Claude Bragdon: La Cuarta Dimensión Matemática

    El proceso por el que el ser humano puede "imaginar" las dimensiones se basa en el movimiento a partir de un simple punto: si se traslada se configura una línea que si se traslada configura un plano, que si se traslada configura un espacio, que si se traslada configura... ¿qué sigue?, ¿hasta dónde? Comienza así la mente humana a no poder "imaginar" las figuras que hasta entonces sí podía hacer de forma clara y empírica. A partir de la tercera dimensión la cosa se complica y comienza la verdadera matemática abstracta. Claude Bragdon llegó a la cuarta dimensión y pudo explicar, a su manera y de forma sencilla, qué sucede cuando ya no podemos imaginar. De mis libros he rescatado una referencia a Karl Pearson que afirma que la superficie, la línea y el punto son "resultados de procesos mentales que pueden iniciarse, pero cuyos límites nunca pueden ser alcanzados en la percepción; concepciones que no se corresponden con experiencia alguna posible". Impresionante y rotunda descripción.

   La idea obsesiva de Bragdon se basa en la trascendencia hacia algo superior, no bastan 3 dimensiones, el ser humano quiere y necesita más en su búsqueda, cómo no, del que está por encima de todo y todos. El fantástico libro Flatland de Edwin Abbott (lo recomiendo encarecidamente) contiene ya esta idea aunque de un modo más simple: de un mundo de 2 dimensiones se intenta llegar a uno de 3. Y esto caló en Bragdon. De hecho, en su ensayo Man The Square introduce la idea de que Cristo existe en la Tierra en forma de cubo desdoblado.

   En A Primer of Higher Space introduce estos conceptos: los 3 primero imaginables, el siguiente, a gusto del lector:

""LÍNEA: figura de una dimensión producida por la traslación de un punto. Contiene un número infinito de puntos y la limitan 2 de ellos.

CUADRADO: Figura de 2 dimensiones producida por la traslación de una línea en una dirección perpendicular a la misma. A una distancia igual a su longitud contiene un número infinito de líneas y lo limitan 4 líneas y 4 puntos.

CUBO: figura de 3 dimensiones producida por la traslación de un cuadrado en una dirección perpendicular a su propio plano. A una distancia igual a su lado contiene un número infinito de cuadrados y lo limitan 6 superficies, 12 aristas y 8 puntos.

TETRAHIPERCUBO: figura de 4 dimensiones producida por la traslación de un cubo en la dirección (no imaginable) de una cuarta dimensión. Ese movimiento se extiende a una distancia igual a una arista del cubo y su dirección es perpendicular a las otras 3 dimensiones. Como cada una de esas 3 es perpendicular a las otras 2, el tetrahipercubo contiene un número infinito de cubos y lo limitan 8 cubos, 24 cuadrados, 12 aristas y 16 puntos.""

   Después de estas definiciones, la cuarta dimensión es una nueva forma de movimiento, como comenté al principio, pero en un medio desconocido aunque relacionada con los medios y los movimientos conocidos. Así, en las dimensiones que están por encima de la nuestra el movimiento está restringido, no es libre como en las 3 primeras.

Podría hablar más de este genial arquitecto pero me quedo con lo expuesto hasta ahora porque creo que es una explicación sencilla y asequible del mundo que nos rodea y de cómo se pueden generalizar conceptos "imaginables" a cuestiones abstractas y creer así, por tanto, que el hombre es mejor que el propio hombre.

 

El Eterno Retorno (A Borges Esta Vez, No a Nietzsche)

    Hoy, día 1 de un nuevo año, qué más da uno cualquiera, vuelvo a Jorge Luis Borges. Que este gran señor es uno de mis autores favoritos no tiene mérito porque lo es. Y digo más, quien lea a Borges y no se le conmueva el alma es porque no la tiene.

   Borges y las matemáticas están íntimamente enraizados: le encantaban y las entendía y las describía en sus relatos y novelas como ningún otro podría hacer. Aquí he escrito varias entradas refiriéndome a Borges, algunas antiguas, y se pueden ir leyendo en los enlaces de El Aleph No Se Puede Engordar , Borges y la Ecuación de Schrödinger , El Vulgar Día del Libro , Sit Tibi, Ubicumque Pax (la entrada más leída de este blog, simple curiosidad), Y al Final, El Aleph (Borges Ya lo Sabía...) y Somos Simples Números .

   En esta ocasión traigo el problema magníficamente explicado, como no podía ser de otra manera, de un conjunto que no se contiene a sí mismo contado como una paradoja o fábula titulada "El Mentiroso". Espero que sea disfrutada.

""En algunas versiones, el héroe de esta primera dificultad (con la que jugaron los griegos) es el abderitano Demócrito, falsificador de esmeraldas, disolvedor de piedras, antiguo ablandador del marfil y hombre que se arrancó los ojos en un jardín para no distraerse, en otras, el candiota Epiménides, varón que se dedicó a la longevidad, postergando la muerte hasta el decurso de 289 años. Demócrito de Abdera en el mar Egeo, Epiménides de Creta en el Mediterráneo: elija mi lector aquel sonido que más le guste. El sofisma (con la persona y la ciudad que quieran) es este.

Demócrito sostiene que los abderitanos son mentirosos pero Demócrito es abderitano, luego Demócrito miente; luego, no es cierto que los abderitanos sean mentirosos, luego Demócrito no miente; luego, es verdad que los abderitanos son mentirosos; luego Demócrito miente; luego, no es cierto que los abderitanos sean mentirosos; luego, Demócrito no miente; et sic de caeteris hasta la peligrosa longevidad o hasta la apresurada investidura de un chaleco de fuerza.""

¿Nos Movemos?

    El estudio clásico del movimiento es la rama más antigua de la física. La mecánica de partículas en cualquiera de sus formas siempre ha sido la base del estudio de cualquier signo científico, ya sea desde el más sencillo movimiento rectilíneo uniforme, pasando por el movimiento curvilíneo, con fuerzas que actúan sobre la materia puntual o sin ellas, la mecánica de fluidos e incluso el más moderno movimiento relativo con respecto al tiempo y la velocidad. En cualquiera de sus diferentes ramas, la mecánica siempre ha fascinado a la humanidad.

   La respuesta a la pregunta que planteo en el título es rotundamente sí, sin condiciones. Y esta respuesta siempre ha sido clara para todos los científicos y mentes pensante de la historia. La pregunta que se desprende pues es, ¿por qué nos movemos? Y ésta es una cuestión nada trivial de responder. Cabría otra cuestión más a partir de esta última que sería ¿el movimiento es siempre el mismo en todas las circunstancias? La respuesta ahora sí parece más clara como una respuesta negativa ya que el movimiento de una masa puntual depende de las fuerzas que se le apliquen (si las hubiere), de su estado inicial (si parte del reposo o con cierta inercia), del medio en el que se encuentre, de si el observador está también en las mismas hipótesis que la masa puntual (es decir, en qué sistema de referencia se encuentra) o si se haya a nivel microscópico o con una velocidad cercana a la velocidad de la luz (física relativista).

   Centrándome en la segunda cuestión planteada en el párrafo anterior, no fue hasta hace poco más de un siglo que se sentaron las bases para tratar de responder semejante rompecabezas y, como casi siempre, se basó en la curiosidad de un científico ajeno a la física. 

   El notable Robert Brown observó lo que hoy en día se conoce como movimiento browniano al percatarse de la trayectoria errática y caótica en el agua de unas microscópicas partículas con las que trabajaba este botánico, unos minúsculos fragmentos de polen de ciertas plantas. En sus propias palabras: "mientras examinaba la forma de esas partículas en el agua, observé que muchas de ellas estaban evidentemente en movimiento... Después de observaciones repetidas frecuentemente, me convencí de que estos movimientos no procedían de corrientes en el líquido ni de su evaporación gradual, sino que eran algo propio de las mismas partículas". Este movimiento tan misterioso y desconcertante fue explicado décadas después por Albert Einstein. Brown se pregunto si esto era debido a algunas características especiales de los pólenes utilizados por lo que experimentó con infinidad de pólenes de distintas plantas y concluyó que todos esos gránulos, si son lo suficientemente pequeños, producían en el agua trayectorias permanentes e irregulares al estar suspendidos en el agua. Incluso realizó pruebas con polvo no orgánico llegando a la misma conclusión. Lo más fascinante de esta experiencia es el carácter, al parecer, eterno de este movimiento.

   La explicación llegó con la teoría cinética de la materia (la cinemática del movimiento) que, de forma breve, dice lo siguiente, para este caso concreto: las partículas de polen, que son visibles a través del microscopio, chocan incesantemente por las muchísimo más pequeñas partículas que componen el agua. Y ésto independientemente de la "calidad" del microscopio utilizado para la observación, desde uno de andar por casa hasta el más potente del mundo, de ahí que la explicación al movimiento browniano se sustenta en la teoría cinética y no en la simple observación.

   Hay que destacar que este movimiento particular se da si los gránulos observados son lo suficientemente pequeños ya que la intensidad de estos choques o bombardeos no es la misma en todas direcciones. El movimiento browniano se puede extrapolar a las moléculas de cualquier elemento material. Este movimiento "que se ve" depende de otro "que no se ve" y ese movimiento invisible (el de las moléculas de agua) se produce porque esas moléculas tienen cierta masa y velocidad, de ahí que el estudio del movimiento browniano sea isomorfo al estudio de la masa de las moléculas y, por ende, a su movimiento (ya que si tiene energía cinética, tiene velocidad).

   La cantidad de información que se extrae de un experimento de movimiento browniano es enorme debido precisamente a su naturaleza caótica y ha sido ampliamente estudiado. Las moléculas de agua tienen energía ya que son capaces de mover partículas más grandes (de polen, siguiendo nuestra referencia), por lo que poseen masa. Esta masa de una molécula de agua se puede calcular fácilmente utilizando la constante de Avogadro, cuestión química que obviaré en esta entrada. Y este resultado se puede extrapolar a cualquier molécula de cualquier materia que, partiendo de la base que tiene energía, tiene movimiento. Así, el universo microscópico se puede transformar en macroscópico en términos de energía y, por tanto, de movimiento, y todo esto salió a la luz gracias a un botánico curioso.