Definiciones Matemáticas Negativas

   Muchas propiedades matemáticas se expresan por la ausencia de algo. Dos ejemplos especialmente buenos son y que me atraen mucho son el concepto de infinito y la conexión:

Infinito: un conjunto es infinito si no es finito.

Conexo: un espacio topológico es conexo si no puede separarse en dos abiertos disjuntos no vacíos.

Estas dos definiciones, sobre todo la primera, son elegantes y escuetas pero encierran una capacidad de comprensión que incluso muchos compañeros de la carrera de Matemáticas jamás ni siquiera intuyeron ya que, el concepto de infinito requiere que seas capaz de dejar que te explote la cabeza y la conexión requiere saber trabajar con la negatividad para lograr resultados posibles y ciertos.

Otros ejemplos de definiciones matemáticas negativas los muestro a partir de aquí:

1. Número irracional

Un número real es irracional si no es racional X ∈ R - Q. Es decir, no puede escribirse como p / q, con p, q números enteros y q no nulo. ¡Cuánta sencillez y elegancia! De una definición tan bella emana un teorema muy importante: el Teorema de Densidad de Q en R.

 2. Número trascendente

Un número complejo es trascendente si no es algebraico; es decir, si no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales. Por ejemplo π y e son trascendentes. Ya comenté algunas características de estos números en otras entradas de este blog que se pueden buscar sin dificultad. Ésta es una definición negativa especialmente potente: no ser solución de ninguna ecuación polinómica racional.

3. Conjunto no acotado

Un subconjunto A⊆R es no acotado superiormente si no existe un número real que sea cota superior de todos sus elementos, esto es, ∀M∈R, ∃x∈A con x>M.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales N no está acotado superiormente ya, dado un número natural, siempre se puede encontrar otro número natural que sea más grande.

4. Función discontinua

Una función es discontinua en un punto si no es continua en ese punto. En esta definición el concepto “no continua” se convierte en la existencia de un contraejemplo:

∃ε>0 ∀δ>0 ∃x :∣x−a∣<δ y ∣f(x)−f(a)∣≥ε.

La negación de una definición puede producir una estructura lógica bastante más compleja, como en este caso.

5. No convergencia de una sucesión

Una sucesión (an) no converge a L si no se cumple ∃ε>0 ∀N ∃n≥N:∣an−L∣≥ε.

Es decir, por mucho que se avance en la sucesión de términos siempre aparecen términos que se mantienen a una distancia de L tan próximos o lejanos como se quiera.

6. Conjunto cerrado

Un conjunto F es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. Con simbología se tiene F es cerrado  ⟺  X∖F es abierto.

Por tanto, la propiedad de ser cerrado se define mediante la ausencia de ciertos puntos fuera del conjunto, o mediante una propiedad de su complemento.

7. Espacio no compacto

Un espacio X es compacto si toda cubierta abierta admite un subrecubrimiento finito. Por tanto, no compacto significa que existe al menos una cubierta abierta de X de la que ninguna cantidad finita de sus elementos basta para cubrir X. Formalmente:

∃U [U es cubierta abierta de X ∧ ∀V⊆U (∣V∣<∞ ⇒⋃V≠X)].

Este es un buen ejemplo de cómo una negación puede convertirse en un objeto que demuestra el fracaso de una propiedad.

8. Grafo no conexo

Un grafo es conexo si entre cualesquiera dos vértices existe un camino. Así, un grafo es no conexo si existen dos vértices entre los cuales no existe ningún camino. Un claro ejemplo de una definición negativa muy intuitiva y visual.

9. Matriz singular

Una matriz cuadrada es singular si no es inversible, esto es, su determinante no es cero (recordemos que la inversa de una matriz se define como la inversa de la traspuesta dividida por su determinante, o la traspuesta de la inversa dividida por su determinante, por tanto, para nuestro caso, existe esa inversa si el divisor es distinto de cero).

Aquí la definición negativa (“no tiene inversa”) se transforma en una condición algebraica sencilla.

10. Número compuesto

Un número natural n>1 es compuesto si no es primo. Aquí nuevamente se puede transformar la negación:

∃a,b∈N, 1<a<n, 1<b<n, n=ab

Es decir, no ser primo equivale a tener un divisor propio.

11. Espacio métrico no separable

Un espacio métrico es separable si contiene un subconjunto denso numerable. Por tanto, es no separable si no existe ningún subconjunto numerable que sea denso.

Aquí la negación es especialmente interesante porque no significa simplemente que un conjunto concreto no sea denso, sino que ningún conjunto numerable puede conseguirlo.

12. Función no inyectiva

Una función f:A→B es inyectiva si imágenes iguales implica orígenes iguales, esto es, f(x)=f(y) ⇒ x=y.

Su negación es que no existan dos elementos distintos en el conjunto inicial tales que tengan imágenes iguales en el conjunto final, es decir, no ser inyectiva = encontrar dos elementos distintos que tengan la misma imagen. 

   

   Algunas propiedades negativas son simplemente el complemento de una propiedad positiva, mientras que otras tienen una formulación negativa mucho más rica que constituye por sí misma un concepto matemático. Por ejemplo, “irracional = no racional” o "infinito = no finito" es casi trivial. En cambio, “no compacto” implica la existencia de una propiedad no evidente y “no convergente” implica la existencia de un ε que permite demostrar que la sucesión se escapa de cualquier intento de convergencia.Se pueden encontrar ampliaciones de este tipo de estructuras en el blog y exhorto al lector a que se interese en lo positivo que es también lo negativo, como en estos casos.

Leonardo, Genio y Figura(s)

   Que Leonardo Da Vinci fue un adelantado a su tiempo y uno de los mayores genios de la historia queda fuera de toda duda. Pintor, escultor, arquitecto, diseñador, matemático, astrónomo, inventor, y un larguísimo etcétera. Sólo le faltó... vivir eternamente. Como Gauss en su campo, Mozart en su campo, Feynman en el suyo, todos héroes de la ciencia que hicieron que la humanidad avanzara hacia lo que somos hoy.

   Traigo en esta entrada algunos de los estudios en los que fijó su mirada el gran Leonardo, concretamente en las transformaciones de algunas figuras planas que encierran algunas cuestiones importantes no tan evidentes a simple vista.

Una genialidad de Leonardo en este aspecto fue establecer igualdades de figuras aparentemente desiguales y estableció de una forma simple y elegante similitudes entre figuras de líneas rectas con figuras curvilíneas como, por ejemplo, muestra en sus dibujos de triángulos rectilíneos y las Falcate (así llamó a los triángulos con lados curvados), como se observa aquí abajo: 

 

 

Si se "doblan" o curvan los lados del triángulo y se eliminan los lados rectilíneos originales, se obtiene un nuevo triángulo semejante al original de tal manera que el área del nuevo triángulo es igual a la del triángulo original, un concepto nada claro teniendo en cuenta que hallar las áreas de figuras rectilíneas son triviales de calcular en comparación con las áreas de figuras con formas curvas, en general.

   En la siguiente figura subyace una idea que tardaría siglos en nacer: el cálculo integral. Se trata de una deformación gradual de un rectángulo. La idea es sencilla: los dos rectángulos tienen la misma área ya que al dividir el rectángulo original en capas o cintas paralelas y deslizando unas sobre otras, se conserva la figura original salvo en los laterales, razonamiento parecido al de los triángulos anteriores. 

 

 

 

Se podría modelizar con una baraja de naipes, por ejemplo, deslizando las cartas entre sí. La igualdad de las áreas de ambas figuras se consigue si esas cintas o bandas fueran infinitas, que es la base del cálculo integral.

   Leonardo experimentó con un resultado ya conocido en su época que afilaba la espada para tratar de atrapar a la gran cuestión esquiva de los antiguos: la cuadratura del círculo. 

 Este resultado geométrico conocido es la lúnula de Hipócrates de Quios, cuya figura muestro a continuación:

 

La lúnula es la figura encerrada entre los dos semicírculos e Hipócrates demostró en el siglo V Antes de Cristo que el área de la lúnula es igual a la del triángulo ABC. ¡Fascinante! Relaciona áreas fáciles con áreas que involucran el número Pi, gran idea para intentar cuadrar el círculo mediante áreas conocidas sin tener que lidiar con Satanás, el número Pi. Recordemos que cuadrar el círculo significaba, en su época, construir, con regla y compás, un cuadrado con la misma área que un círculo, es decir, transformar una figura curva en otra rectilínea. La figura de arriba sí puede conseguir este extremo pero el círculo completo no. Veamos unas indicaciones de la demostración de la afirmación anterior:

Cada cateto del triángulo ABC mide a, por tanto el área del triángulo es área = 2​ ​a² /2 = ​a² . La hipotenusa es así h=a2−−−√

 Los radios de los dos arcos se relacionan entre sí por el teorema de Pitágoras, ​2 ​a² = ​ ​b² . Hay que probar que el área de la lúnula es ​a² pero esto se prueba restando al área del semicírculo el área del segmento circular blanco. Estos cálculos involucran al número Pi pero no se necesita saber su valor porque se cancela en las igualdades que aparecen, de ahí su sencillez. Sin entretenernos en cálculos largos pero muy sencillos se puede llegar al resultado buscado, es decir, ​a² .

 Y para acabar esta entrada, otra figura que Leonardo utilizó es la siguiente:

Aquí se observa un semicírculo con la mitad de un cuadrado inscrito en él de tal manera que, según se corte el cuadrado por la mitad o por una diagonal (izquierda y derecha del dibujo anterior) se tienen dos figuras con partes sombreadas aparentemente distintas pero que tienen la misma área ya que, el cuadrado inscrito en cada semicírculo es el mismo salvo que el de la derecha está rotado 90º. Así se ve un semicírculo con un rectángulo inscrito en él a la izquierda y un triángulo a la derecha. Como hemos quitado la mitad de cada cuadrado en ambas figuras, las partes blancas que quedan tienen la misma área por lo que las partes grises que quedan hasta completar los círculos han de coincidir en área aunque visualmente nuestro cerebro nos dice que no es así.

   Esta figura (cuadrados inscritos en círculos) fascinó a Leonardo, el cual jugó con las Falcate y sus formas deleitándose en diseños intrincados rellenándolos y vaciándolos (literal de sus propios manuscritos, al intercalar zonas blancas y zonas sombreadas) transformando unas figuras en otras y creando proporciones como las explicadas más arriba.

   Leonardo, ese genio de una época con una curiosidad infinita al que tanto debemos. Quién sabe lo que hubiera dado de sí este personaje si en su época hubiera existido la tecnología que existe hoy en día.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Explicaciones Técnicas Sobre el Ajedrez en Este Blog

   Esta entrada es una aclaración-corrección-ampliación sobre las entradas de ajedrez que he escrito hasta ahora ya que he pasado por alto algunas cuestiones que, en aquellas ocasiones no requerían profundizar pero que ahora creo que se pueden ampliar con algunos conceptos un poco más técnicos que pasé por alto en conciencia ya que los objetivos eran otros.

Las entradas referidas son Posiciones No Legales , Introducción a la Teoría de Juegos , Matemáticas Recreativas: Tres Problemas No Resueltos , Minuatura Matemática , y Curiosidades

   La primera idea sobre el ajedrez es poder definirlo de forma matemática para así poder ofrecer explicaciones sobre su mecanismo interno. En Teoría de Juegos, una matriz de pagos representa las ganancias o pérdidas de los jugadores dependiendo de las decisiones que adopten. Este concepto se denomina juego de suma cero. Así, si asignamos, por ejemplo:

• victoria de Blancas = +1

• tablas = 0

• derrota = −1

   Entonces el ajedrez comparte una característica esencial con estos juegos: lo que gana un jugador lo pierde el otro. Se puede definir entonces el ajedrez como un juego de suma cero con la particularidad de que en el ajedrez no tenemos una única matriz de pagos, lo cual es fascinante. 

   Cada posición del tablero podría considerarse un estado del juego, y para cada posición existiría una especie de matriz en la que las filas representan las jugadas posibles de Blancas y las columnas las posibles respuestas de Negras, y aquí es donde se disparan exponencialmente las posibilidades.

Por ejemplo, imaginemos una posición muy sencilla en la que Blancas pueden elegir entre:

1) capturar una pieza
2) dar jaque
3) desarrollar una pieza

   Entonces Negras pueden responder de varias maneras pero siempre con una idea muy simple y “brobdingnagianamente” obvia: el ajedrecista intenta maximizar el mínimo de la siguiente manera: si Blancas eligen una jugada sin conocer qué respuesta escogerá Negras, una estrategia prudente sería preguntarse, ¿cuál es el peor resultado que puedo obtener después de cada una de mis jugadas?

Y es precisamente la intuición del criterio conocido como MAXIMIN.

Y Negras harían el razonamiento contrario: ¿cuál es el máximo resultado que puedo permitir que obtenga Blancas? Lo que conduce directamente al criterio MINIMAX, que son los conceptos fundamentales utilizados en los algoritmos informáticos de búsqueda de jugadas.

   Hay que tener en cuenta que una matriz normal funciona relativamente bien cuando hay pocas opciones pero en ajedrez tendríamos una secuencia del tipo posición → varias jugadas → varias respuestas → nuevas posiciones → nuevas jugadas → … Por tanto, la matriz se convierte conceptualmente en un árbol gigantesco de decisiones.

   En estos razonamientos se basan los potentes programas informáticos como Stockfish, Leela, Dragon, etc. que exploran precisamente ese árbol, aunque no pueden recorrer todas las posibilidades hasta el final pero utilizan funciones de evaluación, poda y otras técnicas para seleccionar las ramas más prometedoras que optimizan su resultado.

    Traigo ahora un sencillo ejemplo de creación de un árbol de decisiones: partiendo de la posición inicial en un tablero 3x3 en la que mueven Blancas y teniendo en cuenta los movimientos legales del caballo se obtiene el árbol representado abajo. Supongamos que nombramos el tablero de izquierda a derecha como columnas a, b y c y filas de abajo hacia arriba 1, 2 y 3. Entonces, el caballo blanco está en la posición b1 y el negro en a2. Como mueven Blancas, los únicos posibles movimientos son a3 ó c3. Si Blancas a3 (rama izquierda del árbol de la figura) entonces Negras pueden mover c1 ó a3. En estas dos posiciones tendríamos tablas. La otra posibilidad (rama derecha) es que Blancas muevan el caballo a la posición c3 con lo que Negras tienen dos posibilidades de nuevo: CxC ganando (es decir, caballo negro mueve a c3 y se comen el caballo blanco) ó c1 con tablas. Las ramas de árbol indican que si Blancas no quieren perder el caballo entonces su único movimiento bueno sería a3 (ó c3 y esperar que Negras no hagan su jugada ganadora, algo ilógico).

 

 

 

 

   Por tanto, el ajedrez puede interpretarse como un juego de suma cero, pero su “matriz de pagos” no es una tabla fija, sino un galáctico sistema dinámico de decisiones interconectadas.

   Y aquí cabe preguntarse: ¿existe una estrategia óptima para el ajedrez? Si ambos jugadores jugaran perfectamente, el resultado teórico tendría que ser victoria de Blancas, victoria de Negras o tablas. Eso conecta la teoría de juegos con uno de los grandes problemas matemáticos del ajedrez: determinar el valor del juego.

   Lo que yo comentaba en otras entradas sobre la imposibilidad de la diagonalización de la matriz de pagos del ajedrez, frase de “andar por casa”,se convierte en esta entrada más seria y con la terminología adecuada en que el espacio de estados y decisiones del ajedrez (la matriz que comentaba) es de una dimensión tan enorme que no podemos resolverlo completamente mediante un análisis exhaustivo. Diagonalizar una matriz es, matemáticamente, convertirla en una matriz diagonal con valores no nulos sólo en la diagonal principal y el resto nulos. Es un método de construcción técnico que requiere conocimientos matemáticos que no usaré aquí para no “embarrar” este breve análisis.

   En Teoría de Juegos, si pudiéramos construir y analizar completamente la estructura de pagos del ajedrez, podríamos determinar el valor de cada posición: victoria (+1), tablas (0) o derrota (−1), suponiendo un juego perfecto. Así, para cualquier posición concreta sabríamos si existe una estrategia ganadora y cuál es. El problema, como he comentado, es que el número de posiciones y de secuencias posibles es astronómico; aunque el juego es finito (de ahí la grandeza del juego) y aunque, en principio, tiene un valor perfectamente definido, no conocemos la estrategia perfecta para el ajedrez desde cualquier posición.

En conclusión, que el valor de una posición exista matemáticamente no significa que sepamos calcularlo.

   La excepción fundamental la constituyen los finales con pocas piezas ya que existen las llamadas TABLEBASES o bases de datos de finales con las que se han resuelto todas las posiciones con un número limitado de piezas, esto es, dadas ciertas piezas en el tablero en la fase final del juego, se puede saber qué bando gana o si hay tablas (es una cuestión teórica que puede cambiar si un contrincante mueve erróneamente, lo cual se descarta) como las tablas SYZYGY para finales con 6 piezas, por ejemplo. Pero cuando aumentamos el número de piezas, el espacio de posibilidades crece enormemente y deja de ser viable el uso de dichas tablas.

   Los programas de ajedrez lo que hacen es explorar una parte del árbol y estiman las posiciones que encuentran mediante funciones de evaluación. Así, la Teoría de Juegos nos dice que el juego tiene una solución en principio pero la complejidad computacional explica por qué conocer esa solución completa es otra cuestión muy diferente.

   Para finalizar y resumir esta entrada-aclaración de entradas previas, se podría comprimir todo lo que he expuesto aquí diciendo que el resultado de cada posición está determinado en un sentido matemático, pero que exista una solución no significa que seamos capaces de encontrarla. Bello juego éste, llamado ajedrez...