Leonardo, Genio y Figura(s)

   Que Leonardo Da Vinci fue un adelantado a su tiempo y uno de los mayores genios de la historia queda fuera de toda duda. Pintor, escultor, arquitecto, diseñador, matemático, astrónomo, inventor, y un larguísimo etcétera. Sólo le faltó... vivir eternamente. Como Gauss en su campo, Mozart en su campo, Feynman en el suyo, todos héroes de la ciencia que hicieron que la humanidad avanzara hacia lo que somos hoy.

   Traigo en esta entrada algunos de los estudios en los que fijó su mirada el gran Leonardo, concretamente en las transformaciones de algunas figuras planas que encierran algunas cuestiones importantes no tan evidentes a simple vista.

Una genialidad de Leonardo en este aspecto fue establecer igualdades de figuras aparentemente desiguales y estableció de una forma simple y elegante similitudes entre figuras de líneas rectas con figuras curvilíneas como, por ejemplo, muestra en sus dibujos de triángulos rectilíneos y las Falcate (así llamó a los triángulos con lados curvados), como se observa aquí abajo: 

 

 

Si se "doblan" o curvan los lados del triángulo y se eliminan los lados rectilíneos originales, se obtiene un nuevo triángulo semejante al original de tal manera que el área del nuevo triángulo es igual a la del triángulo original, un concepto nada claro teniendo en cuenta que hallar las áreas de figuras rectilíneas son triviales de calcular en comparación con las áreas de figuras con formas curvas, en general.

   En la siguiente figura subyace una idea que tardaría siglos en nacer: el cálculo integral. Se trata de una deformación gradual de un rectángulo. La idea es sencilla: los dos rectángulos tienen la misma área ya que al dividir el rectángulo original en capas o cintas paralelas y deslizando unas sobre otras, se conserva la figura original salvo en los laterales, razonamiento parecido al de los triángulos anteriores. 

 

 

 

Se podría modelizar con una baraja de naipes, por ejemplo, deslizando las cartas entre sí. La igualdad de las áreas de ambas figuras se consigue si esas cintas o bandas fueran infinitas, que es la base del cálculo integral.

   Leonardo experimentó con un resultado ya conocido en su época que afilaba la espada para tratar de atrapar a la gran cuestión esquiva de los antiguos: la cuadratura del círculo. 

 Este resultado geométrico conocido es la lúnula de Hipócrates de Quios, cuya figura muestro a continuación:

 

La lúnula es la figura encerrada entre los dos semicírculos e Hipócrates demostró en el siglo V Antes de Cristo que el área de la lúnula es igual a la del triángulo ABC. ¡Fascinante! Relaciona áreas fáciles con áreas que involucran el número Pi, gran idea para intentar cuadrar el círculo mediante áreas conocidas sin tener que lidiar con Satanás, el número Pi. Recordemos que cuadrar el círculo significaba, en su época, construir, con regla y compás, un cuadrado con la misma área que un círculo, es decir, transformar una figura curva en otra rectilínea. La figura de arriba sí puede conseguir este extremo pero el círculo completo no. Veamos unas indicaciones de la demostración de la afirmación anterior:

Cada cateto del triángulo ABC mide a, por tanto el área del triángulo es área = 2​ ​a² /2 = ​a² . La hipotenusa es así h=a2−−−√

 Los radios de los dos arcos se relacionan entre sí por el teorema de Pitágoras, ​2 ​a² = ​ ​b² . Hay que probar que el área de la lúnula es ​a² pero esto se prueba restando al área del semicírculo el área del segmento circular blanco. Estos cálculos involucran al número Pi pero no se necesita saber su valor porque se cancela en las igualdades que aparecen, de ahí su sencillez. Sin entretenernos en cálculos largos pero muy sencillos se puede llegar al resultado buscado, es decir, ​a² .

 Y para acabar esta entrada, otra figura que Leonardo utilizó es la siguiente:

Aquí se observa un semicírculo con la mitad de un cuadrado inscrito en él de tal manera que, según se corte el cuadrado por la mitad o por una diagonal (izquierda y derecha del dibujo anterior) se tienen dos figuras con partes sombreadas aparentemente distintas pero que tienen la misma área ya que, el cuadrado inscrito en cada semicírculo es el mismo salvo que el de la derecha está rotado 90º. Así se ve un semicírculo con un rectángulo inscrito en él a la izquierda y un triángulo a la derecha. Como hemos quitado la mitad de cada cuadrado en ambas figuras, las partes blancas que quedan tienen la misma área por lo que las partes grises que quedan hasta completar los círculos han de coincidir en área aunque visualmente nuestro cerebro nos dice que no es así.

   Esta figura (cuadrados inscritos en círculos) fascinó a Leonardo, el cual jugó con las Falcate y sus formas deleitándose en diseños intrincados rellenándolos y vaciándolos (literal de sus propios manuscritos, al intercalar zonas blancas y zonas sombreadas) transformando unas figuras en otras y creando proporciones como las explicadas más arriba.

   Leonardo, ese genio de una época con una curiosidad infinita al que tanto debemos. Quién sabe lo que hubiera dado de sí este personaje si en su época hubiera existido la tecnología que existe hoy en día.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Explicaciones Técnicas Sobre el Ajedrez en Este Blog

   Esta entrada es una aclaración-corrección-ampliación sobre las entradas de ajedrez que he escrito hasta ahora ya que he pasado por alto algunas cuestiones que, en aquellas ocasiones no requerían profundizar pero que ahora creo que se pueden ampliar con algunos conceptos un poco más técnicos que pasé por alto en conciencia ya que los objetivos eran otros.

Las entradas referidas son Posiciones No Legales , Introducción a la Teoría de Juegos , Matemáticas Recreativas: Tres Problemas No Resueltos , Minuatura Matemática , y Curiosidades

   La primera idea sobre el ajedrez es poder definirlo de forma matemática para así poder ofrecer explicaciones sobre su mecanismo interno. En Teoría de Juegos, una matriz de pagos representa las ganancias o pérdidas de los jugadores dependiendo de las decisiones que adopten. Este concepto se denomina juego de suma cero. Así, si asignamos, por ejemplo:

• victoria de Blancas = +1

• tablas = 0

• derrota = −1

   Entonces el ajedrez comparte una característica esencial con estos juegos: lo que gana un jugador lo pierde el otro. Se puede definir entonces el ajedrez como un juego de suma cero con la particularidad de que en el ajedrez no tenemos una única matriz de pagos, lo cual es fascinante. 

   Cada posición del tablero podría considerarse un estado del juego, y para cada posición existiría una especie de matriz en la que las filas representan las jugadas posibles de Blancas y las columnas las posibles respuestas de Negras, y aquí es donde se disparan exponencialmente las posibilidades.

Por ejemplo, imaginemos una posición muy sencilla en la que Blancas pueden elegir entre:

1) capturar una pieza
2) dar jaque
3) desarrollar una pieza

   Entonces Negras pueden responder de varias maneras pero siempre con una idea muy simple y “brobdingnagianamente” obvia: el ajedrecista intenta maximizar el mínimo de la siguiente manera: si Blancas eligen una jugada sin conocer qué respuesta escogerá Negras, una estrategia prudente sería preguntarse, ¿cuál es el peor resultado que puedo obtener después de cada una de mis jugadas?

Y es precisamente la intuición del criterio conocido como MAXIMIN.

Y Negras harían el razonamiento contrario: ¿cuál es el máximo resultado que puedo permitir que obtenga Blancas? Lo que conduce directamente al criterio MINIMAX, que son los conceptos fundamentales utilizados en los algoritmos informáticos de búsqueda de jugadas.

   Hay que tener en cuenta que una matriz normal funciona relativamente bien cuando hay pocas opciones pero en ajedrez tendríamos una secuencia del tipo posición → varias jugadas → varias respuestas → nuevas posiciones → nuevas jugadas → … Por tanto, la matriz se convierte conceptualmente en un árbol gigantesco de decisiones.

   En estos razonamientos se basan los potentes programas informáticos como Stockfish, Leela, Dragon, etc. que exploran precisamente ese árbol, aunque no pueden recorrer todas las posibilidades hasta el final pero utilizan funciones de evaluación, poda y otras técnicas para seleccionar las ramas más prometedoras que optimizan su resultado.

    Traigo ahora un sencillo ejemplo de creación de un árbol de decisiones: partiendo de la posición inicial en un tablero 3x3 en la que mueven Blancas y teniendo en cuenta los movimientos legales del caballo se obtiene el árbol representado abajo. Supongamos que nombramos el tablero de izquierda a derecha como columnas a, b y c y filas de abajo hacia arriba 1, 2 y 3. Entonces, el caballo blanco está en la posición b1 y el negro en a2. Como mueven Blancas, los únicos posibles movimientos son a3 ó c3. Si Blancas a3 (rama izquierda del árbol de la figura) entonces Negras pueden mover c1 ó a3. En estas dos posiciones tendríamos tablas. La otra posibilidad (rama derecha) es que Blancas muevan el caballo a la posición c3 con lo que Negras tienen dos posibilidades de nuevo: CxC ganando (es decir, caballo negro mueve a c3 y se comen el caballo blanco) ó c1 con tablas. Las ramas de árbol indican que si Blancas no quieren perder el caballo entonces su único movimiento bueno sería a3 (ó c3 y esperar que Negras no hagan su jugada ganadora, algo ilógico).

 

 

 

 

   Por tanto, el ajedrez puede interpretarse como un juego de suma cero, pero su “matriz de pagos” no es una tabla fija, sino un galáctico sistema dinámico de decisiones interconectadas.

   Y aquí cabe preguntarse: ¿existe una estrategia óptima para el ajedrez? Si ambos jugadores jugaran perfectamente, el resultado teórico tendría que ser victoria de Blancas, victoria de Negras o tablas. Eso conecta la teoría de juegos con uno de los grandes problemas matemáticos del ajedrez: determinar el valor del juego.

   Lo que yo comentaba en otras entradas sobre la imposibilidad de la diagonalización de la matriz de pagos del ajedrez, frase de “andar por casa”,se convierte en esta entrada más seria y con la terminología adecuada en que el espacio de estados y decisiones del ajedrez (la matriz que comentaba) es de una dimensión tan enorme que no podemos resolverlo completamente mediante un análisis exhaustivo. Diagonalizar una matriz es, matemáticamente, convertirla en una matriz diagonal con valores no nulos sólo en la diagonal principal y el resto nulos. Es un método de construcción técnico que requiere conocimientos matemáticos que no usaré aquí para no “embarrar” este breve análisis.

   En Teoría de Juegos, si pudiéramos construir y analizar completamente la estructura de pagos del ajedrez, podríamos determinar el valor de cada posición: victoria (+1), tablas (0) o derrota (−1), suponiendo un juego perfecto. Así, para cualquier posición concreta sabríamos si existe una estrategia ganadora y cuál es. El problema, como he comentado, es que el número de posiciones y de secuencias posibles es astronómico; aunque el juego es finito (de ahí la grandeza del juego) y aunque, en principio, tiene un valor perfectamente definido, no conocemos la estrategia perfecta para el ajedrez desde cualquier posición.

En conclusión, que el valor de una posición exista matemáticamente no significa que sepamos calcularlo.

   La excepción fundamental la constituyen los finales con pocas piezas ya que existen las llamadas TABLEBASES o bases de datos de finales con las que se han resuelto todas las posiciones con un número limitado de piezas, esto es, dadas ciertas piezas en el tablero en la fase final del juego, se puede saber qué bando gana o si hay tablas (es una cuestión teórica que puede cambiar si un contrincante mueve erróneamente, lo cual se descarta) como las tablas SYZYGY para finales con 6 piezas, por ejemplo. Pero cuando aumentamos el número de piezas, el espacio de posibilidades crece enormemente y deja de ser viable el uso de dichas tablas.

   Los programas de ajedrez lo que hacen es explorar una parte del árbol y estiman las posiciones que encuentran mediante funciones de evaluación. Así, la Teoría de Juegos nos dice que el juego tiene una solución en principio pero la complejidad computacional explica por qué conocer esa solución completa es otra cuestión muy diferente.

   Para finalizar y resumir esta entrada-aclaración de entradas previas, se podría comprimir todo lo que he expuesto aquí diciendo que el resultado de cada posición está determinado en un sentido matemático, pero que exista una solución no significa que seamos capaces de encontrarla. Bello juego éste, llamado ajedrez...

La Matemática de los Sellos (II)

  Continuando con la entrada La Matemática de los Sellos (I) y completando lo allí descrito, traigo en esta ocasión el desarrollo de la matemática detrás de las perforaciones originales de la filatelia, dejando para aquella entrada el maravilloso mundo de los Perfins y otros.

   Un sello no solo es un objeto histórico, también es un objeto tangible geométrico y tecnológico. La perforación o dentado de las líneas de puntos para separar los sellos es un problema matemático de resistencia de materiales y geometría. Así, el número de perforaciones tiene un patrón fijo y es el más eficiente para que el papel se corte perfectamente sin romperse. Se define el grado de dentado como una escala por cada 2 centímetros de longitud del lateral del sello o del impreso en el que están los sellos. Para ello se usa una herramienta especial llamada odontómetro de la siguiente manera:

1. Se coloca el borde dentado del sello sobre las líneas o puntos de la escala de la herramienta.

2. Se mueve el sello hacia arriba o hacia abajo a lo largo de las distintas marcas de medición.

3. Hay que buscar la coincidencia cuando las marcas de la herramienta encajen exactamente en el centro de cada orificio del sello.

4. Se lee el número impreso al lado de esa línea exacta y ese es el grado de dentado del sello, como puede ser 11, 14 ó  13 1/2 ó el que corresponda.

El siguiente paso es buscar el formato: se anota primero el número del lado horizontal y luego el del lado vertical, como por ejemplo, 13 x 12,5. Si solo se da un número significa que los 4 lados del sello tienen la misma cantidad de dientes por cada 2 centímetros. 

Su importancia radica en diferenciar emisiones puesto que ayuda a saber el año exacto o la tirada del sello, ya que una misma imagen pudo emitirse con diferentes tipos de perforaciones, y en el valor del sello porque un dentado raro o perfecto puede hacer que una pieza valga más mientras unos dientes rotos o cortados pueden restar valor comercial.

    Por su parte, las máquinas de perforación pueden ser de 3 tipos diferentes:

-- Dentado en línea: perfora una sola línea de agujeros a la vez. Al cruzarse las líneas horizontales y verticales las esquinas de los sellos suelen quedar imperfectas o con dentado desigual.

-- Dentado de peine: se perforan 3 lados de un sello simultáneamente en forma de "U" (o peine) y se avanza fila por fila logrando esquinas perfectas y homogéneas.

-- Dentado de caja o de bloque: se perforan los 4 lados de una hoja entera de sellos de una sola vez. Todas las esquinas y bordes quedan así uniformes.

Así que ya sabes, la próxima vez que mires un sello observa sus esquinas y podrás deducir con qué tipo de máquina fue perforado.

A continuación mostraré distintos tipos de dentado obviando el habitual y conocido:

       
 

 --La primera imagen es otra pequeña joya limpia (sin cancelar) de mi colección, siguiendo con la entrada anterior de mostrar mis piezas y procurar no basarme en fotos de internet. Se trata de un Áero (un fascinante submundo de la filatelia, los sellos aéreos) y es un no-sello ya que es una viñeta postal, es decir, si valor postal, de los años 1945-1955. Su característico borde dentado es triangular y muy curioso a la vez que delicado, de ahí sus faltas en algunos bordes. Al no ser un sello como tal, no se usó una máquina de perforación como las descritas arriba. 

--La segunda pieza también limpia es espectacular y cuenta una historia muy interesante: procede de la República de Weimar en el periodo de hiperinflación de 1922-1923. Se puede leer su valor facial con sobrecarga de 50 millones de marcos alemanes. Efectivamente, la cifra es esa. Posee un borde también de dentado triangular que también peca de fragilidad pero ilustra lo que vengo a traer a esta entrada.

 

 

 

 

 --La primera pieza muestra un diseño limpio (sin cancelar salvo una leve mancha a la derecha que no corresponde a matasellos) de Gran Bretaña con distintas marcas. Este diseño específico en color "Rojo Royal Mail" posee unas ranuras de seguridad en forma de "U" y los óvalos laterales en el dentado y se emitió originalmente el 3 de enero de 2013. No tiene valor facial ya que solo muestra 1ST (primera clase) que solo iba estampado con el rojo "Royal Mail". Las ranuras de seguridad (Security Slits) son esos cortes curvos internos que se añadieron a partir de 2009 para evitar que los usuarios despegaran sellos usados de los sobres para reutilizarlos.
Este sello ya no es válido para enviar cartas ya que el servicio postal británico, Royal Mail, retiró de la circulación todos los sellos definitivos clásicos ("everyday stamps") que no tuvieran un código de barras digital impreso a un costado y el periodo definitivo para usarlos terminó el 31 de julio de 2023. Como curiosidad, si hoy en día se pega este sello en una carta dentro del Reino Unido, el correo lo considerará inválido y le cobrará una penalización económica al destinatario. Por esta razón, si tienes este sello guardado y está completamente nuevo (sin usar, como éste), puedes enviarlo a Royal Mail mediante su programa gratuito "Stamp Swap Out Scheme". Te lo cambiarán de forma gratuita por una versión moderna equivalente de primera clase que sí incluye el código de barras obligatorio. Me lo pensaré.

--La segunda imagen muestra lo que, a simple vista no parece un sello postal por su extraño dentado y diseño interior pero sí lo es y, concretamente es un sello de máquina expendedora (conocido en filatelia como Automatenmarke o ATM). Es del año 1991 y fue emitido en Alemania Occidental por la Deutsche Bundespost (el servicio postal federal tradicional alemán). A diferencia de los sellos tradicionales impresos con un valor fijo, estas etiquetas venían en rollos en blanco con el diseño del fondo y el logotipo de la corneta postal. El valor (en este caso, 100 pfennigs) se imprimía en la parte superior mediante una aguja de matriz de puntos directamente en la máquina expendedora en el momento de la compra. Las perforaciones semicirculares arriba y abajo son típicas de este formato para facilitar el corte dentro de la máquina expendedora. Otra curiosidad más.

Y abajo otro diseño con otro dentado diferente, esta vez un dentado ondulado:

 

 --El sello es de Suiza del año 2004 y muestra la famosa silla Landi. Es de envío urgente como reza la parte inferior. Su dentado es curioso aunque no extraño ya que cumple los estándares descritos más arriba con la ventaja de eliminar la posibilidad de las esquinas rotas aunque con el inconveniente de no poder identificar el tipo de perforación utilizado (en línea, de peine o de caja).

    También se puede hablar de las matemáticas o ciencia en general, como temática de los sellos: por ejemplo, los conmemorativos de la figura de Einstein con su famosa fórmula o Gauss en las tiradas alemanas, ilustraciones del teorema de Pitágoras, etc. Mostraré aquí dos piezas que poseo que son pocas pero importantes:

 

                   

 

 

--El primer sello es español del año 1986 y corresponde al astrónomo Al-Zarqali (Azarquiel) del Al-Ándalus y se aprecia en su diseño un astrolabio.

--La segunda imagen es de la DDR (Alemania Oriental) de 1981 se emitión con motivo del 25 aniversario de la muerte del físico alemán Barkhausen y muestra su rostro y una explicación gráfica de su "efecto Barkhausen" sobre campos magnéticos.

   También se pueden relacionar los sellos con el ajedrez, el cual me apasiona como he mostrado en multitud de entradas como Posiciones No Legales , Introducción a la Teoría de Juegos , Matemáticas Recreativas: Tres Problemas No Resueltos , Miniatura Matemática o Curiosidades  Abajo muestro unas piezas relativas a ello:

 

 

--Las imágenes muestras diseños alegres de piezas de ajedrez con trasfondo del tablero, por poner como ejemplo de la relación del ajedrez y los sellos. Corresponden a Vietnam y son del año 1983.

   Y para acabar esta entrada comentaré el uso de las teselaciones que se pueden describir como la eficiencia del espacio y el almacenamiento del diseño interior, es decir, cómo cubrir una superficie con formas geométricas sin dejar huecos. Y pongo un ejemplo aquí abajo: 

 

 --Este sello limpio (sin cancelar) de Yugoslavia del año 1968 representa la "Semana de la Cruz Roja". De hecho, se puede apreciar si nos fijamos, una cruz roja debajo de un patrón de hexágonos regulares que cubren una amplia superficie del diseño pero sin sobrecargarlo mostrando así una especie de trampantojo geométrico de estilo sobrio y elegante, como correspondía a los países del este de esa época. Tenemos aquí un ejemplo de una teselación elegante.

   Y hasta aquí esta segunda parte de una de mis pasiones unida a las matemáticas y mi juego preferido. Espero que se haya disfrutado leyéndola tanto como yo creándola.