Jugando Con Dados

   Algo tan sencillo pero tan visual como puede ser una figura geométrica, nos puede dar muchísima comprensión de conceptos abstractos como generalizar el número de caras, vértices o aristas de un poliedro de “n” lados (Teorema de EULER, C + V = A + 2 donde C son las caras, V los vértices y A las aristas), asignar números a las caras y jugar con las sumas, diferencias u otras operaciones y la razón está en la percepción visual de la figura en 3 dimensiones y, por tanto, la más fácil comprensión de complejos aspectos de álgebra y sus aplicaciones. Por ello, en esta entrada vamos a jugar con los dados, entendiendo como éstos a los formados por figuras cúbicas. No me refiero al cálculo de probabilidades ni a diseñar experimentos estocásticos, si no a la observación de los dados estáticos.

   Lo primero que hay que plantearse con los dados es cuál es la asignación de los números en las caras y cómo se relacionan entre sí, porque no existe una única forma para tal asignación, y esto es muy importante, según las cuestiones que se pretendan dilucidar. Por supuesto, dejo aparte los llamados “dados no transitivos” y otras figuras de dados, usaré pues los dados de toda la vida, normales y corrientes, con números del 1 al 6 cada uno en una cara.

   Dichas asignaciones corresponden a lo que, algebraicamente, se denomina el Grupo de Permutaciones, absolutamente VITAL en la Teoría de Grupos, pero no entraré en detalles complejos y muy abstractos. La idea fundamental de este tipo de construcciones consiste en permutar, es decir, `mover´ cosas manteniendo sus propiedades básicas. Para nuestro caso concreto de un dado y los números que pondremos en sus caras, sería simplemente aplicar cierta regla para esas asignaciones.

   Como ejemplo básico, voy a tratar dos tipos de dados con (casi) la misma asignación de números en sus caras:

-Dado 1: supongamos que vemos el dado desde una arista, localizando así 3 números como los de la figura:

 

El orden aquí es como sigue: 1 arriba, 2 izquierda-abajo, 3 derecha-abajo. Según esta configuración inicial, las caras opuestas tienen asignados, en este orden, el 6 opuesto al 1, el 5 opuesto al 2 y el 4 opuesto al 3. Se consigue de esta manera la permutación respecto a lo que vemos, que nos lleva el 1 al 2, el 2 al 3 y el 3 al 1 y, las caras ocultas llevan el 4 al 5, el 5 al 6 y el 6 al 4. Se construye así la permutación compuesta A₁₂₃B₄₅₆ que asigna esos movimientos de traslación.

-Dado 2: supongamos ahora que vemos el mismo dado pero cambiando la localización de 2 y el 3 como muestra la figura:

   Aquí, el 1 sigue arriba pero ahora el 2 está a la derecha-abajo y el 3 a la izquierda-abajo. Con esta composición, las caras que no se ven tienen asignados los números opuestos como sigue: el 5 opuesto al 1, el 6 opuesto al 3 y el 4 opuesto al 2. En este caso, obtenemos la permutación A’₁₃₂B’₄₆₅ que no es la misma que en el dado anterior porque el orden influye.

   Con respecto a las caras ocultas que permanecen debajo de la cara más arriba (para el dado 1, la opuesta al 1 es el 6 y así sucesivamente según giremos el dado, e idem para el dado 2), también se les puede asignar unas permutaciones, siendo éstas las C₁₆D₂₅E₃₄ para el dado 1 (es decir, el opuesto al 1 es el 6 y viceversa, el opuesto al 2 es el 5 y viceversa y el opuesto al 3 es el 4 y viceversa) y para el dado 2, C’₁₅D’₂₄E’₃₆ (explicación parecida a la del dado 1). Manejando los dados es muy sencillo ver las composiciones anteriores y es muy intuitivo incluso para enseñar el concepto “permutación de números” a personas sin conocimientos matemáticos.

Ahora podemos plantear un par de cuestiones interesantes, a modo de ejemplos:

   -¿Cuánto suman las caras ocultas de 6 dados que tienen en su cara superior los números del 1 al 6 sin mirar esas caras? Tanto para el dado 1 como para el dado 2, se resuelve de la misma forma porque no varían los opuestos a los números de la cara superior en cada uno de los dados y como tomamos todos los números asignados a todas las caras del dado, se puede afirmar que los números de las caras ocultas son también todos los números de las caras superiores, por lo que la respuesta es 6+5+4+3+2+1 = 21. En este sencillo ejemplo, hay que observar que la suma de los números correspondientes a la cara superior y su opuesta en el dado 1, es constante (1+6 = 7; 2+5 = 7; 3+4 = 7) pero para el dado 2 no ocurre esto (1+5 = 6; 2+4 = 6; 3+6 = 9).

   -Otro sencillo ejemplo podría ser el siguiente: usando, sin repetir, cada una de los 6 números de las caras de un dado, ¿cuál es la diferencia entre el número más grande y el más pequeño que se pueden construir sin usar exponenciales ni otras funciones algebraicas? En este caso, no es necesario usar un dado aunque didácticamente se puede plantear a cualquier persona esta cuestión al hilo del uso de los dados. Es claro que el mayor número que podemos construir con las cifras del 1 al 6 ha de comenzar por el 6 y el menor número con esas cifras ha de comenzar por el 1. Además, la segunda cifra del mayor número ha de ser la mayor cifra que nos queda de las cifras del 1 al 5 (el 6 ya lo hemos cogido) por lo que esta segunda cifra ha de ser el 5. Con un razonamiento parecido, la segunda cifra del número menor ha de ser el 2 y, extrapolando estos razonamientos, obtenemos que el número mayor es el 654321 y el menor el 123456, cuya diferencia es 654321 – 123456 = 530865.

   -Un último ejemplo con dados sería el que sigue: tenemos 6 dados en fila como el dado 1 con las caras superiores ordenadas del 1 al 6 y, supongamos que sumamos todos los valores de las caras visibles, es decir, todos salvo la que es opuesta a la superior, entonces obtendremos números consecutivos del 15 al 20 siendo par o impar según sea par o impar el número de la cara superior, esto es:

1+2+3+4+5 = 15 (eliminando el opuesto al 1 que es el 6)

2+3+4+1+6 = 16 (eliminando el opuesto al 2 que es el 5)

3+1+2+5+6 = 17 .....

4+2+1+5+6 = 18

5+1+3+4+6 = 19

6+2+3+4+5 = 20

El mismo planteamiento para el dado 2 obtiene los mismos números del 15 al 20 pero desordenados (se comprueba fácilmente que las sumas respectivas salen 16, 17, 15, 19, 20, 18).

   Dejo en el tintero infinidad de juegos con dados que involucran sumar, restar, fracciones, descomposición numérica, etc. Jugar con los dados aporta una enseñanza divertida y amena, a la vez que profundiza en conceptos abstractos y acerca las matemáticas básicas a los menores y al púbico en general.

Uso y Abuso del Lenguaje: Paradoja de Berry

   Ya van varias entradas sobre paradojas lógico-matemáticas y mi interés radica en que la vida en sí y, por tanto, la forma más habitual de comunicación, el lenguaje hablado o escrito, contiene graves inexactitudes que derivan en esas contradicciones que chocan a simple vista. La clave está en ser críticos y fijarnos en lo que subyace en cada paradoja: un intento de engaño abusando del lenguaje formal, entendiendo éste como el lenguaje formal llamado `de primer nivel o  nivel 1´, como se puede apreciar en la entrada inmediatamente anterior a ésta que escribo. Todas las paradojas o, la inmensa mayoría, se reducen a la paradoja madre, la paradoja de Russell, ya comentada en otras entradas. Dicha contradicción formal no tiene sentido en el lenguaje usado habitualmente para comunicarnos pero sí es resoluble en una lógica formal de orden superior.
   Por poner un ejemplo sencillo, la frase de nuestro lenguaje (o cualquier otro de traducción) "¿qué hay al norte del Polo Norte?" no tiene sentido (ni siquiera es una contradicción) ya que el punto más al norte que existe es el Polo Norte pero nuestro lenguaje nos permite construirla con exactitud semántica, sintáctica y gramática. Lo mismo sucede si nos referimos al Polo Sur, no así este u oeste. Los lenguajes de orden superior solventan este grave inconveniente poniendo reglas para, obviamente, impedir ese tipo de construcciones. Cualquier lenguaje de programación es un lenguaje de orden superior porque un algoritmo no permite construir sentencias como la anterior sin provocer un error que se deba depurar. Y la forma en la que un algoritmo depura una entrada es eliminándola.
   La paradoja de Berry que trato aquí, abusa del lenguaje en el sentido explicado más arriba. Su enunciado coloquial es: la siguiente frase es una contradicción en sí misma, "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras". Evidentemente, implícitamente está la idea de encontrar ese número de forma explícita. Así, quedarían excluidos los números enteros específicos de la forma "dos decenas", "mil millones de millones", "dos elevado a ciento veintitres", etc. Una cosa es clara: el conjunto de esos números enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es un conjunto finito, lo cual es un hecho muy significativo e importante puesto que no hablamos así de cardinalidad. Así pues, este conjunto finito no puede contener a todos los enteros positivos por lo que existe algún entero positivo que es el menor de los enteros que no está contenido en ese conjunto. ¿Cuál es explícitamente? Imposible saber cuál es. La razón es que la frase "el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras" ya está definiendo a ese número pero esa frase solo tiene 14 palabras. Choque de trenes.
   Este tipo de frases encarnan las llamadas falacias 'Vicious Circle' (del círculo vicioso) y son frases que se refieren a ellas mismas y se resuelven como indiqué más arriba, evitando construirlas.
Formalmente, la paradoja de Berry es de la siguiente forma:

1) Sea A el conjunto de todas las palabras del idioma español (se puede extrapolar a cualquier otro idioma formado por palabras).

2) Sea X el conjunto de todas las posibles frases de A.
3) Definimos Y - |Y| = |X| donde, para todo y de Y, como número natural, entonces y < |X|, siendo |.| el número de elementos del conjunto. Así, Y es un conjunto de números enteros positivos.
4) Sea f : X <--> Y una aplicación biyectiva entre frases de X y números enteros positivos de Y.

La idea está en construir explícitamente esa función f, pero la paradoja afirma que existe un elemento de X tal que su imagen por f, es decir, f(x) no está en el conjunto Y, lo cual se contradice con el hecho de que f es una biyección (todo elemento del conjunto final es imagen de algún elemento del conjunto inicial y la imagen de todo el conjunto inicial es todo el conjunto final, es decir, es una aplicación uno-a-uno sin dejar elementos sin de ambos conjuntos sin relacionarse).
   No voy a entrar en cuestiones más serias de explicaciones puras porque entran en juego ciertos conceptos que, entiendo, aburren y esa no es la idea de este blog ni de esta entrada (comlpejidad de Kolmogorov, isomorfismo computable,...). Simplemente he querido mostrar, una vez más, que nuestro lenguaje (el formal de tipo 1, no me refiero al idioma) es susceptible de ciertas sutilezas que permiten construir frases como la paradoja de Berry u otras analogías que merecen la pena ser explicadas para no caer en esos círculos viciosos del uso y el abuso de la comunicación.

Paradoja del Chocolate Infinito y Paradoja de las Patatas

   Volviendo al tema de las paradojas que dejé aparcado hace un tiempo con las entradas Paradojas , Paradoja de Banach-Tarski, Paradoja de la Ecuación de Drake, me referiré en esta entrada a dos resultados muy curiosos, como son la ´paradoja del chocolate infinito´  y la `paradoja de las patatas´, ambas referidas, obviamente, en lenguaje coloquial y que no entran rigurosamente en el conjunto de las paradojas propiamente dichas ya que, este conjunto, contiene elementos que no se pueden resolver con la lógica formal del lenguaje formal, valga la redundancia, por lo que requieren elevarse al nivel del meta-lenguaje. En ese conjunto de paradojas estarían, por citar algunos ejemplos, la paradoja de Russell, las paradojas de Zenón, o la paradoja del examen sorpresa., tal y como relato en las entradas arriba mencionadas.

   Las supuestas paradojas de la entrada actual (supuestas porque no son tales) son engaños matemáticos que nos hacen ver que no todo es tan intuitivo como aparenta y que, cualquier cuestión, merece ser analizada con detalle.

-Paradoja del chocolate:

   Este resultado es, matemáticamente, la `paradoja del cuadrado perdido´ y se refiere a un caso especial de la división en exactamente 4 piezas de un triángulo rectángulo. El detalle de las 4 piezas es crucial para conseguir el efecto esperado (un espacio en blanco al reordenar las piezas o, si tratamos con chocolate, un cuadrado “gratis” de chocolate nacido de la nada, de ahí la frase `chocolate infinto´): si dividiéramos el triángulo en 3 piezas, al reordenarlas probablemente no conseguiríamos un triángulo rectángulo; si lo dividimos en solo 2 piezas es absurdo reordenarlas para intentar conseguir algún hueco en blanco; si lo dividiéramos en más de 4 piezas no sería tan evidente conseguir un espacio en blanco si no que “bailarían” las piezas no encajando bien entre sí, por lo que la división del triángulo en exactamente 4 piezas es la ideal para conseguir el efecto buscado. La idea que subyace de esta contradicción es que no tratamos con un TRIÁNGULO si no con un CUADRILÁTERO (figura con 4 lados, aunque aquí son muy sutiles y a simple vista casi no se distinguen de los tres lados de un triángulo).

 

   (1)

(2)

   El ‘triángulo’ 1 tiene, entre las piezas roja y azul, un punto de inflexión en las coordenadas (8,3), no es una línea recta continua, al igual que ocurre en el ‘triángulo’2, esta vez en la coordenada (5,2). Ahí está la clave de la supuesta paradoja cuya hipótesis es que partimos de un triángulo (el 1) cuando en realidad no lo es ya que los puntos (0,0), (8,3) y (13,5) no están alineados, no pertenecen a una misma recta, por eso falla el razonamiento o tesis y se llega a que obtenemos un cuadro en blanco en la figura 2 entre las coordenadas 7 y 8 del eje de abcisas. Esta nueva figura pasa por los puntos (0,0), (5,2) y (13,5) que tampoco están alineados. Por tanto, la clave está en la hipótesis y en las áreas de cada una de las piezas de colores. Cada una de las piezas son de la siguiente forma:

La roja y la azul son triángulos rectángulos de base 8 y altura 3, y base 5 y altura 2, respectivamente, por lo que sus área son (8x3)/2 = 12 y (5x2)/2 = 5.

La figura verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de base 2 y altura 1, por lo que su área es (5x2) – (2x1) = 8, y la figura amarilla es también un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de base 3 y altura 1, y así su área es (5x2) – (3x1) = 7.

Así pues, el área total de estas figuras es la suma de sus áreas: 12 + 5 + 8 + 7 = 32

   Pero si cogemos todo el ‘triángulo’ de la figura 1 en un solo bloque, su área es (13x5)/2 = 32.5. Como el área de ese cuadrado es 1x1 = 1 y 32.5 – 32 = 0.5, ¿dónde está lo que falta para completar el área igual a 1? Está en el casi inapreciable pico que se forma desde el punto (0,0) hasta el (5,2) y desde éste hasta el (13,5). Esa pequeña diferencia entre el cuadrilátero de la figura 2 y el irreal triángulo que se ve, es ese 0.5 que falta (haciendo cálculos) para completar el área de ese cuadrado que falta. La superficie de la figura 1 es de 32 cuadrados y la de la figura 2 es de 33 cuadrados.

   Extrapolando este resultado obtenemos la `paradoja del chocolate infinito´ que tanto ha circulado por internet con una salvedad: en los vídeos del chocolate, la tableta ya aparece cortada desde el principio, siempre a conveniencia de quien realiza el vídeo, nunca aparece una tableta entera que se corta con cuchillo en vivo y se mueven las piezas, ahí está el engaño.

-Paradoja de las patatas:

   Es una paradoja más sencilla que la anterior pero que engaña a nuestra intuición. Se enuncia así: tenemos 100 kg de patatas con un peso de 99% agua, las deshidratamos hasta conseguir un peso de 98% de agua, ¿cuánto pesan ahora?, ¿99 kg?

La intuición nos lleva automáticamente a dar como correcta esa respuesta, 99 kg, pero nada más lejos de la realidad puesto que el peso que conseguimos es solo de 50 kg. 

   La clave aquí está en las proporciones porque el 98% agua significa que el 2% es sólido que corresponde a 1 kg (el sólido inicial era de 1 kg al ser el 1% de los 100 kg de patatas y no se ve afectado por la deshidratación del producto, siempre es 1 kg) y, si x es el nuevo peso de las patatas, entonces 0.02x = 1  =>  x = 50 kg, esto es, 1 kg de sólido y 49 kg de agua.

   Las contradicciones del lenguaje de la vida cotidiana nos ofrecen estos pequeños juegos matemáticos que sirven para ilustrar la eficacia de saber aprovechar los conocimientos abstractos matemáticos en cuestiones reales de nuestro día a día.