miércoles, 10 de julio de 2024

Y al Final, El Aleph (Borges Ya lo Sabía...)

   Se suele identificar al cielo como un ente tangible al referirnos a él como "qué bonito está hoy el cielo", "cielo despejado",  "las nubes están flotando en el cielo", etc. A la vez, el cielo es un ente inmaterial y difuso ya que no se sabe dónde comienza el cielo, cuánto espacio ocupa o qué es. Esto podría ser lo más parecido a identificar alguna forma de infinito en una acepción muy general. Mi opinión sobre el infinito es su no-existencia en cuanto a que no tiene un valor lógico en el universo en el que nos encontramos pero, aparte de mi vana opinión, el concepto de infinito matemático es muy interesante porque escapa a la comprensión verdadera de su significado y su concepto como sustantivo es muy difícil de entender. Cabe resaltar que la definición de infinito es todo aquello que no es finito, es decir, se basa en la definición rigurosa de otro sustantivo, en este caso, el concepto de finito. Ya he tratado este tema en otras entradas como Números Excepcionales IUn Poco de Infinito ó El Número de Graham . Mi Querido Jorge Luis Borges, a quien le gustaban mucho las matemáticas, lo describió como sólo él hubiera podido hacerlo. También se pueden encontrar en este blog algunas entradas sobre uno de mis escritores favoritos.

   Aquí surge entonces el infinito como un número que es un no-número, es decir, es un número que no se puede expresar como una sucesión de cifras que termina en una cifra, de ahí que para designar un número como de infinitos factores se le asigne al final de la última cifra los puntos suspensivos "...". Pero, el infinito, ¿es único?, si hay varios, ¿son todos igual de "grandes"? Si hay varios, ¿cómo se ordenan?

   La matemática está preparada para dar respuestas a todas esas preguntas. Así surge el primer infinito, el más "pequeño", llamado Aleph, más concretamente, "Aleph sub 0 ", que, simbólicamente, se denomina que es el cardinal del conjunto de los números naturales.

   Es claro que en toda la historia de las matemáticas el concepto de infinito ha sido motivo de conflicto ya que se acepta que el número de puntos de un segmento es infinito al igual que la cantidad de números naturales pero que no son comparables los unos con los otros precisamente por la distinción entre esos infinitos. Al igual que se sabía que los números naturales forman un subconjunto de los números reales y, claramente, los dos conjuntos tienen infinitos elementos... George Cantor, en 1895, sentó las bases de una teoría rigurosa sobre estos números locos que traían de cabeza a los matemáticos. Así surge el concepto de cardinal, que es, a grosso modo, la cantidad de elementos de un conjunto, por lo que el cardinal de los números naturales es menor que el cardinal de los números reales o el cardinal de los elementos de un segmento.

   Según Cantor, dos conjuntos A y B están relacionados únicamente si existe entre ellos una aplicación biyectiva (para conjuntos finitos, dos conjuntos están relacionados cuando tienen el mismo número de elementos). Esto significa que matemáticamente A y B son iguales, se relacionan a través de una relación binaria de equivalencia, RBE.

   Así,  es el primer número infinito que se corresponde con el cardinal de los números naturales, que posee unas propiedades muy curiosas ya que, cualquier operación básica con , se queda en :

n +  =   

 n x  =   

  +  =   

 x  =  , para cualquier n.

Para poder pasar al siguiente Aleph, , es necesario realizar la potencia: ^ =

Este nuevo Aleph es el cardinal de los números reales. De forma análoga, este Aleph tiene las mismas propiedades que su antecesor y para pasar al siguiente Aleph es necesaria la potenciación: ^ =   Este nuevo Aleph es el cardinal de todas las funciones reales de variable real (probar esto requiere aceptar la Hipótesis del Continuo, lo cual se escapa de las pretensiones de esta entrada y de este blog, como ya he comentado en otras situaciones similares).

Es claro que, siguiendo el procedimiento anterior, se puede formar la sucesión de Alephs , , , ... , ... ¿Hasta dónde nos lleva esta sucesión de números infinitos? Evidentemente, hasta otros infinitos, como demostró Cantor: para cualquier sucesión de Alephs, siempre existe un número natural m de tal manera que , es el Aleph superior a cualquiera de la sucesión dada.

   Hasta aquí un acercamiento al Aleph y sus curiosas propiedades, sin entrar en la Hipótesis del Continuo ni en conceptos muy abstractos y complicados que, por mi formación, pude disfrutar y exhorto al lector a ahondar en estas lecturas por lo sorprendentes y profundas sobre las matemáticas del más allá porque al final de lo tangible está el Aleph pero a partir de él se abre un nuevo mundo de números que no son números.

martes, 2 de julio de 2024

¿Alguien Se Acuerda de la Prueba del Nueve?

    Cuando uno era un niño y cursaba la excelencia de la EGB, hace ya algún tiempo, se aprendía a pensar, a hablar, a escribir, a leer... correctamente. Nótese que, con sutileza, la frase anterior afirma que hoy en día no sucede así. Uno de esos conceptos que se explicaban, uno de tantos, que llamaba la atención era lo que traigo a esta entrada, la prueba del Nueve.

   Ésta es una técnica sencilla que permite comprobar si existe algún error al sumar, restar, multiplicar o dividir pero con una salvedad importante: no es una técnica exacta, es decir, no es infalible. Así, ¿qué grado de exactitud (error) tiene? Al tratar con el número nueve como "tope", como ahora explicaré, el error cometido es del orden de 1 / 9, esto es, el 11% de las veces que se usa, falla. Sucede lo mismo con otro tipo de técnicas análogas como la prueba del Siete, la prueba del Seis, etc... en cuyos casos los errores vienen dados por las relaciones 1 /7 = 0.14 = 14%,  1 / 6 = 0.16 = 16%, etc..., y sucesivamente, teniendo en cuenta que el menor error cometido es en el uso de 9, siendo éste, como mostré con anterioridad, del orden del 11%. ¿Cuándo se debe aplicar la prueba del Nueve? Es claro que para operaciones con números pequeños no merece el esfuerzo pero para números muy grandes nos aproxima a lo que se busca. Con `números grandes´ me refiero a, por ejemplo, la siguiente situación: En una ciudad hay varios edificios de varias plantas con varias casas que tienen todas las habitaciones llenas de estanterías llenas de libros llenos de cifras. Todas estas cifras constituyen un único número. Ahora imaginemos otra ciudad con varios edificios con varias plantas con varias casas y todas ellas con varias habitaciones llenas de estanterías que están llenas de libros que están llenos de cifras. Y todas estas cifras forman un único número. ¿Cuál sería el resultado de multiplicarlos o sumarlos o restarlos o dividirlos? y, en caso de que se pudiera afrontar con éxito tamaña empresa sin el uso de computadoras, ¿nos habríamos equivocado? Parece obvio que en esta situación el uso de alguna técnica nos podría ayudar a saber si se ha cometido algún error.

   Este método es una aplicación de la definición de "congruencia" módulo un entero, esto es, para dos números enteros cualesquiera a y b, se dice que "a es congruente módulo n (número natural) con b, y se escribe a ≡ b (mod n) cuando tienen el mismo resto al dividirlos entre n, es decir, b - a es múltiplo de n.

   La prueba del Nueve afirma que si a es un número entero cualquiera y S(a) representa la suma de sus cifras, entonces a ≡ S(a) (mod 9), es decir, a y S(a) tienen el mismo resto al dividir por 9. Insisto en que esta prueba se puede realizar con cualquier entero entre 1 y 9 pero teniendo en cuenta que el 9 es el que ofrece menor error, como se comentó más arriba. Aclarar que la suma de las cifras de un número se obtiene como en los ejemplos: a = 531, S(a) = 5 + 3 + 1 = 9  ó  a = 6945, S(a) = 6 + 9 + 4 + 5 = 24 = 2 + 4 = 6.

   Supongamos una suma de tres números enteros a, b y c, de la forma a + b = c. Si denominamos r(a), r(b) y r(c)  los restos respectivos de las divisiones de S(a), S(b) y S(c) entre 9, entonces debe verificarse que r(c) = r(r(a) + r(b)). Para una resta del tipo a - b = c  se ha de verificar r(a) = r(r(c) + r(b)). Para una multiplicación del tipo ab = c, se ha de cumplir que r(c) = r(r(a) x r(b)) y para una división del tipo a = bq + d se ha de cumplir que r(a) = r(r(b) x r(q) + r(d)).

   Algunos ejemplos podrían ser:

a x b = c;  18 x 12 =216;    r(a) = 0;  r(b) = 3;  r(c) = 0

                                          ¿r(216) = r(r(18) x r(12))? 0 = r(0 x 3) = 0   

a = b x q + d:   182 = 12 x 15 + 2;  r(a) = 2;   r(b) = 3;   r(q) = 6;   r(2) = 2

                                          ¿r(182) = r(r(12) x r(15) +r(2)?, ¿2 = r(3 x 6 + 2)? 2 = 2  

¿Cuándo falla la prueba? cuando se involucran las cifras 0 ó 9 como en los números 9, 99, 999, ... o bien 90, 900, ... y en otros casos como explico aquí abajo.

Un ejemplo de error podría ser la multiplicación 17 x 13 = 221 pero la prueba también da como buenos los resultados 230, 239, 248. Veámoslo para el 230:

Si 17 x 13 = 230 (sabemos que no es así, la multiplicación correcta arroja 221):

                            r(a) = 8;   r(b) = 4;   r(c) = 5

                          ¿r(230) = r(r(17) x r(13))? 5 = r(8 x 4) = r(32) = 5  

Para el resultado correcto c = 221: r(c) = 5

                                                       ¿r(221) = r(r(17) x r(13))? 5 = 5  

Se puede comprobar fácilmente para los restantes casos con unos sencillos cálculos y practicar con los números que contienen el 9 y el 0.

   Se ha puesto de manifiesto en esta entrada que existe un método, no infalible aunque sí aproximable, para discernir, en cierto grado (teniendo en cuenta el error que se puede cometer), si una operación aritmética se ha llevado a cabo con éxito, sobre todo para las operaciones con números grandes. Lo curioso es que, en aquellos tiempos maravillosos del colegio, el profesor no decía que la prueba fallaba el 11% de las veces pero, éramos felices en aquella inocente ignorancia.

miércoles, 26 de junio de 2024

Pero, ¿Qué es Una Igualdad?

   Los matemáticos, ingenieros, físicos y los técnicos en general, siempre estamos hablando de ecuaciones, lo cual implica hablar de igualdades y, en menor medida, de desigualdades (en este caso se habla de inecuaciones) pero cabe preguntarse cuál es el origen de estas similitudes entre proposiciones, es decir, qué es una igualdad y para ello hemos de preguntarle a la lógica proposicional, que es la base de todo avance científico y la base del lenguaje matemático.

   Con rigor, una igualdad " = " es una relación binaria que verifica las tres condiciones para ser una relación binaria de equivalencia, RBE, que son:

1) Reflexiva: para cualquier elemento x de un conjunto, se cumple x = x.

2) Simétrica: para todo par de elementos x e y de un conjunto (simbólicamente representado por xy), se cumple x = y -> y = x que se lee "si x es igual a y entonces y es igual a x".

3) Transitiva: para cualesquiera 3 elementos de un conjunto, x, y, z, se cumple (x = y -> (x = z -> y = z)) que se lee "si x es igual a y entonces se cumple, si x es igual a z entonces y es igual a z".

Esta RBE cumple 2 axiomas importantes:

1) Para cualquier elemento x, se cumple x = x.

2) Axioma de sustitutividad de los idénticos (enunciado por Leibniz): xy [x = y -> P(x, x1, x2, ..., xn ) <-> P(y, x1, x2, ..., xn )] siendo P un predicado o proposición cualquiera o, dicho de otra manera, lo que se denomina la "identidad de los indiscernibles", esto es,P[(P(x) <-> P(y)) -> x = y]. Esto significa que dos objetos que no pueden ser eliminados por ninguna propiedad deben considerarse idénticos.

   La igualdad puede considerarse como una doble implicación ( <=> ) siendo la implicación un conector proposicional de forma que,PQ, siendo P y Q dos proposiciones, P -> Q se lee "P implica Q" ó "si P entonces Q". La definición rigurosa de la implicación viene dada por su Tabla de Verdad:

Si P verdadero y Q verdadero, entonces P -> Q verdadero

Si P falso y Q verdadero, entonces P -> Q verdadero

Si P verdadero y Q falso, entonces P -> Q falso

Si P falso y Q falso, entonces P -> Q verdadero

Esta tabla da pie a las paradojas, de las cuales he hablado ya largo y tendido en este blog en diferentes entradas, ya que éstas cumplen que una fórmula falsa implica toda fórmula y que una fórmula verdadera es implicada por toda fórmula. 

   El caso de las paradojas es el que se obtiene de la llamada implicación material. Simplemente comentar en estos renglones finales que también existe la implicación estricta y la implicación formal que quedan a la curiosidad del lector.

Hasta aquí unas breves reseñas sobre la esencia de la matemática en sí y de toda construcción lógica que pretenda satisfacer las cuestiones técnicas y avanzar en la ciencia. La igualdad en una ecuación es pura lógica.