La idea básica del
resultado que presento en esta entrada es muy simple e intuitiva: estando en el
plano habitual euclídeo (puede ser una hoja de papel donde la distancia más
corta entre dos puntos es la línea recta), se trata de transformar un polígono
en otro que tenga la misma área y en un número finito de pasos. Por ejemplo, un
cuadrado pintado en el papel puede cortarse en trozos de tal manera que,
reordenados, obtengamos un triángulo con la misma área. Si extendemos esta idea
tan intuitiva y visual a la forma general de los polígonos obtenidos a partir
de otros cortados en trozos de forma finita y con simples traslaciones y
rotaciones, nombramos este razonamiento como el Teorema de
Wallace-Bolyai-Gerwien aunque se le conoce más comúnmente como el Teorema de
Bolyai-Gerwein.
Lo que más me gusta
de este teorema es que es totalmente constructivo, es decir, se engloba en la
axiomática de Zermelo-Fraenkel sin el uso del Axioma de Elección, un axioma tan
potente como polémico que nos disgusta a, por desgracia, pocos matemáticos (una
prueba de su uso está en mi famosa entrada de la Solución al Rompecabezas Más Difícil (famosa por el número de
visitas que ha recibido en este blog)).
La pregunta clave
es, “¿es realmente un resultado tan fácil y generalizable a cualquier dimensión
y cualquier geometría?”, “¿en qué estructuras matemáticas se mantiene su
veracidad y en cuáles no?”. Pues bien, este es un problema abierto que, incluso
en dos dimensiones, tiene sus excepciones, como el caso de intentar la famosa
`Cuadratura del Círculo´ mediante este teorema, es decir, cortando con tijeras
en un número finito de pasos un círculo dibujado en un papel e intentar formar
un triángulo que tenga la misma área. Para los más atrevidos ya les adelanto
que no se puede… en la práctica, en la teoría, sí, aunque el uso y abuso del
Axioma de Elección en la demostración teórica, es apabullante, así como la
complejidad de utilizar para ello conjuntos que llamamos los matemáticos `no
medibles´, es decir, no existe una medida aplicable al conjunto, ya sea ésta de
Lebesgue o cualquier otra que podamos definir para dicho conjunto.
Aunque he esbozado
algunos conceptos matemáticos, no entraré en cuestiones más profundas sobre
estos resultados porque, como ya he dicho en más de una ocasión en este blog,
no pretendo aburrir al lector sino despertar su curiosidad y, más si cabe,
sobre cosas que se pueden ver como las figuras dibujadas en un papel y el uso
de tijeras, reglas y compás. Con todo y con ello, exhorto al lector a buscar
información, si le interesa, sobre la axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF), el
axioma de elección, la medida de Lebesgue, etc.
Plantearle este
resultado a cualquier niño de mente despierta es como plantearle el contenido
de las entradas Pinta y Colorea o Si Dios Existe Se Llama Pi: puede que se desate la mente de un futuro genio a la
vez que descubre cosas curiosas sobre las matemáticas con un simple papel, regla, un
lápiz, unas tijeras y un compás, ¡quién sabe!
