que no es así, la multiplicación correcta arroja 221):

                            r(a) = 8;   r(b) = 4;   r(c) = 5

                          ¿r(230) = r(r(17) x r(13))? 5 = r(8 x 4) = r(32) = 5   SÍ

Para el resultado correcto c = 221: r(c) = 5

                                                       ¿r(221) = r(r(17) x r(13))? 5 = 5   SÍ

Se puede comprobar fácilmente para los restantes casos con unos sencillos cálculos y practicar con los números que contienen el 9 y el 0.

   Se ha puesto de manifiesto en esta entrada que existe un método, no infalible aunque sí aproximable, para discernir, en cierto grado (teniendo en cuenta el error que se puede cometer), si una operación aritmética se ha llevado a cabo con éxito, sobre todo para las operaciones con números grandes. Lo curioso es que, en aquellos tiempos maravillosos del colegio, el profesor no decía que la prueba fallaba el 11% de las veces pero, éramos felices en aquella inocente ignorancia.