Distancia Entre Dos Puntos ... Con Obstáculos Entre Ellos

   Supongamos que se pretende construir un túnel, ya sea ferroviario o no, entre dos poblaciones, o un puente que atraviese un río o una depresión del terreno, o conocer a qué distancia está un punto de otro pero no poder medirla físicamente, en definitiva, conectar dos puntos por una línea recta teniendo en cuenta que entre ellos existe algún tipo de obstáculo. En todos estos supuestos se desea saber la distancia que existe entre dos puntos en línea recta. Hoy traigo aquí la respuesta a esta duda sin más que aplicar la teoría de la resolución de triángulos planos.

    Por ejemplo, supongamos que entre dos puntos, “a” y “b” existe una montaña y se quiere conocer la distancia que hay entre ellos, llamémosla “x”, para construir un túnel que los una en línea recta, como en el primer ejemplo del comienzo de esta entrada. Estos puntos a y b están conectados a otro punto “c” y se conocen las distancias entre ellos de tal modo que entre a y c hay 375 metros y entre b y c hay 315 metros. Las rectas “ac” y “bc” se cortan en c y forman un ángulo de 45º. Aplicando el Teorema del Seno, se obtiene x/ sin45º = 315/ sinA = 375/ sinB, donde A y B son los ángulos opuestos a los lados a y b respectivamente. 

Tenemos así el sistema:

xsinA = 315sin45º

xsinB = 375sin45º

Es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas pero se sabe que los ángulos A y B están relacionados por la ecuación A + B + 45º = 180º  A = 135º – B.

Así, sinA = sin(135º – B) = sin 135ºcosB – sinBcos135º, donde hemos empleado la fórmula   sin(P – Q) = sinPcosQ – sinQcosP.

El sistema anterior queda pues, de la forma:

x(sin135ºcosB – sinBcos135º) = 315sin45º

xsinB = 375sin45º

   Después de realizar algunas operaciones y simplificar, teniendo en cuenta la relación básica de la trigonometría plana sin²f + cos²g = 1 y que sin45º = 2 /2, se obtienen los valores sinB =  0,9999928, por lo que B  (aproximado) 1,567 rad   89º. De estas dos soluciones nos quedamos con la positiva porque -89º = 271º, que no cumple la relación A + B + 45º = 180º.

Despejando, A  46º  x = (2/ 2) (315/ sin46º)  x  495 metros.

   No he querido ir “arrastrando” decimales para no entorpecer el objetivo de estas cuentas que no era otro que mostrar un método para calcular esas distancias rectas que se antojan complicadas al existir esos obstáculos que brinda la naturaleza y que dificultan el desarrollo de las infraestructuras tan necesarias para el hombre avanzado.

¿Sabes Contar?

   Soy matemático pero no hace falta serlo para entender absolutamente todo lo referente a esta entrada, quizás la primera de este blog que no contenga nada técnico de las entradas matemáticas que lo componen, salvo una breve mención que, si no se quiere, se puede pasar por alto, y es la referida al número más grande que se puede construir. Más abajo insertaré el enlace correspondiente para esas mentes inquietas que tengan curiosidad.

    Si se realizara una pequeña encuesta por la calle planteando a los ciudadanos la sencilla cuestión "¿sabes contar?" la respuesta sería, con un porcentaje rozando la totalidad, afirmativa y, ante esa respuesta (contundente) afirmativa se podría plantear la cuestión natural que se desprende de ella, que sería "¿hasta qué número?", con la que comenzarían las dudas. Mi respuesta a la primera pregunta es "depende" y a la segunda es "no lo sé".

   Estoy planteando una cuestión muy sencilla obviando cualquier otro sistema numérico que no sea el decimal de los números naturales, es decir, del 1 en adelante, 1, 2, 3, 4... Si se preguntara inicialmente sobre el sistema binario, cabría esperar solo unas pocas personas que respondieran afirmativamente y cualquier otro sistema numérico planteado sería, quizás, satanizado al momento.

   A un niño en edad escolar se le puede planetar la pregunta inicial y responderá afirmativamente, y ante la segunda cuestión, probablemente nos dirá, con alegría, un número. Hace tiempo planteé esta idea a algunos niños y el esquema es el mencionado. Por ejemplo, ese número es el 100. Aquí, yo les planteaba "¿me puedes decir el número anterior a ese?" Pensando y pensando y calculando hacia delante desde el 1, como les han enseñado en el colegio, al cabo de un rato, la respuesta era "99". Muy bien. Los numeros negativos son otro cantar...

   Ahora yo exhorto a cualquiera a que, si sabe contar, despeje la duda sobre cuál es el número anterior a, por ejemplo, ""ocho cuatrillones de quintillones"". Ahí queda eso. Se le podría plantear a, incluso, universitarios técnicos a punto de licenciarse. La mente humana no es consciente de semejante número y, los más avezados, rápidamente cogerían papel y bolígrafo para quitarse el estigma de no saber responder en poco tiempo. Por cierto, aquí dejo el enlace al número más grande que se puede construir, como comenté al comienzo: el número de Graham

 Vamos a obtener ese número que se pide, usando papel, bolígrafo y algunos minutos, por supuesto:

Es sabido que 1 millón es un 1 seguido de 6 ceros, 1 billón es 1 millón de millones, es decir, un 1 seguido de 12 ceros y con este mecanismo se tiene que 1 cuatrillón es un 1 seguido de 24 ceros y 1 quintillón es un 1 seguido de 30 ceros, esto es, 1 millón de cuatrillones.

Tenemos pues, para lograr 1 cuatrillón de quintillones, la operación matemática básica del producto de potencias de la misma base (en nuestro caso, 10) que se sabe que es poner la misma base y sumar los exponente que son, en nuestro caso, 30 y 24, con lo que 1 cuatrillón de quintillones es un 1 seguido de 54 ceros, y nuestro número planteado es 8 veces:

8 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, por tanto, se nos pide la hercúlea tarea de nombrar el número anterior, es decir, nombrar el número:

7 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999.

Siete trillones, novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve billones, novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve millones, novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

   Saber contar no es pues, ni fácil ni evidente, a pesar de lo que se pueda suponer, así que hay que cuidarse de las respuestas rápidas ante preguntas sencillas.

Cables. Su Punto de Equilibrio

    Hoy en día estamos rodeados de cables y líneas de alta tensión, que adornan (ironía) las fachadas de los edificios y los montes cercanos a las urbes. Es frecuente que algunos de estos cables pasen de un edificio a otro atravesando calles y azoteas, ante lo cual se puede plantear alguna duda como la que expongo en esta entrada.

    Supongamos que se desea lanzar un cable de un edificio a otro y se desea conocer cuál es su punto más bajo, que siempre existe por el propio peso del cable, por mucho que se intente tensar en los extremos (hay que hacer notar que este punto más bajo no tiene por qué coincidir con el punto medio de la longitud del cable, lo cuál sucede solo cuando las alturas de los extremos son iguales). Quizás se desea saber este punto más bajo del cable por motivos de seguridad para que no afecte a los vecinos, o por atravesar una calle con arbolado, obstáculos o un sin fin de situaciones. Para ello es interesante conocer ese punto (recordemos aquí que en la ecuación de este tipo de cables están involucrados el seno y el coseno hiperbólicos). Voy a plantear con números concretos y a modo de ejemplo esta situación y, para simplificar los cálculos, lo plantearé en el plano, es decir, con dos coordenadas en lugar de tres, así es más sencillo y más visual.

Supongamos que tenemos un cable de 15 metros de longitud suspendido por su propio peso de dos puntos fijos, por ejemplo, A(-7, 9) y B(5, 6). Vamos a calcular el punto de equilibrio que es el punto más bajo que alcanza el cable. Como no están a la misma altura, este punto de equilibrio no coincidirá con el punto medio entre A y B, que es M(-1, 15/2).

Sea P(x, y) el punto genérico que representa la posición del punto de equilibrio. Se sabe que

PA + PB es constante, por tanto, el lugar geométrico es una elipse. El punto de equilibrio se alcanza cuando el punto genérico P está más próximo al eje OX (si planteamos el problema en el plano, como hemos supuesto). Es claro que, ,en esta posición, la recta tangente a la elipse es paralela al eje OX. Vamos a sustituir todos estos datos en las ecuaciones correspondientes:

-La ecuación de la elipse de focos A y B y valor 2a = 15 es [(x + 7)² +(y – 9)²] + [(x – 5)² +(y – 6)²] = 15 que, simplificando, se obtiene 9x² + 24y² + 8xy – 42x – 352y + 849 = 0.

-La ecuación de la recta tangente en la posición más baja es, por ser paralela al eje OX, de la forma y = k. Si esta ecuación ha de ser tangente a la elipse, su intersección ha de ser un punto doble. Al sustituir se obtiene 9x² + 2(4k -21)x + 24k² -352k+ 849 = 0.

Para que esta ecuación tenga una raíz doble, su discriminante ha de ser nulo, por lo que (4k – 21)² - 9(24k² -352k + 849) = 0  k² -15k + 36 = 0 cuyas raíces son k₁ = 3, k₂ =12.

Así pues, las rectas tangentes paralelas al eje OX son y = 3; y = 12. Como y = 12 es mayor que cualquiera de las ordenadas de los puntos A y B, la descartamos por ser la tangente superior y nos quedamos con la recta tangente y = 3 que es la tangente inferior, la que nos interesa.

Ahora, simplemente sustituyendo en la ecuación de la elipse se tiene x = 1, por lo que el punto de equilibrio pedido es P(1, 3). Destacar que no coincide con el punto medio M calculado más arriba.

    Con este sencillo ejemplo hemos calculado un punto importante en un tendido eléctrico como es el punto central de equilibrio, un punto interesante en la maraña de cables urbanitas.