El Teorema de Incompletitud de Gödel demostró que todo sistema complejo bien organizado axiomáticamente posee afirmaciones que no se pueden probar usando las reglas establecidas de dicho sistema. Algo tan sencillo de anunciar y enunciar convierte a cualquier sistema ordenado (el lenguaje, la física, las matemáticas, nuestra propia vida,...) en algo que tiene fallos, por muy complejo y sistemático que sea.
Es para que explote la cabeza... a quien tenga cabeza para pensar, claro.
Para intentar que este resultado se pueda entender de forma clara, Kurt Gödel ideó una forma de expresar cualquier proposición lógica de forma numérica y, además, no de forma única, y así nació la sencilla numeración de Gödel. Teniendo en cuenta las propiedades de los números, se podían averiguar las propiedades de cualquier sistema ordenado complejo y poder, de esta manera, probar sus hipótesis. Además, y como dato importante, es un sistema bidireccional, es decir, una vez asignado un número a una expresión lógica, se puede deshacer el camino y, si nos dan ese número, obtener la expresión lógica de la que emana. Para ilustrar este sistema de numeración en esta entrada, utilizaré el propio título de ésta de forma clara y sencilla. Remarco que las reglas que asignaré aquí abajo no son únicas, por lo que exhorto al lector a que experimente.
La idea básica es asignar números a los signos lógicos que sirven para "escribir" expresiones lógicas, como son los símbolos de “¬” (la negación cuando precede), “∧” (la conjunción "y"), "V" (la conjunción "o"), cada símbolo de paréntesis, etc. Así las expresiones lógicas proposicionales se convierte en secuencias de números. Consiste esta numeración en dos partes:
1) El método que he elegido (repito, no es único) es asignar a cada carácter del lenguaje las normas que describo en adelante para así poder construir de esta manera la frase "un número de Gödel" de forma numérica:
Las letras de la "a" a la "z" se asignan a los números enteros del "2" al "27". El número "1" lo reservo para el espacio entre palabras.
Las vocales acentuadas (si las hubiera en la expresión a convertir en un número), que son á, é, í. ó, ú, se asignan, en este orden, a los números del 28 al 33 incluidos.
Las mayúsculas de la "A" a la "Z" se asignan de los números 100 al 125 incluidos (en nuestro caso, la "G" tiene asignado el número 107).
La letra "ö" de nuestro caso, le asigno el número 50, por ejemplo.
Claramente la numeración de Gödel es una función unívoca de un sistema, llamémosle S en los números naturales N (cabe recordar que el cero no es un número natural).
Por todo ello, la frase que da título a esta entrada, "un número de Gödel" sigue la secuencia de números 23, 16, 1, 16, 30, 15, 6, 21, 17, 1, 5, 6, 1, 107, 150, 5, 6, 14.
2) Para acabar de establecer el número de Gödel de esta o de cualquier frase, se convierte esta secuencia de números en un producto de números primos de la forma N = 2a1 3a2 5a3 7a4 ... donde cada "ai" es uno de esos números de la secuencia anterior. Notar que el "cero" no puede ser ninguno de los elementos de N porque, en ese caso, todo el producto sería cero.
Obtenemos así el (enorme) número N = 618847155411288609562558878624953577325331451
576429954093452042240472892642019235729638564209019771757782
898400274292462204982216081505668597122025297807561919979070641773788481286515987599
879787118406994242389528680693791984337037161183000996358139064481139816794020770199
548360384172133642606012440772471450307205895886992833476754957857912476358105163088
7389498494952456539707311551628063708620495042116232448242050935029760.
Como comenté con anterioridad, si nos dan este número tal cual y sabiendo las reglas de transformación anteriores, simplemente (ojo, que no es tan simple) tenemos que descomponerlo en factores primos y obtendríamos la secuencia de asignación que construimos antes y podríamos descubrir la proposición lógica de la que proviene que, en nuestro caso ya sabemos que es el título de la entrada.
He querido traer aquí un sistema de numeración diferente y curioso que pone de manifiesto la importancia de los números para el ser humano y todo lo que lo rodea y las interacciones con los entes físicos (el universo) y abstractos (las reglas que rigen el universo).
