jueves, 20 de noviembre de 2025

¿Nos Movemos?

    El estudio clásico del movimiento es la rama más antigua de la física. La mecánica de partículas en cualquiera de sus formas siempre ha sido la base del estudio de cualquier signo científico, ya sea desde el más sencillo movimiento rectilíneo uniforme, pasando por el movimiento curvilíneo, con fuerzas que actúan sobre la materia puntual o sin ellas, la mecánica de fluidos e incluso el más moderno movimiento relativo con respecto al tiempo y la velocidad. En cualquiera de sus diferentes ramas, la mecánica siempre ha fascinado a la humanidad.

   La respuesta a la pregunta que planteo en el título es rotundamente sí, sin condiciones. Y esta respuesta siempre ha sido clara para todos los científicos y mentes pensante de la historia. La pregunta que se desprende pues es, ¿por qué nos movemos? Y ésta es una cuestión nada trivial de responder. Cabría otra cuestión más a partir de esta última que sería ¿el movimiento es siempre el mismo en todas las circunstancias? La respuesta ahora sí parece más clara como una respuesta negativa ya que el movimiento de una masa puntual depende de las fuerzas que se le apliquen (si las hubiere), de su estado inicial (si parte del reposo o con cierta inercia), del medio en el que se encuentre, de si el observador está también en las mismas hipótesis que la masa puntual (es decir, en qué sistema de referencia se encuentra) o si se haya a nivel microscópico o con una velocidad cercana a la velocidad de la luz (física relativista).

   Centrándome en la segunda cuestión planteada en el párrafo anterior, no fue hasta hace poco más de un siglo que se sentaron las bases para tratar de responder semejante rompecabezas y, como casi siempre, se basó en la curiosidad de un científico ajeno a la física. 

   El notable Robert Brown observó lo que hoy en día se conoce como movimiento browniano al percatarse de la trayectoria errática y caótica en el agua de unas microscópicas partículas con las que trabajaba este botánico, unos minúsculos fragmentos de polen de ciertas plantas. En sus propias palabras: "mientras examinaba la forma de esas partículas en el agua, observé que muchas de ellas estaban evidentemente en movimiento... Después de observaciones repetidas frecuentemente, me convencí de que estos movimientos no procedían de corrientes en el líquido ni de su evaporación gradual, sino que eran algo propio de las mismas partículas". Este movimiento tan misterioso y desconcertante fue explicado décadas después por Albert Einstein. Brown se pregunto si esto era debido a algunas características especiales de los pólenes utilizados por lo que experimentó con infinidad de pólenes de distintas plantas y concluyó que todos esos gránulos, si son lo suficientemente pequeños, producían en el agua trayectorias permanentes e irregulares al estar suspendidos en el agua. Incluso realizó pruebas con polvo no orgánico llegando a la misma conclusión. Lo más fascinante de esta experiencia es el carácter, al parecer, eterno de este movimiento.

   La explicación llegó con la teoría cinética de la materia (la cinemática del movimiento) que, de forma breve, dice lo siguiente, para este caso concreto: las partículas de polen, que son visibles a través del microscopio, chocan incesantemente por las muchísimo más pequeñas partículas que componen el agua. Y ésto independientemente de la "calidad" del microscopio utilizado para la observación, desde uno de andar por casa hasta el más potente del mundo, de ahí que la explicación al movimiento browniano se sustenta en la teoría cinética y no en la simple observación.

   Hay que destacar que este movimiento particular se da si los gránulos observados son lo suficientemente pequeños ya que la intensidad de estos choques o bombardeos no es la misma en todas direcciones. El movimiento browniano se puede extrapolar a las moléculas de cualquier elemento material. Este movimiento "que se ve" depende de otro "que no se ve" y ese movimiento invisible (el de las moléculas de agua) se produce porque esas moléculas tienen cierta masa y velocidad, de ahí que el estudio del movimiento browniano sea isomorfo al estudio de la masa de las moléculas y, por ende, a su movimiento (ya que si tiene energía cinética, tiene velocidad).

   La cantidad de información que se extrae de un experimento de movimiento browniano es enorme debido precisamente a su naturaleza caótica y ha sido ampliamente estudiado. Las moléculas de agua tienen energía ya que son capaces de mover partículas más grandes (de polen, siguiendo nuestra referencia), por lo que poseen masa. Esta masa de una molécula de agua se puede calcular fácilmente utilizando la constante de Avogadro, cuestión química que obviaré en esta entrada. Y este resultado se puede extrapolar a cualquier molécula de cualquier materia que, partiendo de la base que tiene energía, tiene movimiento. Así, el universo microscópico se puede transformar en macroscópico en términos de energía y, por tanto, de movimiento, y todo esto salió a la luz gracias a un botánico curioso.

 

 

 

domingo, 9 de noviembre de 2025

Un Número de Gödel

   El Teorema de Incompletitud de Gödel demostró que todo sistema complejo bien organizado axiomáticamente posee afirmaciones que no se pueden probar usando las reglas establecidas de dicho sistema. Algo tan sencillo de anunciar y enunciar convierte a cualquier sistema ordenado (el lenguaje, la física, las matemáticas, nuestra propia vida,...) en algo que tiene fallos, por muy complejo y sistemático que sea. 

Es para que explote la cabeza... a quien tenga cabeza para pensar, claro.

   Para intentar que este resultado se pueda entender de forma clara, Kurt Gödel ideó una forma de expresar cualquier proposición lógica de forma numérica y, además, no de forma única, y así nació la sencilla numeración de Gödel. Teniendo en cuenta las propiedades de los números, se podían averiguar las propiedades de cualquier sistema ordenado complejo y poder, de esta manera, probar sus hipótesis. Además, y como dato importante, es un sistema bidireccional, es decir, una vez asignado un número a una expresión lógica, se puede deshacer el camino y, si nos dan ese número, obtener la expresión lógica de la que emana. Para ilustrar este sistema de numeración en esta entrada, utilizaré el propio título de ésta de forma clara y sencilla. Remarco que las reglas que asignaré aquí abajo no son únicas, por lo que exhorto al lector a que experimente.

La idea básica es asignar números a los signos lógicos que sirven para "escribir" expresiones lógicas, como son los símbolos de  “¬” (la negación cuando precede), “∧” (la conjunción "y"), "V" (la conjunción "o"), cada símbolo de paréntesis, etc. Así las expresiones lógicas proposicionales se convierte en secuencias de números. Consiste esta numeración en dos partes:

1) El método que he elegido (repito, no es único) es asignar a cada carácter del lenguaje las normas que describo en adelante para así poder construir de esta manera la frase "un número de Gödel" de forma numérica:

Las letras de la "a" a la "z" se asignan a los números enteros del "2" al "27". El número "1" lo reservo para el espacio entre palabras.

Las vocales acentuadas (si las hubiera en la expresión a convertir en un número), que son á, é, í. ó, ú, se asignan, en este orden, a los números del 28 al 33 incluidos.

Las mayúsculas de la "A" a la "Z" se asignan de los números 100 al 125 incluidos (en nuestro caso, la "G" tiene asignado el número 107).

La letra "ö" de nuestro caso, le asigno el número 50, por ejemplo.

Claramente la numeración de Gödel es una función unívoca de un sistema, llamémosle S en los números naturales (cabe recordar que el cero no es un número natural).

Por todo ello, la frase que da título a esta entrada, "un número de Gödel" sigue la secuencia de números 23, 16, 1, 16, 30, 15, 6, 21, 17, 1, 5, 6, 1, 107, 150, 5, 6, 14.

2) Para acabar de establecer el número de Gödel de esta o de cualquier frase, se convierte esta secuencia de números en un producto de números primos de la forma N = 2a1 3a2 5a3 7a4 ... donde cada "ai" es uno de esos números de la secuencia anterior. Notar que el "cero" no puede ser ninguno de los elementos de N porque, en ese caso, todo el producto sería cero.

 Obtenemos así el (enorme) número N = 618847155411288609562558878624953577325331451

576429954093452042240472892642019235729638564209019771757782

898400274292462204982216081505668597122025297807561919979070641773788481286515987599

879787118406994242389528680693791984337037161183000996358139064481139816794020770199

548360384172133642606012440772471450307205895886992833476754957857912476358105163088

7389498494952456539707311551628063708620495042116232448242050935029760.

   Como comenté con anterioridad, si nos dan este número tal cual y sabiendo las reglas de transformación anteriores, simplemente (ojo, que no es tan simple) tenemos que descomponerlo en factores primos y obtendríamos la secuencia de asignación que construimos antes y podríamos descubrir la proposición lógica de la que proviene que, en nuestro caso ya sabemos que es el título de la entrada.

He querido traer aquí un sistema de numeración diferente y curioso que pone de manifiesto la importancia de los números para el ser humano y todo lo que lo rodea y las interacciones con los entes físicos (el universo) y abstractos (las reglas que rigen el universo).

 

 

 

lunes, 27 de octubre de 2025

Los Números en Mesopotamia

    Hace algunos años escribí unas entradas referidas a los sistemas de numeración de algunas civilizaciones notables de la historia del ser humano y, en especial, la numeración de los mayas. Invito al lector a acudir a aquéllas en los enlaces Sistemas de Numeración y Sistema Vigesimal: la Fascinante Numeración Maya .

   Ahora retomo aquellas líneas con un sistema de numeración cuanto menos curioso: el sistema de la civilización de Mesopotamia cuya base era el número 60 o sexagesimal, peculiar éste pero muy práctico ya que es divisible por muchos de sus números inferiores: 60 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 y 30, obviando, evidentemente, la unidad y él mismo. La cuestión práctica es que se reduce de forma considerable la necesidad de recurrir a las fracciones. Los mesopotámicos vivieron hace varios milenos antes de nuestra era y desarrollaron su sociedad entorno a los ríos Éufrates y Tigris.

   Siguiendo con el desarrollo anterior, el número 60  también proporcionaba un múltiplo para contar el número de días de un año solar, aproximadamente, ya que 360 = 6 x 60 y así se optó por dividir el círculo en 360 veces, lo que hoy conocemos como grados. Con esta solución se podía saber en qué día del año se estaba y cuántos faltaban para el siguiente ciclo, puesto que el Sol avanzaba una vez o grado al día. Se conserva en la actualidad un magnífico documento (una tablilla de barro) llamado Plimpton 322 que ilustra los conocimientos matemáticos de los mesopotámicos: eran conocidos el cuadrado de un número, el cubo, la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Un destacado gobernante llamado Gudea que reinó sobre el 2000 AC, fue representado en diferentes estatuillas que se conservan hoy en día, en las que aparecen grabadas unas reglas graduadas, lo que da pie a pensar que se obtuvo un gran avance en matemáticas durante su gobierno.

   Una sociedad avanzada como la mesopotámica realizaba operaciones mercantiles, con lo que se progresó en la concesión de préstamos con intereses y en la aritmética enfocada al comercio y, derivado de este comercio, las pesas y medidas de la materia prima tuvieron que unificarse y de esta unificación nació la hegemonía de Babilonia en todas las transacciones de Mesopotamia. Había unidades de medida para la longitud (el codo), el volumen (el ka), el peso (la mina) y la capacidad (el sar) y todos los múltiplos y submúltiplos se calculaban sobre la base sexagesimal.

   Como curiosidad, cabe destacar que los mesopotámicos conocían que en el firmamento había una serie de estrellas fijas y otras que se movían con relativa frecuencia siguiendo unas órbitas peculiares: lo que hoy en día conocemos como los planetas. Estos planetas se podían ver a simple vista y eran Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno que, junto con el Sol y la luna suman 7. Así se dispuso que este número conformaría una semana. En el recorrido estelar de los planetas, éstos atravesaban determinados grupos de estrellas a los que se atribuían formas animales. Estos grupos de estrellas son los que denominamos signos del zodíaco y son 12 y en cada una de estas agrupaciones el Sol permanecía aproximadamente 1 mes. Así pues, 1 año era el tiempo que el Sol tardaba en estar 1 vez en cada uno de esos grupos estelares. 

   Cada civilización obtuvo pues un sistema numerario perfectamente válido y que permitió avanzar técnicamente y socialmente para poder conseguir comprender un poco mejor su entorno y, por qué no, el firmamento.